全等三角形的性質(zhì)與判定-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點(diǎn)專(zhuān)題突破（人教版）（解析版）

考點(diǎn)01、全等三角形的性質(zhì)與判定

知識(shí)框架

'全等形的概念及性質(zhì)

全等三角形的定義和表示方法

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，全等三角形的性質(zhì)與拓展

全等變換的保形性

.［全等三角形判定條件

'全等三角形的判定

示皿上昨利全等三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用

重難點(diǎn)題型全等三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

全等三角形的壓軸題

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1-1全等形的概念及性質(zhì)

1）全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形

2）全等形的性質(zhì)：①形狀相同；②大小相同

注：①全等圖形與其所在的位置無(wú)關(guān)（只要通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后能夠使兩個(gè)圖形完成重合即可）。對(duì)稱(chēng)

圖形要求更苛刻些。

②因兩圖形完全相等，故圖形所有對(duì)應(yīng)條件都相同（例：周長(zhǎng)、面積、對(duì)應(yīng)角角度等皆相等）

1.（2020?全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）.

A.所有正方形都是全等圖形B.面積相等的兩個(gè)三角形是全等圖形

C.所有半徑相等的圓都是全等圖形D.所有長(zhǎng)方形都是全等圖形

【答案】C

【解析】根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷.A、所有正方形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、面積相等的

兩三角形不一定全等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、所有半徑相等的圓都是全等圖形，故此選項(xiàng)正確；D、所有長(zhǎng)方

形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.

考點(diǎn)：全等圖形.

2.（2020?河北泊頭初二期中）如圖所示的圖形是全等圖形的是（）

A.B.C.D.口

【答案】B

【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案.

【解析】解：如圖所示的圖形是全等圖形的是B,故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等形的定義.

3.（2020,全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）如圖（1）?（12）中全等的圖形是和；和

和；和；和；和；（填圖形的序號(hào)）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)能夠互相重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形解答.

【解析】全等圖形是（1）和（11）;（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和(7)；(5)和(8)；(9)和(12).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形，掌握概念并準(zhǔn)確識(shí)別各圖形的形狀是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?福建石獅初一期末）如圖，四邊形ABCD四四邊形AB'C。'，則NA的大小是

【分析】由全等形四邊形的性質(zhì)，得到NO=ND=130°，由四邊形的內(nèi)角和即可求出NA的度數(shù).

【解析】解：?.?四邊形ABQDg四邊形A'3'C'。'，?'.NO=NZ）'=130°，

/.ZA=360°-130°-75°-60°=95°；故答案為：95°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等圖形中對(duì)應(yīng)角相等.

知識(shí)點(diǎn)1-2全等三角形的定義和表示方法

1）全等三角形：能夠完全重合的三角形（長(zhǎng)得完全一樣的三角形）

2）表示方法:@AABC^ADEF（讀作：三角形ABC全等于三角形DEF）

②頂點(diǎn)需要一一對(duì)應(yīng)（即長(zhǎng)得一樣的在描述中至于同等地位）

③從書(shū)寫(xiě)中，我們根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可得：

a.點(diǎn)A與點(diǎn)D為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；

b./A與ND為對(duì)應(yīng)角，NB與/E為對(duì)應(yīng)角，/C與NF為對(duì)應(yīng)角；

c.AB與DE為對(duì)應(yīng)邊，AC與DF為對(duì)應(yīng)邊，BC與EF為對(duì)應(yīng)邊。

3）找對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊的方法

①圖形特征法；②字母順序確定法

知識(shí)點(diǎn)1-3全等三角形的性質(zhì)與拓展

1）全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形

a對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

b周長(zhǎng)、面積相等

c對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平分線、高相等

1.（2020?貴州紫云初二期末）有下面的說(shuō)法：①全等三角形的形狀相同；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；③

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等.其中正確的說(shuō)法有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】先分別驗(yàn)證①②③④的正確性，并數(shù)出正確的個(gè)數(shù)，即可得到答案.

【解析】①全等三角形的形狀相同，根據(jù)圖形全等的定義，正確；

②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正確；

③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正確；

④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等，正確；故四個(gè)命題都正確，故D為答案.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的定義、全等三角形圖形的性質(zhì)，即全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、

面積周長(zhǎng)均相等.

2.（2020?山東東平東原實(shí)驗(yàn)學(xué)校初一月考）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等B.全等三角形的角相等

C.全等三角形的周長(zhǎng)相等D.全等三角形的面積相等

【答案】B

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.

【解析】解：A、全等三角形的對(duì)?應(yīng)邊相等，正確，不符合題意；

B、應(yīng)為全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，符合題意；

c、全等三角形的周長(zhǎng)相等，正確，不符合題意；

D、全等三角形的面積相等，正確，不符合題意.故選B.

3.（2019?江蘇江都初二月考）下列命題中正確的是（）

A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中線相等

C.全等三角形的垂直平分線相等D.全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等

【答案】D

【解析】因?yàn)槿热切螌?duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)邊的垂直平分線、對(duì)應(yīng)角的平分線相等，A、

B、C項(xiàng)沒(méi)有“對(duì)應(yīng)”，所以錯(cuò)誤，而D項(xiàng)有“對(duì)應(yīng)”，D是正確的.故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的定義、全等三角形圖形的性質(zhì)，即全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、

面積周長(zhǎng)等均相等.

4.（2020?四川雅安初一期末）如圖，在口45。中，D、E分別是AC,A3上的點(diǎn)，若AADE咨ABDE

出△BDC,則ZD8C的度數(shù)為.

【答案】300

【分析】根據(jù)口4）石烏口3￡>E，可得NA=NDBE,ZDEA=ZDEB=90°,又因?yàn)榭?。石絲43口。可得

ZDBE=ZDBC,ZDEB=ZC=90°,故NA=NDBE=NDBC,所以可求出NDBC的度數(shù).

【解析】解：VQADE^QBDEAZA=ZDBE,ZDEA=ZDEB

DEA+DEB=180°DEA=DEB=90°

TOBDE^ABDCAZDBE=ZDBC,ZDEB=ZC=90°

AZA=ZDBE=ZDBC.\NDBC=90o+3=30。故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練全等三角形對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2020?陜西扶風(fēng)初一期末）如圖，AAOB^ACOD,4和C,8和。是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，若BO=6,AO=3,AB=5,

則CD的長(zhǎng)為（）

o

RD

A.5B.8C.10D.不能確定

【答案】A

【分析】由UAOBCOD,A和C,B和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)可得到：AB=CD、AO=CO、BO=DO,已知AB

=5即可得CD的長(zhǎng).

【解析】口lAOB口匚COD,A和C,B?和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，E2AB=CD、AO=CO、BO=DO,

匚AB=5,DCD=5.即CD的長(zhǎng)為5.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊是解此題的關(guān)鍵.

6.（2020?廣東揭陽(yáng)初一期末）如圖□己知A/IBC絲□下列結(jié)論中不正確的是（）

A.ACVSCEB.ZBACUZECDC.ZACBUZECDD.ZBUZD

【答案】C

【分析】全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等.

【解析】解由全等三角形的性質(zhì)可知ALBD均正確，BLACBL]GCED故C錯(cuò)誤.故選擇C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，注意其對(duì)應(yīng)關(guān)系不要搞錯(cuò).

7.（2020?吉林寬城？初一期末）如圖，AACF四4DBE,其中點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上.

（1）若BE_LAD,ZF=62°,求/A的大小.（2）若AD=9cm,BC=5cm,求AB的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NFCA=NEBD=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可;

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CA=BD,結(jié)合圖形得到AB=CD,計(jì)算即可.

【解析】（1）'：BE1AD,:./EBD=90°.

△ACF98DBE,：.ZFCA=ZEBD=90°.：.ZF+ZA=900'：ZF=62°,ZJ=28°.

（2）?:/XACF-DBE,：.CA=BD.：.CA-CB=BD-CB.BPAB=CD.

\9AD=9cm,BC=5cm,.\AB+CD=9-5=4cm..\AB=CD=2cm.

【點(diǎn)睛】考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)1-4全等變換的保形性

1）只改變圖形的位置，不改變圖形形狀、大小，則變形后的圖形與原來(lái)圖形全等，叫作圖形全等變換。

注：①平移、翻折、旋轉(zhuǎn)都是全等變換；②縮放不是全等變換

1.（2019?山東濟(jì)陽(yáng)初二期中）如圖，RtllABC沿直線邊BC所在的直線向右平移得到口DEF，下列結(jié)論中

A.NDEF=90°B.BE=CFC.CE=CFD.Srai4JgABEH=S|nJii^DHCF

【答案】C

【分析】由平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，選擇正確答案.

【解析】?/RtFlABC沿直線邊BC所在的直線向右平移得到DDEF

/DEF=/ABC=90°BC=EFSABC=SDEF

-1?BC—EC=EF—ECSABC—SHEC=SDEF—SHEC

BE=CFS四邊形ABEH=S四邊形DHCF但不能得出CE=CF故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線

段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.

3.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C處，折痕

為EF,若AB=1,BC=2,則匚ABE和DBCF的周長(zhǎng)之和為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

分析：由折疊特性可得CD=BC，=AB,FCZB=EAB=90°,EBO-ABC=90。，推出ABE=C'BF,所以

BAEiJLiBC'F,根據(jù)ABE和：BCT的周長(zhǎng)=2「ABE的周長(zhǎng)求解.

【解析】將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C，處，折痕為EF,

由折疊特性可得，CD=BC=AB,UFC'B=lEAB=90°,EBC'=LABC=90°,

ABE+EBF=」C'BF+EBF=90°ABE=CBF

'/FC'B=ZEAB

在EIBAE和DBCF中，,BC，=ABDOBAEBCT（ASA）,

ZABE=ZCZBF

ABE的周長(zhǎng)=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3,

ABE和！BCF的周長(zhǎng)=21ABE的周長(zhǎng)=2x3=6.故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，折疊前后圖形的形狀和大小不

變，如本題中折疊前后角邊相等.

3.（2020?豐寧滿(mǎn)族自治縣黃旗中學(xué)初二月考）如圖，長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的F

點(diǎn)處，ZBAF=60°,那么NDAE等于（口

A.45°B.30°C.15°D.60°

【答案】C

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NDAF=30°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【解析】解：；ABCD是長(zhǎng)方形，.,.ZBAD=90°,VZBAF=60°,AZDAF=30°,

?長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊，.-.△ADE^AAFE,/.ZDAE=ZEAF=-ZDAF=15°.故選C.

2

【點(diǎn)睛】圖形的折疊實(shí)際上相當(dāng)于把折疊部分沿著折痕所在直線作軸對(duì)稱(chēng)，所以折疊前后的兩個(gè)圖形是全

等三角形，重合的部分就是對(duì)應(yīng)量.

知識(shí)點(diǎn)1-5全等三角形判定條件

三角形全等判定總結(jié)：

①SSS②SAS③ASA?AAS⑤HL斜邊和直角邊分別相等的兩直角三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)為HL）

1.（2020?陜西雁塔初一月考）下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）能夠完全重合的兩個(gè)圖形全等；（2）兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

（3）兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（4）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

分析：分別利用全等圖形的概念以及全等三角形的判定方法進(jìn)而判斷得出即可.

【解析】（1）能夠完全重合的兩個(gè)圖形全等，正確；

（2）兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，必須是SAS才可以得出全等，錯(cuò)誤；

（3）兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，是一角的對(duì)邊或兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，正確；

（4）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，正確.所以有3個(gè)判斷正確.故選C.

點(diǎn)睛：此題主要考查了全等圖形的概念與性質(zhì)，正確掌握判定兩三角形全等的方法是解題關(guān)鍵.

2.（2020?云南昆明三中初一期末）如圖，AABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0,1）,B（4,1）C（1,3）,如

果要使AABD與AABC全等，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)可以是

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形，根據(jù)圖形結(jié)合A、B、C的坐標(biāo)即可得出答案.

【解析】解：如圖，?.'△ABD與￡ABC全等，共有3種情況，Di（3,3）,D2（-1,-1）,D3（3,-1）,

故答案為：（3,3）或（1,-1）或（3,-1）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，注意要進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出符合條件的所

有情況是解此題的關(guān)鍵.

3.（2020?湖北棗陽(yáng)?初二期末）如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD,其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的

點(diǎn)A與PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD,使它們分別落在角的兩邊上，過(guò)點(diǎn)A,C畫(huà)一條射線AE,

AE就是1PRQ的平分線.此角平分儀,的畫(huà)圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得這樣就有

LQAE=JPAE.則說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）

【答案】D

AD=AB

【解析】在^ADC和AABC中，＜OC=8CADCABCSSS

AC=AC

CiDAC=QBAC.即/QAERPAEL故選DD

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,E,B,F在一條直線上，在aABC和aFED中，AC=FD,BC=DE,

要利用“S$S”來(lái)判定AABC絲Z\FED時(shí)，下面4個(gè)條件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；@BF=BE；可

利用的是（）

A.①或②B.②或③C.③或①D.①或④

【答案】A

【解析】由題意可得，要用SSS進(jìn)行△月8c和△尸口）全等的判定，需要AB=FE

若添加①力則可得力E+BE=F8+8￡,即故①可以；

若添加則可直接證明兩三角形的全等，故②可以，

若添加或BF=BE,均不能得出/8=/區(qū)不可以利用SSS進(jìn)行全等的證明，故③④不可以.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查/三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解題的關(guān)鍵.

5.（2019?山西渾源初二期中）如圖，在△/BC中，4B=AC.點(diǎn)、B,D,E在同一直線上，點(diǎn)。在△/8C內(nèi)、

點(diǎn)￡在448。外，且若4%C=NZXE=5O°,貝U8EC的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.60°D.80°

【答案】A

【分析】如圖，由4L4C=ND4E可得4AD=NC4E,進(jìn)而可根據(jù)SAS證明△力8。g△4CE,于是得

NABE=NACE,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即得N8EC=/8/C,從而可得答案.

【解析】解：如圖，???44C=NZME,N8AO=NC4E，

又。；AB=AC,AD=4E,：.^ABD^/\ACE(SAS),:./ABE=NACE,

■:NAOB=NCOE,:.NBEC=ZBAC=50°.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.（2019?廣西田東初二期末）如圖，△/8C的一角被墨水污了，但小明很快就畫(huà)出跟原來(lái)一樣的圖形，他

所用定理是（）

A.SASB.SSSC.ASAD.HL

【答案】C

【分析】根據(jù)現(xiàn)有的邊和角利用全等三角形的判定方法即可得到答案.

【解析】根據(jù)題意可知，NA,AB,N5都是已知的，所以利用ASA可以得到△/8C的全等三角形，從而就

可畫(huà)出跟原來(lái)一樣的圖形.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知三條平行直線兩條平行線間的距離為

7.（2020h/2,%，4，42,12,

4兩條平行線間的距離為4,將一等腰直角三角形如圖放置，過(guò)/,8分別向直線&作垂線，垂足分別為，

【分析】首先根據(jù)同角的余角相等得出NC4O=NBCE,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和一線三等角證出

OACD^CBE（AAS）,所以AD=CE=2+4=6,8=8￡=4.即。石=。七+8,從而求解.

【解析】：AOJ_13于點(diǎn)。，BEJ.匕于點(diǎn)、E,：.NADC=NCEB=90°.

?.?NAC8=90°,:.ZACD+ZBCE^90°.?.?NAC￡>+NZMC=90。，;.NCAD=/BCE.

ZADC=NCEB

在AACD和ACBE中，<NCA。=/BCE,

AC=CB

:QACD^CBE（AAS）,AD=CE=2+4=6，CD=BE=4.：DE=CE+CD,

.-.￡>￡=6+4=10.故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等根據(jù)同角的余

角相等和一線三等角證明三角形全等是解題關(guān)鍵.

8.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的

長(zhǎng)度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角NABC和N0EE之間的關(guān)系是（）

A.ZABC=NDFEB.ZABC>ZDFEC.ZABC+ZDFE100°D.ZABC+NDFE=90。

【答案】D

【分析】根據(jù)HL定理判定RtLABC也RtUDEF（HL）,即可得到結(jié)果；

【解析】由題意可知3C=EE,AC=DF，ACLAB,DEIDF-

[BC=EF

「口ABC與口。石尸為直角三角形.，在R/CABC與町△DEF中，〈“一八.，

AC=DF

:.R1DABC^R^]DEF（HL）,:.ZACB=ZDFE.

ZABC+ZACB=90°.ZABC+ADFE=90°.故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵.

重難點(diǎn)題型

題型1全等三角形的判定

方法：5種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）

解題技巧：

1）根據(jù)圖形和已知條件，猜測(cè)可能的全等三角形；2）尋找邊角相等的3組條件。

3）往往有2個(gè)條件比較好找，第3個(gè)條件需要推理

尋找第3個(gè)條件思路：

原則

1）需要證明的邊或角需首先排除，不可作為第3個(gè)條件尋找

2）尋找第3個(gè)條件，往往需要根據(jù)題干給出的信息為指導(dǎo)，確定是找角還是邊

全等三角形證明思路：

.找?jiàn)A角->SAS

已知兩邊<找第三邊f(xié)SSS

找直角->HL

'邊為角的對(duì)邊T找任一角tA4S

主角左4工n於[找?jiàn)A角的另一邊f(xié)SAS

《重已知一邊和一角404+4山口4

邊為A角的鄰L邊｛找?jiàn)A角的另一角->ASA

找邊的對(duì)角fAAS

找?jiàn)A角fAS4

已知兩角<

找期中一角的對(duì)邊f(xié)A4S

r：sss證全等

1.（2020?山東中區(qū)濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初一期末）如圖，點(diǎn)4D、C、F在同一條直線上，AD=CF,AB=DE,

BC=EF.(1)求證：AABC0ADEF；(2)若NN=60。，ZS=80°,求/尸的度數(shù).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）ZF=400.

【分析】（1）因?yàn)锳D=CF,故AD+CD=CD+CF,即AC=DF,運(yùn)用SSS可證UABCgUDEF；

（2）由（1）可得NF=/ACB,根據(jù)三角形內(nèi)角和180。，可求NACB的度數(shù)，即NF可求.

【解析】解：（1）VAD=CF,/.AD+CD=CD+CF,即AC=DF,

AB=DE

在UABC和UDEF中，\BC=EF/.UABC^UDEF（SSS）；

AC=DF

（2）由（1）可得UABC絲UDEF,.,.ZF=ZACB,

根據(jù)三角形內(nèi)角和180。，ZA=60°,ZB=80°,/.ZACB=180o-600-80o=40°,.*.ZF=40o.

【點(diǎn)睛】本題主要考察了三角形全等的判定方法及應(yīng)用、三角形內(nèi)角和為180。,能夠根據(jù)AD=CF得出AC=DF

是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?渠縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校初一期末）“三月三，放風(fēng)箏”如圖是小穎制作的風(fēng)箏，他根據(jù)AD=BD,AC

=BC,不用度量，就知道IDAC=UDBC,請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，給予說(shuō)明.

【分析】可證明4ACD與4BCD全等，題中給出兩條邊相等，又有一公共邊，所以?xún)扇切稳?，可得?duì)

應(yīng)角相等.

AD=BD

【解析】解：如圖：連接CD,在4ACD與4BCD中，,AC=3C,

CD=CD

：.AACD^ABCD(SSS),AZDAC=ZDBC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定，會(huì)求解一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題,

學(xué)會(huì)把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解.

3.(2018,高郵市汪曾祺學(xué)校初二月考)雨傘的中截面如圖，傘骨AB=AC,支撐桿OE=OF,AE=-AB,

3

AF=)AC,當(dāng)。沿AD滑動(dòng)時(shí)，雨傘開(kāi)閉，問(wèn)雨傘開(kāi)閉過(guò)程中，/BAD與NCAD有何關(guān)系？說(shuō)明理由.

【答案】相等一

【分析】ZBAD-ZCAD,根據(jù)已知條件利用SSS證明AAEO四△AFO,據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論.

【解析】解：ZBAD=ZCAD.

理由如下：VAE=-AB,AF=-AC,AB=AC,/.AE=AE

33

在AAEO和AAFO中，AE=AF,AO=AO,OE=OF,

.,.△AEO^AAFO(SSS.).AZEAO=ZFAO,即NBAD=NCAD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用.在實(shí)際生活中，常常通過(guò)兩個(gè)全等三角形，得出對(duì)應(yīng)角相等.

2°：SAS證全等

1.(2020?甘肅平川區(qū)四中初一期末)如圖，A，8兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A，

3之間的距離，但無(wú)法用繩子直接測(cè)量.爺爺幫他出了一個(gè)這樣的主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A

和點(diǎn)3的點(diǎn)C,連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使CD=AC；連接8C并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=CB；連接OE

并測(cè)量出。￡=8相，這樣就可以得到的長(zhǎng).請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)爺爺?shù)姆椒▽?duì)嗎？AB的長(zhǎng)是多少？

【答案】爺爺?shù)姆椒▽?duì)，AB的長(zhǎng)為8m

【分析】由題意知AC=DC,BC=EC,根據(jù)NACB=NDCE即可證明口?！辏┦?石，即可得AB=DE,即

可解題.

【解析】解：爺爺?shù)姆椒▽?duì).

CD=CA

在△CDE和△C4B中，＜NDCE=NACB：DCDE^JCAB（SAS）;,DE=AB

CE=CB

?.?OE=8m，A8=8m,即AB的長(zhǎng)為8m.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，本題中求證

□CDE出C45是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東鄴城初一期末）如圖，已知點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，BF=CE,AC=DF,且AC〃DF.求

證：ZB=ZE.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】先證出BC=EF,NACB=NDFE,再證明△ACBgADFE,得出對(duì)應(yīng)角相等即可.

【解析】證明：；BF=CE,；.BC=EF,VAC//DF,AZACB=ZDFE,

BC=EF

在AACB和ADFE中，iZACB=ZDFE,.\AACB^ADFE（SAS）,/.ZB=ZE.

AC=DF

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，證出三

角形全等是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?河南太康初二期末）如圖，AB=AD,8C=OC,點(diǎn)￡在/C上.（1）求證：4c平分N8/。；（2）

求證：BE=DE.

A

BD

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析：（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析：

【分析】（1）由題中條件易知:AABC絲ZXADC,可得AC平分NBAD；（2）利用（I）的結(jié)論，可得ABAE出ZiDAE,

得出BE=DE.

AB=AD

【解析】（1）在AABC與AADC中，,AC=AC：/.△ABC絲△ADC（SSS）

BC=DC

，/BAC=NDAC即AC平分/BAD；

BA=DA

（2）由（1）ZBAE=ZDAE在ABAE與ADAE中，得＜NBAE=NDAE：

AE=AE

/.△BAE^ADAE（SAS）.*.BE=DE

【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，得出三角形全等，轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

4.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）（1）作圖發(fā)現(xiàn)

如圖1,已知AABC,小涵同學(xué)以AB、AC為邊向^ABC外作等邊AABD和等邊AACE.連接BE,CD.這

時(shí)他發(fā)現(xiàn)BE與CD的數(shù)量關(guān)系是—.

（2）拓展探究

如圖2.已知^ABC,小涵同學(xué)以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連接BE,CD,試判

斷BE與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

3圖］0.圖2c

【答案】（1）BE=CD：（2）BE=CD,理由見(jiàn)解析.

【分析】（D根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到：AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,再通過(guò)角的等

量代換可證出/CAD=/EAB,因此ACAD也AEAB,即可求解.

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到：AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=90°,再通過(guò)角的等量代換可證出

ZCAD=ZEAB,因此ACAD好aEAB,即可求解.

【解析】解：（1）1?△ABD和AACE都是等?邊三角形，

/.AD=AB,AC=AE,/BAD=NCAE=60°,

ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即ZCAD=ZEAB,

AD=AB

在ACAD和AEAB中，V<ZCAD=ZEAB,

AC=AE

/.△CAD^AEAB(SAS),.,.BE=CD,

(2)BE=CD,理由同(1),

:四邊形ABFD和ACGE均為正方形，；.AD=AB,AC=AE,/BAD=/CAE=90。，

/.ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即NCAD=NEAB,

AD=AB

?.?在￡人口和^^8中，-ZCAD=ZEAB,.,.△CAD^AEAB(SAS),；.BE=CD.

AC=AE

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3°：ASA證全等

1.(2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí))如圖，小穎站在堤岸邊的A處，正對(duì)她的S點(diǎn)停有一艘游艇.她想知道這艘

游艇距離她有多遠(yuǎn)，于是她沿堤岸走到電線桿B旁，接著再往前走相同的距離，到達(dá)C點(diǎn).然后她向左直

行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時(shí)停下來(lái)，此時(shí)她位于D點(diǎn).那么C,D兩點(diǎn)間的距離就是在A點(diǎn)

處小穎與游艇間的距離.請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋其中的道理.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】先根據(jù)題目條件證明絲△OBC(ASA),再由全等三角形的性質(zhì)即可得到答案;

【解析】根據(jù)題意，可知：ZA=ZC=90°.AB=CB,ZSBA=ZDBC.

NA=NC

在A5BA和ADBC中，<AB=CB所以AsSBA/△OBC(ASA).

NSBA=NDBC

所以64=。。(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).即兩點(diǎn)間的距離就是在A點(diǎn)處小穎與游艇間的距離.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?湖南雨花初二期末)如圖，DABC中，點(diǎn)D在AC邊上，AEOBC,連接ED并延長(zhǎng)ED交BC于

點(diǎn)F,若AD=CD,求證：ED=FD.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】由平行可得內(nèi)錯(cuò)角相等，再利用ASA即可判定4ADE絲4CDF,所以ED=FD.

【解析】證明：；AE〃BC：./EAD=/C

ZEAD=ZC

在4ADE和4CDF中，\AD^CD.,.AADE^ACDF(ASA).\ED=FD

ZADE=Z.CDF

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，找到全等條件即可.

3.(2020?湖北陽(yáng)新初三三模)如圖，及AABC和HrAADE中，NC=NE=90°,ZCAD^ZEAB,

AC=AE,AB，OE相交于點(diǎn)尸，AD,BC相交于點(diǎn)G.

(1)求證：AABC=AADE；(2)若43=11,AG=6,求。G的長(zhǎng).

【答案】⑴詳見(jiàn)解析;(2)5.

【分析】(1)先得出NC4B=NE4。，再由ASA證明兩個(gè)三角形全等；

(2)由全等得出AB=AD,DG=AD-AG=AB-AG的結(jié)果.

【解析】(1)證明：?.?NC4Z)=NE4B..?.NC4D+ZfiAD=NE4B+NmB,即NC45=N￡AD.

又AC=AE,NC=ZE=90°，.?.MBCMMDE(ASA).

(2)解：vAABC=AADE,:,AB=AD

=.?.AD=11.又AG=6,.?.￡)0=11—6=5

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等的判定方法是關(guān)鍵.

4°：AAS證全等

1.（2020?四川巴州初一期末）某建筑測(cè)量隊(duì)為了測(cè)量一棟居民樓ED的高度，在大樹(shù)AB與居民樓ED之間

的地面上選了一點(diǎn)C,使B,C,D在一直線上，測(cè)得大樹(shù)頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的

夾角為90°,若AB=CD=12米，BD=64米，請(qǐng)計(jì)算出該居民樓ED的高度.

E

田

田

田

BCD

【答案】52米

【分析】先根據(jù)大樹(shù)頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的夾角為90。以及AB=CD可以推出AABC

注ACDE,從而得到匹=3。，進(jìn)而計(jì)算出即可.

【解析】解：由題意可知：NB=NCDE=ZACE=90°,.-.ZACB+ZDCE=180°-90°=90°,

ZACB+ZBAC=90°,：.ZACB+ZDCE=ZACB+ABAC,:.ZDCE=ABAC,

ABAC=ZDCE

在AABC和中，＜NB=/CDE,:.MBC*CDE,:.ED=BC,

AB^CD

又；CD=12米，BD=64米，:.BC=BD—CD=64—12=52米,:.ED=52米,

答：該居民樓ED的高度為52米.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，利用AAS證明AABC絲ACDE是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣西防城港初二期末）如圖，四邊形AFDC是正方形，NCE4和NAB/都是直角，且點(diǎn)

三點(diǎn)共線，CE=5,求AB的長(zhǎng).

【答案】5

【分析】根據(jù)題意推出NBAF=/ECA,進(jìn)而利用AAS證明△ABFgACEA,從而得出AB=CE=5.

【解析】解：???四邊形AFDC是正方形，，CA=AF,ZCAF=90°；

?.,點(diǎn)E,A,B三點(diǎn)共線，AZEAC+ZBAF=180°-ZCAF=90°；

又：ZCEA=ZABF=90°,ZEAC+ZECA=90°,；.ZBAF=ZECA,

/.AABFACEA（AAS）,/.AB=CE=5.

【點(diǎn)，睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用.熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?山西朔州初二期末）綜合與實(shí)踐

閱讀以下材料：

定義：兩邊分別相等且?jiàn)A角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做“互補(bǔ)三角形”.

用符號(hào)語(yǔ)言表示為：如圖①，在AABC與4DEF中，如果AC=DE,ZC+ZE=180°,BC=EF,那么AABC

與4DEF是互補(bǔ)三角形.

反之，“如果AABC與aDEF是互補(bǔ)三角形，那么有AC=DE,ZC+ZE=180°,BC=EF”也是成立的.

自主探究

利用上面所學(xué)知識(shí)以及全等三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題：

（1）性質(zhì)：互補(bǔ)三角形的面積相等

如圖②，已知aABC與4DEF是互補(bǔ)三角形.

求證：Z\ABC與4DEF的面積相等.

證明：分別作AABC與4DEF的邊BC,EF上的高線，則NAGC=/DHE=90。.

……（將剩余證明過(guò)程補(bǔ)充完整）

（2）互補(bǔ)三角形一定不全等，請(qǐng)你判斷該說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由，如果不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例，畫(huà)

出示意圖.

圖②

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）不正確，理由見(jiàn)解析

（分析］（1）已知AABC與ADEF是互補(bǔ)三角形，可得/ACB+/E=180。,AC=DE,BC=EF,證得/ACG=NE,

證明AAGC絲Z\DHE,得到AG=DH,所以工BC?AG='EE?，即4ABC與ADEF的面積相等.

22

（2）不正確.先畫(huà)出反例圖，證明4ABC絲ZXDEF,AABC與ADEF是互補(bǔ)三角形.互補(bǔ)三角形一定不全

等的說(shuō)法錯(cuò)誤.

【解析】（1）'.?△ABC與ZJDEF是互補(bǔ)三角形,/.ZACB+ZE=180°,AC=DE,BC=EF.

XVZACB+ZACG=180°,AZACG=ZE,

ZAGC=ZDHE=90°

在AAGC與ADHE中，＜ZACG=ZEAAAGC^ADHE(AAS)

AC=DE

.\AG=DH./.-BCAG=-EFDH,即△ABC與△DEF的面積相等.

22

AB=DE

(2)不正確,反例如解圖，在AABC和△DEF中，＜NABC=N。E尸=90°.?.△ABC絲△DEF(SAS),

BC=EF

.?.△ABC與ADEF是互補(bǔ)三角形....互補(bǔ)三角形一定不全等的說(shuō)法錯(cuò)誤.

A〃

【點(diǎn)睛】本題考查「全等三角形的判定及性質(zhì)定理，利用AAS和SAS證明三角形全等，已知兩個(gè)三角形全

等，可得到對(duì)應(yīng)邊相等.

5°：HL證全等

1.（2019?江蘇鼓樓南京市第二十九中學(xué)初二期中）用三角尺可以按下面的方法畫(huà)NAO5的平分線：在

04、OB上分別取點(diǎn)E、工使OE=O/；再分別過(guò)點(diǎn)E、尸畫(huà)04、03的垂線，這兩條垂線相交于點(diǎn)C；

畫(huà)射線0C（如圖）.試說(shuō)明射線0C平分NAO3的道理.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】由作圖過(guò)程可得0E=0F,CE10A,CF10B,進(jìn)而證明Rt^OEC-RjOFC,即可得射線0C為

NA0B的角平分線.

【解析】證明：：OE±CE,OFLCF,_-."EC=ZOFC=90°.

[OC=OC/、

在放口OCE和R/OOCF中，\Rt[：OCE^RtUOCF（HL],

OE=CF

??.ZEOC=ZFOC,???OC平分ZAOB.

【點(diǎn)睛】本題考查/作圖-復(fù)雜作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

2.(2018?新沂市王樓中學(xué)初二期中)如圖，NA=ND=90o「AC=DBACHDB相交于點(diǎn)O.求證：OB=OCJ

【答案】證明見(jiàn)解析.

分析：因?yàn)镹A=ND=90°,AC=BD,BC=BC,知RtZ\BAC絲Rt^CDB(HL),所以/ACB=NDBC,故0B=0C.

BD=CA

【解析】證明：在Rt^ABC和RtZ\DCB中〈，

BC=CB

ARtAABC^RtADCB(HL),AZ0BC=Z0CB,/.B0=C0.

點(diǎn)睛：此題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等

的重要工具.

3.(2020?湖南常德初二期末)如圖，已知8,。在線段4c上，且Z￡>=C8,BF=DE,NAED=NCFB=

90°求證：(1)LAED迫ACFB；(2)BE//DF.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)HL證明RtaAEDgRtaCFB得出結(jié)論；

(2)證明△DBE-ZIiBDF,則NDBE=/BDF,可得出結(jié)論.

【解析】(1)：NAED=/CFB=90。，

AD=BC

在Rt^AED和Rt^CFB中，《，.,.RtAAED^RtACFB(HL)；

DE=BF

(2)VAAED^ACFB,/BDE=/DBF,

DE=BF

在ADBE和4BDF中，=,.,.ADBE^ABDF(SAS),

BD=DB

.,.ZDBE=ZBDF,；.BE〃DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決

問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型2.全等三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用

解題技巧：熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定及其他板塊的知識(shí)，根據(jù)實(shí)際情況分析即可。

1.(2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí))如圖，點(diǎn)8和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，ZO=ZADC=90°,

記NQ4￡>=a,ZABO=JS.當(dāng)3C//Q4時(shí)，試探究。與夕之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】a=2B

【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=AC,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NBAO=NCAD,然后求出

ZBAC=a,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出NABC,然后根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)表示出NOBC,

整理即可.

【解析】：.AB^AC,ZBAO^ZCAD,

：.ZABC^ZACB,ZBAC^ZOAD^a，AZABC=^(180°-ZBAC)=1(180°-a).

BC//OA,:.ZOBC=180°-NO=180°-90°=90°.

又?.?ZABO=￡,.?./?+g(180°—a)=90°,.?.a=2￡.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等