專題02 全等模型-一線三等角（K字）模型（原卷版）

專題02全等模型--一線三等角（K字）模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等。【常見模型及證法】同側(cè)型一線三等角（常見）：銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：+CE=DE證明思路：+任一邊相等例1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）探究：如圖①，在中，，，直線經(jīng)過點，于點，于點，求證：．應(yīng)用：如圖②，在中，，三點都在直線上，并且有．求出和的關(guān)系．拓展：如圖①中，若，梯形的面積______．例2．（2023春·廣西·七年級期末）已知，在中，，三點都在直線m上，且．(1)如圖①，若，則與的數(shù)量關(guān)系為___________，與的數(shù)量關(guān)系為___________；(2)如圖②，判斷并說明線段，與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若只保持，點A在線段上以的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段上以的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為．是否存在x，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．例3．（2022·陜西七年級期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．例4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，點D在線段上運動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當時，_____，_____，_____；點D從B向C運動時，逐漸變_____（填“大”或“小”）；(2)當DC等于多少時，，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)，若不可以，請說明理由．模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】異側(cè)型一線三等角：銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：+任意一邊相等證明思路：+任一邊相等例1．（2022春·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E是∠ACB內(nèi)部一點，連接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點D，E．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）請直接寫出AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系：．例2．（2022·無錫市九年級月考）（1）如圖1，直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的直角頂點A，過點B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別是D、E．求證：BD＋CE＝DE；（2）如圖2，直線m經(jīng)過△ABC的頂點A，AB＝AC，在直線m上取兩點D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補充∠BAC＝（用α表示），線段BD、CE與DE之間滿足BD＋CE＝DE，補充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD、CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．例3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】(1)如圖，，，過點作于點，過點作于點．由，得．又，可以推理得到．進而得到__________，．我們把這個數(shù)學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；【模型應(yīng)用】(2)如圖，，，，連接，，且于點，與直線交于點．求證：點是的中點；【深入探究】(3)如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有__________（填“＞、、＜”）(4)如圖，點、、、、都在同一條直線上，四邊形、、都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形的面積是4，則的面積是__________．課后專項訓練1．（2022·湖南·長沙市二模）如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點C與坐標原點重合，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足為D、E，點A的坐標為（-2，5），則線段DE的長為（）A． B． C． D．2．（2023·廣西·八年級假期作業(yè)）如圖，，，于點E，于點D，，，則的長是（

）A．8 B．4 C．3 D．23．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點A，過點B作于點E，過點C作于點F．若，則__________．

4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，直線l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分別為P、Q，一塊含有45°的直角三角板的頂點A、B、C分別在直線l1、l2、線段PQ上，點O是斜邊AB的中點，若PQ等于，則OQ的長等于_____．5．（2023·浙江·九年級期末）如圖，已知和均是直角三角形，，，于點．（1）求證：≌；（2）若點是的中點，，求的長．6．（2023·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD上的點，DE=AF．（1）求證：△ADF≌△DCE；（2）求證：AF⊥DE．7．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）王強同學用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（），點在上，點和分別與木墻的頂端重合．（1）求證：；（2）求兩堵木墻之間的距離．

8．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）綜合與實踐數(shù)學活動課上，老師讓同學們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數(shù)學探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點A．小華分別過B、C兩點作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：_______；(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點C的坐標為，點B的坐標為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點A的坐標：_____；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，中，，，點D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．9．（2022·江蘇·九年級專題練習）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為，則點C的坐標為________．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．10．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．11．（2022秋·江蘇·八年級期末）【基礎(chǔ)模型】已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，過點C任作一條直線l（不與CA、CB重合），過點A作AD⊥l于D，過點B作BE⊥l于E．（1）如圖②，當點A、B在直線l異側(cè)時，求證：△ACD≌△CBE【模型應(yīng)用】在平面直角坐標性xOy中，已知直線l：y＝kx﹣4k（k為常數(shù)，k≠0）與x軸交于點A，與y軸的負半軸交于點B．以AB為邊、B為直角頂點作等腰直角△ABC．（2）若直線l經(jīng)過點（2，﹣3），當點C在第三象限時，點C的坐標為．（3）若D是函數(shù)y＝x（x＜0）圖象上的點，且BD∥x軸，當點C在第四象限時，連接CD交y軸于點E，則EB的長度為．（4）設(shè)點C的坐標為（a，b），探索a，b之間滿足的等量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．（不含字母k）12．（2022秋·江蘇·八年級期末）閱讀下列材料，并按要求解答．【模型建立】如圖①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA．【模型應(yīng)用】應(yīng)用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求線段BD的長．應(yīng)用2：如圖③，在平面直角坐標系中，紙片△OPQ為等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），點Q始終在直線OP的上方．（1）折疊紙片，使得點P與點O重合，折痕所在的直線l過點Q且與線段OP交于點M，當m＝2時，求Q點的坐標和直線l與x軸的交點坐標；（2）若無論m取何值，點Q總在某條確定的直線上，請直接寫出這條直線的解析式．13．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）模型構(gòu)建：如圖1，于點M，于點N，AB的垂直平分線交MN于點P，連接AP、BP．若，求證：．數(shù)學應(yīng)用：如圖2，在中，D是BC上一點，，，，求的面積．實際運用：建設(shè)“交通強國”是滿足人民日益增長的美好生活需要的必然要求．建設(shè)“美麗公路”是落實美麗中國建設(shè)、回應(yīng)人民日益增長的美好生活對優(yōu)美生態(tài)環(huán)境的需要．如圖3是某地一省道與國道相交處的示意圖，點Q處是一座古亭，鵝卵石路QA、QB以及兩旁栽有常青樹，其它區(qū)域種植不同的花卉；設(shè)計要求，，是以Q為圓心、QA為半徑的圓?。ú挥嬄穼?，下同）．請在圖4中畫出符合條件的設(shè)計圖，要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，標注必要的字母，寫出詳細的作法，不要求說明理由；14．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級期末）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學習完第十二章后，張老師首先讓同學們完成問題1：如圖1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關(guān)系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．15．（2022秋·八年級課時練習）（1）課本習題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）16．（2023春·廣東·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當∠BDE＝115°時，∠BAD＝°，點D從B向C運動時，∠BAD逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當∠BAD等于多少時，△ADE是等腰三角形．17．（2022秋·四川南充·八年級校考期中）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了