圓錐曲線中與中點(diǎn)有關(guān)問題的一般解法

000000000000本文發(fā)于《數(shù)學(xué)通》2010第4期郵箱：wfzy2008@126.com電話錐曲線與中點(diǎn)有關(guān)題的一般解法湖南省水江市第六學(xué)(章勇圓錐曲線中與中點(diǎn)有關(guān)的問題一般可用“點(diǎn)差法解，它可減少計(jì)算到簡化運(yùn)算的目的。本文旨在“點(diǎn)差法”的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出此類問題更一般的結(jié)論和方法。由“點(diǎn)差法”我們可得如下結(jié)論：．橢圓

內(nèi)點(diǎn)P(,y)ab2

，則以

(xy)00

為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為：xyy2y2002ab2

；曲

內(nèi)點(diǎn)P(,)以P()a2

為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為：xyy2002b2a2b

；．拋物線

y

2

內(nèi)點(diǎn)P()0

，則以

(xy)0

為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為：yp0

x02

=ypx00

下面以橢圓為例進(jìn)行證明,其兩個(gè)結(jié)論請行證證明:設(shè)過點(diǎn)

(xy(y00

)且被P平的兩端點(diǎn)為P(P(10在橢圓上,從有12((y(2(0，02b2ab2

2

兩式相減得

[

(0

2

(02

2

]

(02

2

(02

2

]b2整理得020

即

k

PP

x020所以以為點(diǎn)的弦的直線方程為:

2xyy()2y0整理即得

xyy2y2002ab2

(

y0

)當(dāng)

y時(shí),以(x,)為中點(diǎn)的弦所在的直線,式0000故,以

(xy0

為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為：

xyy2y2002ab2

；上述結(jié)論中直方程結(jié)構(gòu)優(yōu)美,便于記憶,使方便。應(yīng)用它解決與中點(diǎn)有關(guān)的圓錐曲線問題快捷準(zhǔn)確。下面舉例說明它們的應(yīng)用。一求定為點(diǎn)弦所的線程例1、過橢圓

x24

內(nèi)一點(diǎn)

M

引一條弦，使弦被

M

點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。解：由結(jié)論1即可得以x2224

M(2,1)

為中點(diǎn)的弦所在直線方程為：整理得所求直線方程：

xy例知雙曲線

2

2

過

M

能否作一條直線

l

l

與雙曲線交于

、，點(diǎn)是線段AB的點(diǎn)。若存在這樣的直線l，出它的方程，若存在，說明理由。解：假設(shè)存在這樣的直線，由結(jié)論，以

M(1,1)

為中點(diǎn)的弦的直線方程為：

12

，即

yx

，代雙曲線方程并整理得，x

這說明直線

與雙曲線不相交，故被點(diǎn)

M

平分的弦不存在，即不存在這樣的直線

l

。注：題果視判式考，得錯(cuò)的果請必小。此可到點(diǎn)問中斷的M置常要1若點(diǎn)在圓曲內(nèi)則點(diǎn)平的一存（）中M在圓曲線，被M平分弦能存，須直線存性行證00二求定的或行的點(diǎn)軌方例．直線

l

繞定點(diǎn)

(4,

轉(zhuǎn)動(dòng)，且與雙曲線

x

2

y

2

相交，求相交弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)相交弦中點(diǎn)坐標(biāo)為

(xy0

，由結(jié)論2得所在直線方程為：x000

2

0

2點(diǎn)A(4,在直線上4xy2

整理得,(2x2

即所求相交弦中點(diǎn)的軌跡方為(y22例．已知橢圓

x2

y

2

，求斜率為2的行弦中點(diǎn)的跡方程。解：設(shè)平行弦中點(diǎn)坐標(biāo)為

(xy0

，由結(jié)論2得，以

x,y)00

為中點(diǎn)的弦的直線方程為：x20y2

y

0

2其斜率

xk20由已知有，

x02,20

即

xy00所以所求平行弦中點(diǎn)軌跡方程：

xy

（在橢圓內(nèi)的部分三求中有的錐線程例．已知橢圓

xa2

的一條準(zhǔn)線方程是x有條傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若AB的點(diǎn)

C(

11,)24

，求橢圓的方程。解：由結(jié)論1得，以

C(

1,)2

為中點(diǎn)的弦的程：1y()()422b2a2

224y24yk

22a2

由已知

k

，從而

b2a2

，即

①又

2c

②,

2

由①②③得

a

1,b2故所求橢圓方程為：

x2y21124四求錐線兩關(guān)某線稱問例、已知橢圓

x23

，試確定的

取值范圍，使得對于直線

l

：

，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱。解：設(shè)AB為圓上關(guān)于直線

l

：

yx

的對稱兩點(diǎn)，

(xy)00

為弦的中點(diǎn)，則直線AB的方程為：

xyy2y20034

AB

3x4y0lA3xyx00

①又點(diǎn)

(xy)00

在直線

l

，有

y4x00

②由①②得，

顯然點(diǎn)

(xy)0

在橢圓內(nèi)，從而有

(2()43解得：

213131313五證與點(diǎn)關(guān)定問例知AB是O為圓中心，

xyb2

不垂直于x軸任意一條弦是的點(diǎn)，求證：直線和線OP的率之積為定值。證明：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

(xy0

，則直線方程為：xyy2y2002ab2

AB

2xy0又kOP

y0x0所以

k

AB

k

OP

xy2(定值)2yx0從以上幾例我們體會到，利用本文所提出的結(jié)論求解圓錐曲線中點(diǎn)弦問題的一般方法是：先根據(jù)結(jié)