離散時(shí)間系統(tǒng)與差分方程

1.4離散時(shí)間系統(tǒng)與差分方程1.5系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)二、????幾種常用系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)：其基本原理是，當(dāng)單位圓上的ej3點(diǎn)在極點(diǎn)di附近時(shí)，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn)di越靠近單位圓，極小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當(dāng)di處在單位圓上時(shí)，極小值為零，相應(yīng)的頻響將出現(xiàn)8,這相當(dāng)于在該頻率處出現(xiàn)無耗(Q=8)諧振，當(dāng)極點(diǎn)超出單位圓時(shí)系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，這是不希望的。 對(duì)于零點(diǎn)位置，頻響將正好相反，ej3點(diǎn)越接近某零點(diǎn)ci，頻響越低，因此在零點(diǎn)附近，頻響出現(xiàn)谷點(diǎn)，零點(diǎn)越接近單位圓，谷點(diǎn)越接近零，零點(diǎn)處于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零，即在零點(diǎn)所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點(diǎn)，零點(diǎn)可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定性約束。 這種幾何方法為我們認(rèn)識(shí)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響提供了一個(gè)直觀的概念，這一概念對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)都十分重要。 例4：Im[z]小結(jié)：*T[??]??離散時(shí)間系統(tǒng)x(n) y(n)一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運(yùn)算。它的輸入是一個(gè)序列，輸出也是一個(gè)序列，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個(gè)運(yùn)算。 y(n)=T[x(n)]對(duì)T[??]加以種種約束，可定義出各類離散時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時(shí)不變系統(tǒng)”。T[.]1.線性系統(tǒng)(滿足迭加原理的系統(tǒng)) 若系統(tǒng)的輸入為X1(n)和x2(n)時(shí)，輸出分別為y1(n)和y2(n), 即y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)] 如果系統(tǒng)輸入為ax1(n)+bx2(n)時(shí)，輸出為ay1(n)+by2(n)，其中a，b為任意常數(shù)，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。所以，線性系統(tǒng)的條件為 T[ax1(n)+bx2(n) ]=aT[x1 (n) ]+bT[x2 (n) ]=ay1(n)+by2(n) 線性系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理可應(yīng)用迭加定理。例：設(shè)一系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為y[n]=x2[n]試判斷系統(tǒng)是否為線性？解：輸入信號(hào)x[n]產(chǎn)生的輸出信號(hào)T{x[n]}為 T(x[n]}=x2[n]輸入信號(hào)ax[n]產(chǎn)生的輸出信號(hào)T{ax[n]}為 T{ax[n]}=a2x2[n]除了a=0,1情況，T(ax[n]}?aT{x[n]}。故系統(tǒng)不滿足線性系統(tǒng)的的定義，所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。2.時(shí)不變系統(tǒng)如果T[x(n)]=y(n)，則T[x(n-n0)]=y(n-n0) (n0為任意整數(shù))即系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間而變化。 線性時(shí)不變系統(tǒng)簡(jiǎn)稱為：LTI例：若系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系為： y(n)=nx(n)試判斷系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？3.線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)一一既滿足迭加原理又具有時(shí)不變性的系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。我們知道，任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的加權(quán)和如令h(n)為系統(tǒng)對(duì)單位脈沖序列的響應(yīng)， h(n)=T[6(n)]則系統(tǒng)對(duì)任一輸入序列x(n)的響應(yīng)為 由于系統(tǒng)是線性的，滿足迭加定理 又由于系統(tǒng)是時(shí)不變的，對(duì)移位的單位脈沖的響應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)的移位。 注：只有線性時(shí)不變系統(tǒng)才能由單位脈沖響應(yīng)來表示 因此該式表明：對(duì)任何線性時(shí)不變系統(tǒng)，可完全通過其單位脈沖響應(yīng)h(n)來表示。這個(gè)公式和模擬系統(tǒng)的卷積是類似的，稱為離散卷積，或線性卷積。 卷積過程： ①??對(duì)h(m)繞縱軸折疊，得h(-m)； ②??對(duì)h(-m)移位得h(n-m)； ③將x(m)和h(n-m)所有對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘之后相加，得離散卷積結(jié)果y(n)。?令m'=n-m，做變量代換，則卷積公式變?yōu)?因此，x(m)與h(n-m)的位置可對(duì)調(diào)。(即輸入為x(n)、單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)與輸入為h(n)、單位脈沖響應(yīng)為x(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)具有同樣的輸出)離散卷積也稱為“線性卷積”或“直接卷積”以區(qū)別其他種類的卷積。(實(shí)驗(yàn)演示！)4、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性線性和時(shí)不變兩個(gè)約束條件定義了一類可用卷積和表示的系統(tǒng)。穩(wěn)定性和因果性也是很重要的限制。穩(wěn)定系統(tǒng)：對(duì)于每一個(gè)有界輸入產(chǎn)生一個(gè)有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)且僅當(dāng)(充要條件) 時(shí)，該線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 因果系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出y(n)只取決于當(dāng)前以及過去的輸入，即x(n),x(n-1)，x(n-2)……。 非因果系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的輸出y(n)取決于x(n+1)，x(n+2)，…，即系統(tǒng)的輸出取決于未來的輸入，則是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)，(不可實(shí)現(xiàn)) 因果系統(tǒng)的充要條件：h(n)三0，n0(可從y(n)=x(n)*h(n)導(dǎo)出)例： 分析單位脈沖響應(yīng)為h(n)=anu(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。既然，n0時(shí)，h

(n)=0,系統(tǒng)是因果的如果(n)=0,系統(tǒng)是因果的如果1,則|a|N1,則s-8,級(jí)數(shù)發(fā)散。故系統(tǒng)僅在|a|1時(shí)才是穩(wěn)定的。穩(wěn)定的因果系統(tǒng)：既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對(duì)可積的，即 這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實(shí)現(xiàn)的又是穩(wěn)定工作的，這種系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。5.?差分方程一一描述系統(tǒng)輸入輸出之間的運(yùn)算關(guān)系一個(gè)線性的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)總可以用線性微分方程來表達(dá)。而對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，由于其變量n是離散整型變量，故只能用差分方程來反映其輸入輸出序列之間的運(yùn)算關(guān)系。 其N階線性常系數(shù)差分方程的一般形式： 其中ai、bi都是常數(shù)。 離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個(gè)主要用途： ①由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；②求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；例：用途一，由一階差分方程畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)y(n)=ay(n-1)+x(n) 由此得到它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖Ta網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用途二在給定輸入和給定初始條件下，用遞推的方法求系統(tǒng)瞬態(tài)解例，一階差分方程系統(tǒng)： 其輸入為 解：①初始條件為y(n)=0，n0 n=0以的前的輸出已由初始條件給定，瞬態(tài)解從n=0求起，由差分方程、初始條件和輸入，得： 依次遞推11I，穩(wěn)定、因果系統(tǒng)②輸入相同，但初始條件改為n0，y(n)=0將上述差分方程改寫成y(n-1)=2[y(n)-1.5x(n)]此依此類推，y(0)=2[y(1)-1.5x(1)]=0依此類推，得 到② 非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng) ①、②兩式所表示的兩個(gè)不同的單位脈沖響應(yīng)，雖滿足同一差分方程，但由于初始條件不同，它們代表不同的系統(tǒng)，也即用差分方程描述系統(tǒng)時(shí)，只有附加必要的制約條件，才能唯一地確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系。0510152025303540-1-0.500.511.5n幅度用MATLAB計(jì)算差分方程輸出？一、？??？定義 在上一節(jié)中曾討論過用單位脈沖響應(yīng)h(n)來表示一個(gè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，y(n)=x(n)*h(n) 兩邊取z變換Y(z)=X(z)H(z) 則定義為系統(tǒng)函數(shù)1)它是單位脈沖響應(yīng)的z變換。所以可以用單位脈沖響應(yīng)的z變換來描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。2)單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 可以證明，它是單位脈沖響應(yīng)h(