圓（公式、定理、結論圖表） 【 知識梳理+精講專練 】 中考數學能力提升必備

知識必備10圓（公式、定理、結論圖表）考點一、圓的有關概念1.圓的定義如圖所示，有兩種定義方式：①在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，以O為圓心的圓記作⊙O，線段OA叫做半徑；②圓是到定點的距離等于定長的點的集合．要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?.與圓有關的概念①弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦；如上圖所示線段AB，BC，AC都是弦．②直徑：經過圓心的弦叫做直徑，如AC是⊙O的直徑，直徑是圓中最長的弦．③?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，如曲線BC、BAC都是⊙O中的弧，分別記作，．④半圓：圓中任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如是半圓．⑤劣?。合襁@樣小于半圓周的圓弧叫做劣?。迌?yōu)弧：像這樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)?。咄膱A：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓．⑧弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．⑨等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．⑩等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角，如上圖中∠AOB，∠BOC是圓心角．圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中∠BAC、∠ACB都是圓周角．要點詮釋：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.圓外角度數等于它所夾弧的度數的差的一半.圓內角度數等于它所夾弧的度數的和的一半.典例1：（2022?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝OD，則∠ABD的度數為（）A．90° B．95° C．100° D．105°【分析】連接OB，則OC＝OB，由OC⊥AB，則∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．【解答】解：如圖：連接OB，則OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故選：D．【點評】本題考查了圓，平行線的性質，解直角三角形，等腰三角形的有關知識；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解題的關鍵．考點二、圓的有關性質1.圓的對稱性圓是軸對稱圖形，經過圓心的直線都是它的對稱軸，有無數條．圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心，又是旋轉對稱圖形，即旋轉任意角度和自身重合．2.垂徑定理①垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對的兩條?。谄椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．如圖所示．要點詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時，應限制AB不能為直徑．3.弧、弦、圓心角之間的關系①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；②在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．4.圓周角定理及推論①圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．②圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．要點詮釋：圓周角性質的前提是在同圓或等圓中．典例2：（2022?宜昌）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對的弦長）AB＝26m，設所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為D．拱高（弧的中點到弦的距離）CD＝5m．連接OB．（1）直接判斷AD與BD的數量關系；（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）．【分析】（1）根據垂徑定理便可得出結論；（2）設主橋拱半徑為R，在Rt△OBD中，根據勾股定理列出R的方程便可求得結果．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）設主橋拱半徑為R，由題意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為19m．【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理．此題難度不大，解題的關鍵是方程思想的應用．典例3：（2022?六盤水）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的風景描繪中有半個月亮掛在山上，月亮之上有個“齊天大圣”守護洞口的傳說．真實情況是老王山上有個月亮洞，洞頂上經常有猴子爬來爬去，如圖是月亮洞的截面示意圖．（1）科考隊測量出月亮洞的洞寬CD約是28m，洞高AB約是12m，通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個月亮，求半徑OC的長（結果精確到0.1m）；（2）若∠COD＝162°，點M在上，求∠CMD的度數，并用數學知識解釋為什么“齊天大圣”點M在洞頂上巡視時總能看清洞口CD的情況．【分析】（1）設OA＝OC＝Rm，利用勾股定理求出R即可；（2）補全⊙O，在CD的下方取一點N，連接CN，DN，CM，DM，利用圓周角定理，圓內接四邊形的性質求解即可．【解答】解：（1）設OA＝OC＝Rm，∵OA⊥CD，∴CB＝BD＝CD＝14m，在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，∴R2＝142+（R﹣12）2，∴R＝，∴OC＝≈14.2m．（2）補全⊙O，在CD的下方取一點N，連接CN，DN，CM，DM，∵∠N＝∠COD＝81°，∵∠CMD+∠N＝180°，∴∠CMD＝99°．∵∠CMD＝99°不變，是定值，∴“齊天大圣”點M在洞頂上巡視時總能看清洞口CD的情況．【點評】本題考查垂徑定理的應用，圓周角定理，圓內接四邊形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．典例4：（2022?黃石）如圖，圓中扇子對應的圓心角α（α＜180°）與剩余圓心角β的比值為黃金比時，扇子會顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則β﹣α的度數是90°．【分析】根據已知，列出關于α，β的方程組，可解得α，β的度數，即可求出答案．【解答】解：根據題意得：，解得，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案為：90°．【點評】本題考查圓心角，解題的關鍵是根據周角為360°和已知，列出方程組．典例5：（2022?南通）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，AC平分∠BAD，CD＝2，點E在BC的延長線上，連接DE．（1）求直徑BD的長；（2）若BE＝5，計算圖中陰影部分的面積．【分析】（1）由BD為⊙O的直徑，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的長；（2）因為BC＝DC，所以陰影的面積等于三角形CDE的面積．【解答】解：（1）∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝2，∴BD＝2×＝4；（2）∵BE＝5，∴CE＝3，∵BC＝DC，∴S陰影＝S△CDE＝×2×＝6．【點評】本題考查了圓的性質，等腰直角三角形的判定和性質，三角形的面積的計算，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．考點三、與圓有關的位置關系1.點與圓的位置關系如圖所示．d表示點到圓心的距離，r為圓的半徑．點和圓的位置關系如下表：點與圓的位置關系d與r的大小關系點在圓內d＜r點在圓上d＝r點在圓外d＞r要點詮釋：(1)圓的確定：①過一點的圓有無數個，如圖所示．②過兩點A、B的圓有無數個，如圖所示．③經過在同一直線上的三點不能作圓．④不在同一直線上的三點確定一個圓．如圖所示．(2)三角形的外接圓經過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個．經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心．這個三角形叫做這個圓的內接三角形．三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線交點．它到三角形各頂點的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑．如圖所示．2.直線與圓的位置關系①設r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關系如下表．②圓的切線．切線的定義：和圓有唯一公共點的直線叫做圓的切線．這個公共點叫切點．切線的判定定理：經過半徑的外端．且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．友情提示：直線l是⊙O的切線，必須符合兩個條件：①直線l經過⊙O上的一點A；②OA⊥l．切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．切線長定義：我們把圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．③三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內心就是三角形三個內角平分線的交點．要點詮釋：找三角形內心時，只需要畫出兩內角平分線的交點．三角形外心、內心有關知識比較3.圓與圓的位置關系在同一平面內兩圓作相對運動，可以得到下面5種位置關系，其中R、r為兩圓半徑(R≥r)．d為圓心距．要點詮釋：①相切包括內切和外切，相離包括外離和內舍．其中相切和相交是重點．②同心圓是內含的特殊情況．③圓與圓的位置關系可以從兩個圓的相對運動來理解．④“r1－r2”時，要特別注意，r1＞r2．典例6：（2022?淮安）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠ACB＝60°，AD經過圓心O交⊙O于點E，連接BD，∠ADB＝30°．（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BE，根據圓周角定理得到∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，根據等邊三角形的性質得到∠BOD＝60°，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據圓周角定理得到∠ABE＝90°，解直角三角形得到OB，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【解答】解：（1）直線BD與⊙O相切，理由：連接BE，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，∵OB＝OE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BD與⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∵AB＝4，∴sin∠AEB＝sin60°＝＝＝，∴AE＝8，∴OB＝4，∴BD＝OB＝4，∴圖中陰影部分的面積＝S△OBD﹣S扇形BOE＝4×﹣＝8﹣．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，扇形面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵．典例7：（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線與AB的延長線交于點P，若AC＝PC＝3，則PB的長為（）A． B． C． D．3【分析】連結OC，根據切線的性質得到∠PCO＝90°，根據OC＝OA，得到∠A＝∠OCA，根據AC＝PC，得到∠P＝∠A，在△APC中，根據三角形內角和定理求得∠P＝30°，根據含30度角的直角三角形的性質得到OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，根據tanP＝求出⊙O的半徑r即可得出答案．【解答】解：如圖，連結OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∵AC＝PC，∴∠P＝∠A，設∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，∴x+x+90+x＝180，∴x＝30，∴∠P＝30°，∵∠PCO＝90°，∴OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，tanP＝，∴＝，∴r＝3，∴PB＝OP﹣OB＝2r﹣r＝r＝3．故選：D．【點評】本題考查了切線的性質，體現了方程思想，在△APC中，根據三角形內角和定理求得∠P＝30°是解題的關鍵．典例8：（2022?寧夏）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點C，AD平分∠CAB交⊙O于點D，過點D作直線DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．連接BD并延長交AC于點M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的長．【分析】（1）連接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC證明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可證明直線DE是⊙O的切線；（2）由線段AB是⊙O的直徑證明∠ADB＝90°，再根據等角的余角相等證明∠M＝∠ABM，則AB＝AM；（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°證明∠BAM＝60°，則△ABM是等邊三角形，所以∠M＝60°，則∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再證明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．【解答】（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：∵線段AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【點評】此題重點考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．典例9：（2022?阜新）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點D，連接CD，且CD＝AC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的長．【分析】（1）連接OD．由等腰三角形的性質及圓的性質可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根據余角性質及三角形的內角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切線的判定定理可得結論；（2）根據等邊三角形的判定與性質可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形內角和定理可得∠BOD的度數，最后根據弧長公式可得答案．【解答】（1）證明：連接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，∴△ACD是等邊三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴的長＝．【點評】此題考查的是切線的判定與性質、直角三角形的性質、弧長公式，正確作出輔助線是解決此題的關鍵．考點四、正多邊形和圓1.正多邊形的有關概念正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫正多邊形的中心．外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫正多邊形的邊心距，正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，這個角叫正多邊形的中心角，正多邊形的每一個中心角都等于．要點詮釋：通過中心角的度數將圓等分，進而畫出內接正多邊形，正六邊形邊長等于半徑．2.正多邊形的性質任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩圓是同心圓．正多邊形都是軸對稱圖形，偶數條邊的正多邊形也是中心對稱圖形，同邊數的兩個正多邊形相似，其周長之比等于它們的邊長(半徑或邊心距)之比．3.正多邊形的有關計算定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形．正n邊形的邊長a、邊心距r、周長P和面積S的計算歸結為直角三角形的計算．，，，，，．典例10：（2022?黔東南州）（1）請在圖1中作出△ABC的外接圓⊙O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，點B是的中點，過點B的切線與AC的延長線交于點D．①求證：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖分別作出AB、AC的垂直平分線交于點O，以O為圓心、OA為半徑作圓即可；（2）①連接OB，根據切線的性質得到OB⊥BD，證明OB∥AD，根據平行線的性質證明結論；②連接EC，根據圓周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根據正切的定義求出EC，根據勾股定理求出AE，得到答案．【解答】（1）解：如圖1，⊙O即為△ABC的外接圓；（2）①證明：如圖2，連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴OB⊥BD，∵點B是的中點，∴＝，∴∠CAB＝∠EAB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠EAB，∴∠CAB＝∠OBA，∴OB∥AD，∴BD⊥AD；②解：如圖2，連接EC，由圓周角定理得：∠AEC＝∠ABC，∵tan∠ABC＝，∴tan∠AEC＝，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°，∴＝，∵AC＝6，∴EC＝8，∴AE＝＝10，∴⊙O的半徑為5．【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、解直角三角形，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．典例11：（2022?黔東南州）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是cm2．（結果用含π的式子表示）【分析】根據角A的度數和內切圓的性質，得出圓心角DOE的度數即可得出陰影部分的面積．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的內切圓，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案為：．【點評】本題主要考查三角形內切圓的知識，熟練掌握三角形內切圓的性質及扇形面積的計算是解題的關鍵．典例12：（2022?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，點M在上，則∠CME的度數為（）A．30° B．36° C．45° D．60°【分析】由正六邊形的性質得出∠COE＝120°，由圓周角定理求出∠CME＝60°．【解答】解：連接OC，OD，OE，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME＝∠COE＝60°，故選：D．【點評】本題考查了正六邊形的性質、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質，由圓周角定理求出∠COM＝120°是解決問題的關鍵．考點五、圓中的計算問題1.弧長公式：，其中為n°的圓心角所對弧的長，R為圓的半徑．2.扇形面積公式：，其中．圓心角所對的扇形的面積，另外．3.圓錐的側面積和全面積：圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長．圓錐的全面積是它的側面積與它的底面積的和．要點詮釋：（1）在計算圓錐的側面積時要注意各元素之間的對應關系，千萬不要錯把圓錐底面圓半徑當成扇形半徑．（2）求陰影面積的幾種常用方法(1)公式法；(2)割補法；(3)拼湊法；(4)等積變形法；(5)構造方程法．典例13：（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，將△ABC繞點A逆時針旋轉2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長交AB于點D，當B′D⊥AB時，的長是（）A．π B．π C．π D．π【分析】證明α＝30°，根據已知可算出AD的長度，根據弧長公式即可得出答案．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC?cos30°＝4×＝2，∴，∴的長度l＝＝π．故選：B．【點評】本題主要考查了弧長的計算及旋轉的性質，熟練掌握弧長的計算及旋轉的性質進行求解是解決本題的關鍵．典例14：（2022?菏澤）如圖，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝，以A為圓心，以AB為半徑作；以BC為直徑作．則圖中陰影部分的面積是π﹣2.（結果保留π）【分析】如圖，取BC的中點O，連接OA．根據S陰＝S半圓﹣S△ABC+S扇形ACB﹣S△ACB，求解即可．【解答】解：如圖，取BC的中點O，連接OA．∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝，∴BC＝AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，∴S陰＝S半圓﹣S△ABC+S扇形ACB﹣S△ACB＝?π×12﹣××+﹣××＝π﹣2．故答案為：π﹣2．【點評】本題考查扇形的面積，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用割補法求陰影部分的面積．典例15：（2022?廣安）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，圓柱的高CD＝2.5m，則下列說法錯誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側面積為10πm2 C．圓錐的母線AB長為2.25m D．圓錐的側面積為5πm2【分析】利用圓的面積公式對A選項進行判斷；利用圓柱的側面積＝底面圓的周長×高可對B選項進行判斷；根據勾股定理可對C選項進行判斷；由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用扇形的面積公式可對D選項進行判斷．【解答】解：∵底面圓半徑DE＝2m，∴圓柱的底面積為4πm2，所以A選項不符合題意；∵圓柱的高CD＝2.5m，∴圓柱的側面積＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B選項不符合題意；∵底面圓半徑DE＝2m，即BC＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，∴圓錐的母線長AB＝＝2.5（m），所以C選項符合題意；∴圓錐的側面積＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了圓柱的計算．典例16：（2022?賀州）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓柱體底面半徑是3cm，液體高是7cm．計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】由圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD＝DE，根據圓錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，即知計時結束后，圓錐中沒有液體的部分體積為9πcm3，設計時結束后，“沙漏”中液體的高度AD為xcm，可得π?（6﹣x）2?（6﹣x）＝9π，即可解得答案．【解答】解：如圖：∵圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，∴△ABC是等腰直角三角形，∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，由已知可得：液體的體積為π×32×7＝63π（cm3），圓錐的體積為π×62×6＝72π（cm3），∴計時結束后，圓錐中沒有液體的部分體積為72π﹣63π＝9π（cm3），設計時結束后，“沙漏”中液體的高度AD為xcm，則CD＝DE＝（6﹣x）cm，∴π?（6﹣x）2?（6﹣x）＝9π，∴（6﹣x）3＝27，解得x＝3，∴計時結束后，“沙漏”中液體的高度為3cm，故選：B．【點評】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關鍵是掌握圓柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．考點六、四點共圓1.四點共圓的定義四點共圓的定義：如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”.2.證明四點共圓一些基本方法：1.從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．或利用圓的定義，證各點均與某一定點等距.2.如果各點都在某兩點所在直線同側，且各點對這兩點的張角相等，則這些點共圓．（若能證明其兩張角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑.）3.把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．4.把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．即利用相交弦、切割線、割線定理的逆定理證四點共圓.典例17：（2022?遵義）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據2）∴點A，B，C，D四點在同一個圓上反思歸納：（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？依據1：圓內接四邊形對角互補；依據2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝