專題1.20 二次根式（挑戰(zhàn)綜合（壓軸）題分類專題）（專項練習）-2022-2023學年八年級數(shù)學下冊基礎(chǔ)知識專項講練（浙教版）

）【類型一】二次根式的運算??運算??化簡??求值【類型①】二次根式綜合運算??直接運算1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）計算：．2．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）計算：．3．（2013·山東濱州·中考真題）計算：．【類型②】二次根式??整（分）式綜合??化簡??求值4．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．5．（2020·湖北荊門·中考真題）先化簡，再求值：，其中．6．（2019·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中，．【類型③】二次根式??整（分）式挑戰(zhàn)??化簡??求值7．（2011·湖南邵陽·中考真題）先化簡，再求值：，其中8．（2017·河南·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．（2019·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼和浩特市實驗中學校考一模）計算：先化簡，再求值：，其中．【類型二】二次根式的應(yīng)用??規(guī)律探究??代數(shù)證明??化簡求值【類型①】二次根式的應(yīng)用??規(guī)律探究??化簡求值10．（2021·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實驗初級中學?？家荒＃┯^察下列等式：①；②；③．解決下列問題：（1）根據(jù)上面3個等式的規(guī)律，寫出第⑤個式子；（2）用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上面各個等式的規(guī)律，并加以證明；（3）利用上述結(jié)果計算：．11．（2021·云南昭通·統(tǒng)考二模）實踐與探索（1）填空：________；________．（2）觀察第（1）的結(jié)果填空：當時，________；當時，________．（3）利用你總結(jié)的規(guī)律計算：，其中x的取值范圍在數(shù)軸上表示為．12．（2016·山西臨汾·統(tǒng)考一模）觀察下列各式及其驗證過程：（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進行驗證；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式，并說明它成立．【類型②】二次根式的應(yīng)用??代數(shù)證明??化簡求值13．（2022春·安徽宣城·八年級?？计谥校┯^察下列等式：；；；寫出式第個等式：______；寫出第個等式，并證明．14．（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）已知，．(1)求證：a與b互為倒數(shù)．(2)當時，求的值．15．（2021春·江蘇·八年級專題練習）觀察下列各式：，，，…，請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)的形式表示出來，并證明.【類型三】二次根式的應(yīng)用??最值問題??大小比較??化簡求值【類型①】二次根式的應(yīng)用??最值問題??化簡求值16．（2022秋·江西南昌·九年級統(tǒng)考期中）【說讀材料】我們已經(jīng)學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當，時：∵，∴．∴，當且僅當時取等號，即當時，有最小值為．【學以致用】根據(jù)上面材料回答下列問題：已知，則當時，式子取到最小值，最小值為；已知，求當值為多少時，分式取到最小值，最小值是多少？用籬笆圍一個面積為的長方形花園，問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？17．（2022秋·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學校?？计谥校╅喿x材料：我們已經(jīng)學習了實數(shù)以及二次根式的有關(guān)概念，同學們可以發(fā)現(xiàn)以下結(jié)果：當時，∵，∴當即時，的最小值為2．請利用以上結(jié)果解決下面的問題：當時，的最小值為___________；當時，的最大值為___________；當時，求的最小值；如圖，已知四邊形的對角線、交于點，若的面積為3，的面積為6，求四邊形面積的最小值．18．（2022春·福建泉州·八年級?？计谥校╅喿x下列材料：材料1：在處理分數(shù)和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以將假分數(shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與一個真分數(shù)（式）的和（差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱之為分離整數(shù)法．此法在處理分式或整除問題時頗為有效．如將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：設(shè)x＋2＝t，則x＝t﹣2．∴原式∴材料2：配方法是初中數(shù)學思想方法中的一種重要的解題方法，配方法最終的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式來求解，它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、求最值、證明等式、化簡根式、因式分解等方面都經(jīng)常用到．如：當a＞0，b＞0時，∵∴當，即a＝b時，有最小值2．根據(jù)以上閱讀材料回答下列問題：將分式拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為；已知分式的值為整數(shù)，求整數(shù)x的值；當﹣1＜x＜1時，求代數(shù)式的最大值及此時x的值．【類型②】二次根式的應(yīng)用??大小比較??化簡求值19．（2023春·全國·八年級專題練習）比較和的大?。ㄆ椒椒ǎ?0．（2023春·八年級課時練習）比較大小.(1)與6(2)與21．（2022春·福建福州·八年級校考期中）閱讀理解：觀察下列等式：①＝＝；②＝＝；…利用你觀察到的規(guī)律，化簡：；若a＝﹣，b＝﹣，比較a，b大小．【類型四】二次根式的應(yīng)用??圖形問題??坐標系問題??化簡求值【類型①】二次根式的應(yīng)用??圖形問題??化簡求值22．（2023春·八年級單元測試）已知、、、是正數(shù)，試證：存在以，，為三條邊的三角形，并求這個三角形的面積．23．（2023春·八年級單元測試）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形的綠地，長方形綠地的長為，寬為，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（圖中陰影部分），長方形花壇的長為，寬為．求長方形的周長；除去修建花壇的地方，其他地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為5元的地磚，則購買地磚需要花費多少元？（結(jié)果化為最簡二次根式）24．（2021春·四川涼山·八年級校考期中）已知三條邊的長度分別是記的周長為．(1)當時，的最長邊的長度是___________（請直接寫出答案）．(2)請求出（用含x的代數(shù)式表示，結(jié)果要求化簡）．(3)我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式：．其中三角形邊長分別為a，b，c，三角形的面積為S．若x為整數(shù)，當取得最大值時，請用秦九韶公式求出的面積．【類型②】二次根式的應(yīng)用??平面直角坐標系中??化簡求值25．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點B和點C在x軸上，點A在y軸上，，，且a，b滿足．證明為等邊三角形；現(xiàn)有一動點P從點A沿y軸負方向運動，速度為1個單位長度每秒，連接，在的下方作等邊三角形過點Q作軸，垂足為D，設(shè)點P的運動時間為t秒，的長度為d，求d與t之間的關(guān)系式；（用含t的式子表示d）在（2）問的條件下，已知，當為等腰直角三角形時，求t的值，并求出此時直線與x軸的交點E的坐標．26．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）定義：對于平面直角坐標系中的任意兩點和，我們把它們的橫、縱坐標的差的平方和的算術(shù)平方根稱作這兩點的“湘一根”，記作，即（1）若A（2，1）和B（，3），則______；（2）若點M（1，2），，其中a為任意實數(shù)，求的最小值（3）若m為常數(shù)，且，點A的坐標為（0，5m），B點的坐標為（8m，），C點的坐標為（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代數(shù)式表示）27．（2020春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，n），且點B的坐標為（1，2）．（1）求點A的坐標；（2）若存在點M（2，b），使△ABM的面積S△ABM＝5．試求出b的值；（3）已知點P的坐標為（7，0），若把線段AB上下平移，恰使△ABP的面積S△ABP＝4，直接寫出平移方式．【類型五】二次根式的應(yīng)用??綜合探究問題28．（2021·湖北荊州·統(tǒng)考三模）小穎利用平方差公式，自己探究出一種解某一類根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的過程．解：設(shè)﹣＝m，與原方程相乘得：（＋）×（）＝5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，∴﹣＝1，與原方程相加得：（＋）+（）＝5＋1，2＝6，解之得，x＝11，經(jīng)檢驗，x＝11是原方程的根．學習借鑒解法，解方程﹣＝1．29．（2022秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：若設(shè)（其中均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：【問題解決】（1）若，當均為整數(shù)時，則a＝，b＝．（均用含m、n的式子表示）（2）若，且均為正整數(shù)，分別求出的值．【拓展延伸】（3）化簡＝．30．（2022秋·八年級課時練習）在學習了二次根式后，小明同學發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫成另一個二次根式的平方的形式.比如：.善于動腦的小明繼續(xù)探究：當為正整數(shù)時，若，則有，所以，.請模仿小明的方法探索并解決下列問題：（1）當為正整數(shù)時，若，請用含有的式子分別表示，得：，；（2）填空：=-；（3）若，且為正整數(shù)，求的值.參考答案1．【分析】根據(jù)化簡絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的乘法，零次冪進行計算即可求解．解：原式＝【點撥】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握化簡絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的乘法，零次冪是解題的關(guān)鍵．2．【分析】由平方差公式、完全平方公式進行化簡，再計算加減運算，即可得到答案．解：原式．【點撥】本題考查了二次根式的混合運算，以及平方差公式、完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則，正確的進行化簡．3．【分析】針對二次根式化簡，零指數(shù)冪，絕對值3個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．解：原式==4．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將計算m的值代入化簡結(jié)果中求值可得．解：∵∴當時，原式．【點撥】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．5．；．【分析】利用完全平方公式將原式化簡，然后再代入計算即可．解：原式當時，原式?！军c撥】本題考查的是整式的混合運算，完全平方公式的應(yīng)用和二次根式的運算，掌握相關(guān)的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵．6．-6【分析】先化簡分式，然后將a、b的值代入求值．解：原式，當，，原式．【點撥】本題考查了分式的計算和化簡.解決這類題目關(guān)鍵是把握好通分與約分，分式加減的本質(zhì)是通分，乘除的本質(zhì)是約分，熟練了分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．7．，【分析】原式括號中兩項通分并分別利用同分母分式的加法和減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值．解：＝＝＝＝當時，原式＝＝【點撥】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．8．，解：原式，把代入，原式9．（1）-10；（2）.解：（1）+(π-)0-|-2|+（）-1+-（2+）2017（2-）2019＝3+1﹣2+3+﹣[（2+）（2﹣）]2017?（2﹣）2＝3+1﹣2+3﹣4﹣8﹣1×（7﹣4）＝3+1﹣2+3﹣4﹣8﹣7+4＝﹣10；（2）÷（x-1-），＝÷（），＝＝，當x＝+1時，原式＝==．【點撥】本題考查分式的化簡求值、零指數(shù)冪、絕對值、負整數(shù)指數(shù)冪和冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法．10．（1）；（2），證明見分析；（3）【分析】（1）利用題中等式的計算規(guī)律即可得到；（2）根據(jù)題目中式子的特點，找到第n個等式的左邊和右邊，然后計算即可；（3）利用（2）的結(jié)論得出，再裂項計算即可；解：（1）∵①；②；③∴第⑤個式子是：（2）第n個等式為證明：左邊右邊（3）原式【點撥】本題考查的是二次根式的混合運算的應(yīng)用，根據(jù)題意正確總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（1）3，5；（2）a，；（3）2【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案；（3）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案．解：（1）3；

=5；故答案為：3，5；（2）當a≥0時a；當a＜0時，-a；故答案為：a，-a；（3）由數(shù)軸可得x的取值范圍為，∴x-2＞0、x-4＜0，∴=2．【點撥】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．(1)、；理由見分析；(2)、；理由見分析試題分析：(1)、根據(jù)題意得出答案，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行驗證；(2)、根據(jù)題意得出一般性的規(guī)律，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行驗證．解：(1)、5=驗證：5====；(2)、n=，證明：n====．考點：二次根式的性質(zhì)與化簡．13．(1)； (2)，證明見分析．【分析】（1）觀察等式的規(guī)律即可得出答案；（2）寫出等式，將多項式乘多項式展開，化簡，根據(jù)即可得出答案．解：（1）第個等式為：，故答案為：；（2），證明：．【點撥】本題考查了探索規(guī)律，二次根式的性質(zhì)，根據(jù)化簡是解題的關(guān)鍵．14．(1)證明見分析 (2)【分析】（1）只需要利用平方差公式求出即可證明結(jié)論；（2）先證明，然后利用完全平方公式的變形進行求解即可；（1）證明：，∴a與b互為倒數(shù)．（2）解：∵，，∴∴，當時，原式．【點撥】本題主要考查了倒數(shù)的定義，平方差公式和完全平方公式的變形，二次根式的計算，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．15．．【分析】此題應(yīng)先觀察列舉出的式子，可找出它們的一般規(guī)律，用含有n的式子表示出來即可,將等式左邊被開方數(shù)進行通分，把被開方數(shù)的分子開方即可．解：上述式子的規(guī)用含自然數(shù)n（n為正整數(shù)）的代數(shù)式可表示為∵左邊==右邊∴．【點撥】本題主要考查學生把特殊歸納到一般的能力及二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是仔細觀察，找出各式的內(nèi)在聯(lián)系解決問題．16．(1) (2)當時，最小值為 (3)當這個長方形的長、寬各為米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，利用，且僅當時取等號，進行計算；（2）將式變?yōu)椋?，則原式的最大值，即為現(xiàn)在式子的最小值．（3）設(shè)這個矩形的長為米，則寬面積長，即寬米，則所用的籬笆總長為2倍的長倍的寬，本題就可以轉(zhuǎn)化為兩個非負數(shù)的和的問題，從而根據(jù)：求解．（1）解：當時，，∴當時，的最小值是2；即當時，的最小值是2；故答案為：1；2；（2）令，當且僅當時，即時，取最小值為，∴當時，．（3）設(shè)這個矩形的長為米，則寬為米，所用的籬笆總長為米，根據(jù)題意得：，由上述性質(zhì)知：∵，∴，此時，，∴．答：當這個長方形的長、寬各為米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米．【點撥】本題考查了二次根式與完全平方公式，求最值問題，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．17．(1)4， (2) (3)【分析】（1）根據(jù)題干中的方法求解即可；當考慮時，注意符號變化；（2）先將分式化簡為題干形式，然后利用題干中的方法轉(zhuǎn)化為完全平方公式形式求解即可；（3）根據(jù)三角形等高得出，得出，確定四邊形的面積形式，利用題干中的方法求解即可得出結(jié)果．（1）解：∵，∴當即時，的最小值為4；當時，，∵，∴，∴當即時，的最大值為；故答案為：4；（2），當，即時，的最小值是．（3）設(shè)的面積為，∵，即，∴．四邊形的面積，當時，即時，四邊形面積最小為．【點撥】題目主要考查二次根式的化簡及完全平方公式的運用，理解題意中二次根式的化簡方法是解題關(guān)鍵．18．(1) (2)0或1 (3)最大值為-1，x的值為【分析】（1）根據(jù)題意給出的方法即可求出答案；（2）將分式化為一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式即可求出答案；（3）將分式化為一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，然后根據(jù)材料2的結(jié)論即可求出答案．（1）解：設(shè)x+1=t，∴，∴原式；故答案為：；（2）解：設(shè)，∴，∴原式，當=±1或±2或±4時，該分式的值為整數(shù)，∵x是整數(shù)，∴x=0或1；（3）解：設(shè)，∴，∵-1＜x＜1，∴0＜t≤2，∴原式，∵，∴，∴原式，當且僅當時取等號，即t=1，原分式的最大值為，此時，∴．【點撥】本題考查分式和二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解題意給出的結(jié)論、熟練運用配方法．19．【分析】利用平方法，即可比較出大小．解：，，，，又，，．【點撥】本題考查了無理數(shù)大小的比較方法，積的乘方運算，利用二次根式的性質(zhì)化簡，熟練掌握和運用無理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．20．(1) (2)【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的大小比較法則即可得；（2）將兩個數(shù)作差，根據(jù)實數(shù)的運算法則、無理數(shù)的估算即可得．（1）解：，，即．（2）解：，，，即，，，即，．【點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較、無理數(shù)的估算、實數(shù)的運算，熟練掌握實數(shù)的大小比較法則是解題關(guān)鍵．21．(1) (2)a＜b【分析】（1）根據(jù)分母有理化，配成平方差公式化簡即可；（2）利用倒數(shù)法比較大小即可．（1）解：原式==；（2）∵，，∴，∴，即a＜b．【點撥】本題考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根號化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．也考查了二次根式的性質(zhì)與化簡．22．【分析】構(gòu)造矩形，使得，，在上取一點A使得，，在上取一點B使得，，連接、、得到．然后利用勾股定理證明這個三角形符合條件，再利用分割法求出面積即可．解：構(gòu)造矩形，使得，，在上取一點A使得，，在上取一點B使得，，連接、、得到．四邊形是矩形，∴，∴，，，∴存在以，，為三條邊的三角形．∴這個三角形的面積為：．【點撥】本題考查二次根式的應(yīng)用、勾股定理、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考壓軸題．23．(1) (2)元【分析】（1）由長方形的周長等于相鄰兩邊和的2倍，再計算二次根式的加法，后計算乘法即可；（2）先求解通道的面積，再乘以單價即可得到答案．解：（1）長方形的周長，答：長方形的周長是；（2）購買地磚需要花費（元；答：購買地磚需要花費元．【點撥】本題考查的是二次根式的加法與二次根式的乘法及混合運算的應(yīng)用，熟練的進行二次根式的的化簡與運算是解本題的關(guān)鍵．24．(1)3 (2) (3)【分析】（1）依據(jù)三條邊的長度分別是，，，即可得到當時，的最長邊的長度；（2）依據(jù)根式有意義可得，進而化簡得到的周長；（3）依據(jù)（2）可得，且，由于x為整數(shù)，且要使取得最大值，所以x的值可以從大到小依次驗證，即可得出的面積．（1）解：當是，，，∴的最長邊的長度是3；故答案為：3．（2）解：由題知：，解得：，∴，，∴．（3）解：∵，且，又∵x為整數(shù)，且有最大值，∴，∴當時，三邊長度分別為1，4，，但，不滿足三角形三邊關(guān)系∴x≠4當時，三邊長度分別為2，2，3，滿足三角形三邊關(guān)系．此時的最大值為7，不妨設(shè)，，，．【點撥】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)并根據(jù)三邊長度的特點選擇合適的公式代入計算．25．(1)證明見分析 (2) (3)，或，【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，求出a，b可得AB=AC=BC，即可求證；（2）過點P作PG⊥AC于G，證明，可得CD=CG，DQ=PG，從而得到AP=2DQ，即可求解；（3）分兩種情況討論：當點P在線段OA上，當點P在AO的延長線上，即可求解．解：（1）證明∶∵，∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，∴AB=4，OB=OC=2，∴OA⊥BC，∴AB=AC，∵BC=OB+OC=4，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形；（2）解：根據(jù)題意得：AP=t，如圖，過點P作PG⊥AC于G，由（1）知，△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵AO⊥BC，∴，∴AP=2PG，∵△CPQ為等邊三角形，∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，∴∠PCG=∠DCQ，在△CGP和△CDQ中，∵，∴，∴CD=CG，DQ=PG，∴AP=2DQ，∵QD的長度為d，∴；（3）解：根據(jù)題意得：AP=t，∵為等腰直角三角形，且∠POC=90°，∴OP=OC=2，當點P在線段OA上，即時，則，即，點P（0，2），∴，∴，∴，∴，∴點，設(shè)直線PQ的解析式為，∴，解得：，∴直線PQ的解析式為，當y=0時，，∴點；當點P在AO的延長線上，即時，則，即，點P（0，-2），過點P作PF⊥AC交AC延長線于點F，由（1）知，△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵AO⊥BC，∴，∴AP=2PF，∵△CPQ為等邊三角形，∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，∴∠PCF=∠DCQ，在△CEP和△CDQ中，∵，∴，∴CD=CF，DQ=PF，∴AP=2DQ，∴，∴，∴，∴，∴點，設(shè)直線PQ的解析式為，∴，解得：，∴直線PQ的解析式為，當y=0時，，∴點；綜上所述，，或，．【點撥】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，解本題的關(guān)鍵是判斷出點Q的坐標．26．（1）；（2）；（3）10，【分析】（1）把A、B兩點坐標代入求解即可；（2）把M、N兩點代入，把根號下函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點式即可求解；（3）連接AB交x軸于點C，此時有最小值，兩點之間線段最短；作B關(guān)于x軸的對稱點，連接并延長交x軸于點C，三角形中兩邊之差小于第三邊即可求解．解：（1）由題意得：，故答案為：；（2），∴當a=3時，Q[M，N]有最小值，最小值為：；故最小值為：；（3）連接AB交x軸于點C，此時有最小值，此時；作B關(guān)于x軸的對稱點，連接并延長交x軸于點C，AC-BC=AC-=，在x軸上任取一點，，即故的最小值為：10m；的最大值為．【點撥】本題主要考查的是根據(jù)給出的新定義求解最值問題，解答本題的關(guān)鍵是熟悉題意，掌握兩點之間線段最短，以及三角形兩邊之差小于第三邊的特性．27．（1）點A的坐標為（5，4）；（2）b＝5，或b＝0；（3）把線段AB向下平移10個單位，恰使△ABP的面積S△ABP＝4；見分析【分析】（1）根據(jù)非負性得出，，即可得出點A的坐標；（2）根據(jù)三角形面積得出方程，解方程即可；（3）分情況討論，根據(jù)圖形的平移和圖形面積解答即可．解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴點A的坐標為（5，4）；（2）如圖：∵A（5，4）．B（1，2），M（2，b），∴S△ABM＝（5﹣1）（b﹣2）﹣（2﹣1）（b﹣2）﹣×（5﹣2）（b﹣4）﹣（5﹣1）（4﹣2）＝5，或S△ABM＝（5﹣1）（4﹣b）﹣（2﹣1）（2﹣b）