第5節(jié) 橢圓-高考數(shù)學(xué)備考資料

第八章平面解析幾何第5節(jié)橢圓1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.掌握橢圓的簡單應(yīng)用.考試要求知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做______.這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的______，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的______，焦距的一半稱為半焦距.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：①若________，則集合P為橢圓；②若________，則集合P為線段；③若________，則集合P為空集.知識梳理橢圓焦點(diǎn)焦距a＞ca＝ca＜c2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)2a2b2c(0，1)a2－b2[常用結(jié)論]1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)×診斷自測×√√解析(1)由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于|F1F2|時，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于|F1F2|時，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于|F1F2|時，不存在這樣的圖形.2.(選修一P115習(xí)題3.1T6改編)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是(

)A.橢圓

B.雙曲線C.拋物線

D.圓解析連接QA(圖略).由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以|OA|＜|OP|，根據(jù)橢圓的定義知，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓.A又2a＝2(2b)，即a＝2b，則有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用C

(2)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為__________________.解析設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16，2c＝8，橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.感悟提升C得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時等號成立.

(2)若△ABC的兩個頂點(diǎn)為A(－3，0)，B(3，0)，△ABC周長為16，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_______________________.解析由題知點(diǎn)C到A，B兩點(diǎn)的距離之和為10，故C的軌跡為以A(－3，0)，B(3，0)為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.又A，B，C三點(diǎn)不能共線，考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2

求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)；解若焦點(diǎn)在x軸上，∵橢圓過點(diǎn)A(3，0)，∵2a＝3×2b，∴b＝1，

若焦點(diǎn)在y軸上，∵橢圓過點(diǎn)A(3，0)，又2a＝3×2b，∴a＝9，

解設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，

求橢圓方程的方法：(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點(diǎn)的軌跡是否滿足橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.感悟提升BCD解析依題意，當(dāng)A為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)時，B為左頂點(diǎn)，則|AF|＝a＝3，a＋c＝5，∴c＝2，又a2＝b2＋c2，b2＝5，

當(dāng)A為右頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，B為左頂點(diǎn)時，|BF|＝a＋c＝5，|AF|＝a－c＝3，當(dāng)B為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)時，|BF|＝a＝5，|AF|＝a－c＝3，

考點(diǎn)三橢圓的簡單幾何性質(zhì)角度1離心率A

易知|AF1|＝|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，又|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c，

解析∵△PF1F2為直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，角度2與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的最值、范圍問題C

解析若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，則以原點(diǎn)為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點(diǎn)，感悟提升

D

解析設(shè)左焦點(diǎn)F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.解析由題知圓E的圓心為E(1，0)，半徑為1.∵直線MN與圓E相切于點(diǎn)N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.設(shè)M(x0，y0)，F(xiàn)ENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.已知F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，|F1F2|＝6.若動點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝6，則動點(diǎn)M的軌跡是(

) A.直線

B.線段

C.圓

D.橢圓

解析

動點(diǎn)M到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6，而6正好等于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離,則動點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的線段.B【A級

基礎(chǔ)鞏固】DBB所以所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝9－4＝5，C由題可知a＝2，即A(－2，0).又|NA|＝1，∠NAB＝60°，

CCD△PF1F2的周長為2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正確；在△PF1F2中，當(dāng)P點(diǎn)移動到橢圓C的短軸端點(diǎn)處時，∠F1PF2最大，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正確；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正確.(1，2)所以3－k＞k－1＞0，解得1＜k＜2.因?yàn)辄c(diǎn)F2為線段AB的中點(diǎn)，所以AB⊥F1F2，解析設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的定義，得|MF|＋|MF′|＝2a＝4，所以|MF|＝4－|MF′|，所以|MN|＋|MF|＝|MN|－|MF′|＋4≤|NF′|＋4，當(dāng)且僅當(dāng)M，N，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時等號成立，則由題意，知此時|NF′|＋4＝6，解∵|AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，∴2a2＝4c2，解由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)B(x，y)，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，(2)如圖，若直線l與橢圓相交于A，B，且AB是圓M：(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一條直徑，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.易知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).∴(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.C【B級

能力提升】解析連接OP，當(dāng)P不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時，設(shè)直線PA，PB分別與圓O切于點(diǎn)A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α＜90°，∴s