2020-2021高中數(shù)學人教版第一冊學案：1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學年高中數(shù)學人教A版必修第一冊學案：1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定含解析1．5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定［目標］1。能正確的對全稱量詞命題和存在量詞命題進行否定;2。知道全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．[重點]能夠正確對全稱量詞命題和存在量詞命題進行否定．［難點]全稱量詞命題和存在量詞命題的否定在形式上的變化．知識點一全稱量詞命題的否定［填一填］[答一答］1．全稱量詞命題的否定一定是存在量詞命題嗎?提示：是，因為全稱量詞的否定一定是存在量詞，所以全稱量詞命題的否定一定是存在量詞命題．2．用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎？提示:不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”．知識點二存在量詞命題的否定[填一填][答一答]3．為什么存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題？提示:因為對“有的”，“存在一個”，“至少一個”等詞語的否定是“都沒有”，“都不存在”，“全都不”等，所以存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題．4．“一般命題的否定”與“全稱量詞命題和存在量詞命題的否定”有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：(1）一般命題的否定通常是保留條件否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個命題；全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要在否定結(jié)論p(x)的同時，改變量詞的屬性,即全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．(2）與一般命題的否定相同,全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的關鍵也是對關鍵詞的否定．因此,對全稱量詞命題和存在量詞命題的否定,應根據(jù)命題所敘述的對象的特征，挖掘其中的量詞．全稱量詞命題的否定與全稱量詞命題的真假性相反；存在量詞命題的否定與存在量詞命題的真假性相反．類型一全稱量詞命題的否定【例1】（1)命題“對任意x∈R,都有x2≥0"的否定為（)A．對任意x∈R,都有x2〈0B．不存在x∈R，使得x2〈0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2，0）≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0）<0（2)命題“?x∈R，｜x｜＋x2≥0”的否定是________．［解析］（1)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為“存在x0∈R,使得xeq\o\al(2,0）<0”，故選D.(2)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題的否定為“?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al（2，0)〈0”．[答案](1）D（2）?x0∈R，｜x0｜＋xeq\o\al（2,0）<0全稱量詞命題的否定形式與判斷真假的方法：1求全稱量詞命題的否定命題,先將全稱量詞調(diào)整為存在量詞，再對性質(zhì)px否定為綈px。2若全稱量詞命題為真命題，其否定命題就是假命題；若全稱量詞命題為假命題,其否定命題就是真命題。[變式訓練1］(1）設x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p:?x∈A，2x∈B，則（C）A．綈p：?x∈A,2x∈B B．綈p：?x?A,2x∈BC．綈p:?x∈A，2x?B D．綈p：?x?A，2x?B(2)命題“?x〉0，eq\f(x,x－1)〉0”的否定是(B)A．?x0>0,eq\f（x0，x0－1）≤0 B．?x0〉0，0≤x0≤1C．?x>0，eq\f(x,x－1)≤0 D．?x〈0，0≤x≤1解析:（1）全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，將“?”改為“?",“2x∈B”否定為“2x?B”，即綈p:?x∈A,2x?B。（2)∵eq\f（x,x－1）>0，∴x<0或x〉1，∴命題“?x>0，eq\f（x，x－1)>0”的否定是“?x0〉0,0≤x0≤1”，故選B.類型二存在量詞命題的否定及真假判定【例2】寫出下列存在量詞命題p的否定綈p，并判斷綈p的真假．(1）p:?x0<0，x0＋eq\f（1，x0）＋2<0。(2)p：有一個質(zhì)數(shù)含有三個正因數(shù)．(3)p：存在實數(shù)m0，x2＋x＋m0＝0的兩根都是正數(shù)．[解]（1）綈p:?x〈0，x＋eq\f（1，x)＋2≥0。當x＝－2，x＋eq\f(1,x）＋2〈0,所以綈p是假命題．（2）綈p：每一個質(zhì)數(shù)都不含有三個正因數(shù),綈p是真命題．(3)綈p:對任意實數(shù)m，x2＋x＋m＝0的兩根不都是正數(shù)．假設x2＋x＋m＝0的兩根x1，x2都是正數(shù),則必須eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ≥0,，x1＋x2>0，，x1x2〉0，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1－4m≥0，，－1〉0，,m>0，)）此不等式組無解，所以不存在實數(shù)m0，使x2＋x＋m0＝0的兩根都是正數(shù)，命題p為假命題，所以綈p為真命題．存在量詞命題的否定形式與判斷真假的方法:1求存在量詞命題的否定命題,先將存在量詞調(diào)整為全稱量詞，再對性質(zhì)px否定為綈px。2由于命題與命題的否定一真一假，所以如果判斷一個命題的真假困難時,那么可以轉(zhuǎn)化為判斷命題的否定的真假從而進行判斷。［變式訓練2］寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其否定的真假．（1)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù);(2）某些平行四邊形是菱形；（3）?x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3。解：(1）命題的否定是“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，即“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)"．它為假命題．（2)命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”．由于四條邊相等的平行四邊形是菱形，因此命題的否定是假命題．(3）命題的否定是“?x，y∈Z，eq\r（2）x＋y≠3”．當x＝0，y＝3時,eq\r（2)x＋y＝3，因此命題的否定是假命題．若全稱量詞命題為假命題,通常轉(zhuǎn)化為其否定命題——存在量詞命題為真命題解決,同理，若存在量詞命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定命題——全稱量詞命題為真命題解決。[變式訓練3］若命題“?1≤x≤2，一次函數(shù)y＝x＋m的圖象在x軸上方"為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．解:當1≤x≤2時,1＋m≤x＋m≤2＋m，因為y＝x＋m圖象在x軸上方，所以m＋1>0，即m>－1。類型四素養(yǎng)提升對全稱量詞命題和存在量詞命題的否定不完全【例4】已知命題p：存在一個實數(shù)x0，使得xeq\o\al（2,0)－x0－2<0，寫出綈p.【錯解一】綈p：存在一個實數(shù)x0，使得xeq\o\al（2，0)－x0－2≥0.【錯解二】綈p：對任意的實數(shù)x,都有x2－x－2<0.【錯因分析】該命題是存在量詞命題，其否定應是全稱量詞命題,但錯解一得到的綈p仍是存在量詞命題，顯然只對結(jié)論進行了否定，而沒有對存在量詞進行否定．錯解二只對存在量詞進行了否定，而沒有對結(jié)論進行否定．【正解】綈p：對任意的實數(shù)x,都有x2－x－2≥0.【解后反思】對含有量詞的命題進行否定時，(1）牢記全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，注意不能只否定結(jié)論,而忘記了對量詞的否定；也不能只否定量詞，而忘記了對結(jié)論的否定．（2）牢記命題的否定與原命題的真假性相反，可以以此檢驗命題的否定是否正確．[變式訓練4]已知命題p：?x1,x2∈R，［f（x2)－f(x1)]（x2－x1)≥0，則綈p是（C）A．?x1，x2∈R,[f(x2）－f(x1）](x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，［f（x2）－f(x1)]（x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，［f（x2）－f(x1)]（x2－x1）<0D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f（x1）］（x2－x1)<0解析:利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題求解．命題p的否定為“?x1，x2∈R，[f(x2)－f（x1）］(x2－x1)<0”．1．命題：“?x∈R，都有x2－x＋1〉0”的否定是(C）A．?x∈R，都有x2－x＋1≤0B．?x0∈R，使xeq\o\al(2,0）－x0＋1>0C．?x0∈R，使xeq\o\al(2，0）－x0＋1≤0D．以上均不正確解析：原命題為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題,故選C.解析：原命題為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題．3．命題“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是?x∈R，3x2－2x＋1≤0。4．命題p:?x0∈R,xeq\o\al(2,0）＋2x0＋5〈0是存在量詞命題(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題"），它是假命題（填“真”或“假”），它的否定為綈p：?x∈R,x2＋2x＋5≥0.解析：命題p：?x0∈R，xeq\o\al（2，0）＋2x0＋5<0是存在量詞命題．因為x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4〉0恒成立，所以命題p為假命題．命題p的否定為：?x∈R,x2＋2x＋5≥0.5．寫出下列命題p的否定綈p，并判斷命題綈p的真假．(1)p：?x∈R，x2＋x＋1〉0.（2）p：?x0,y0∈R，eq\r（x0－12)＋（y0＋1）2＝0。解:（1）綈p:?x0∈R,xeq\o\al（2,0)＋x0＋1≤0。由于x2＋x＋1＝(x＋eq\f（1,2）)2＋eq\f（3,4）≥eq\f(3，4），所以綈p為假命題．(2）綈p：?x,y∈R，eq\r(x－12)＋（y＋1)2≠0。當x＝－y＝1時，eq\r(x－12)＋(y＋1）2＝0，所以綈p為假命題．--本課須掌握的兩大問題1．對全稱量詞命題的否定以及特點的理解：(1)全稱量詞命題的否定實際上是對量詞“所有”否定為“并非所有”，所以全稱量詞命題的否定的等價形式就是存在量詞命題,將全稱量詞調(diào)整為存在量詞，就要對p(x)進行否定，這是敘述命題的需要,不能認為對全稱量詞命題進行“兩次否定”，否則就是“雙重否定即肯定”,所以含有一個量詞的命題的否定仍是一次否定．(2)對于省去了全稱量詞的全稱量詞命題的否定，一般要改寫為含有全稱量詞的命題，再寫出命題的否定命題．2．對存在量詞命題的否定以及特點的