文科數(shù)學(xué)-全真模擬卷01（新課標(biāo)Ⅲ卷）（2月）（解析版）

全真模擬卷01（新課標(biāo)Ⅲ卷）文科數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則集合（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，.2．i是虛數(shù)單位，若，則z的虛部是（）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】，則z的虛部是3．函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)都是奇函數(shù)，所以，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)既關(guān)于對稱，又關(guān)于對稱，即和，那么，所以函數(shù)的周期是4，，故選B.4．已知是曲線：上的點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，，∴曲線是圓心為，半徑的左半圓，曲線上的點(diǎn)到到直線的最小距離為原點(diǎn)到直線的距離，，所以的最小值為.5．關(guān)于函數(shù)，有以下4個結(jié)論：①的最小正周期是；②的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；③的最小值為；④在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【詳解】，由，知：最小正周期，故①正確；由正弦函數(shù)的性質(zhì)，知：中，，則對稱中心為，故②錯誤；由的化簡函數(shù)式知：，故③正確因為在定義域上為增函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：在上遞增，可得，，有一個單調(diào)增區(qū)間為，故上不單調(diào)，故④錯誤，故選：B.6．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，，.7．已知實數(shù)滿足條件，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】畫出滿足約束條件的目標(biāo)區(qū)域，如圖所示:由,得，要使最大，則直線的截距要最大，由圖可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時截距最大，聯(lián)立,解得，所以的最大值為：，8．如圖，在四面體中，，，則二面角的余弦值為（）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】取中點(diǎn)，連接，由，，得，，，∴是二面角的平面角，由，得平面，又平面，∴，設(shè)，則，，∴．故選：A．9．設(shè)，是兩個不共線向量，則“與的夾角為銳角”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【詳解】因為，故即，因為，是兩個不共線向量，故與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“”的必要條件.若與的夾角為，且，故，所以，故即不垂直.“與的夾角為銳角”是“”的必要不充分條件.10．在中，角、、的對邊分別為、、，已知，，若最長邊為，則最短邊長為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由知，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得，，由知，得，，∴，，即為鈍角，為最大角，故c為最大邊，有，由知，最短邊為，于是由正弦定理，即求得，故選：A.11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的焦距為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：雙曲線C與雙曲線x2?=1有公共的漸近線，因此設(shè)本題中的雙曲線C的方程x2?=λ，再代入點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得到雙曲線C的方程．然后求解焦距即可．詳解：雙曲線C與雙曲線x2?=1有公共的漸近線，設(shè)本題中的雙曲線C的方程x2?=λ，因為經(jīng)過點(diǎn)，所以4-1=λ，解之得λ=3，故雙曲線方程為故焦距為：，選D.12．已知函數(shù)，則（）A．在單調(diào)遞增B．有兩個零點(diǎn)C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D．是偶函數(shù)【答案】AC【詳解】由知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，，故在單調(diào)遞增，A正確；由，當(dāng)時，，當(dāng)，所以只有0一個零點(diǎn)，B錯誤；令，，故曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，C正確；由函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點(diǎn)對稱知，不是偶函數(shù)，D錯誤.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最大值為________.【答案】6【詳解】解：根據(jù)約束條件畫出可行域如下圖所示：作直線：，平移直線，當(dāng)其過點(diǎn)時，取得最大值，最大值為.14．已知平面向量與的夾角為，在上的投影是，且滿足，則___________.【答案】【詳解】因為平面向量與的夾角為，在上的投影是，所以，所以因為，即，即所以，解得所以，所以15．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B，且，則__________．【答案】2【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為F設(shè)直線AB的方程為，代入，得，設(shè)，，則，，由拋物線的定義可得：，由，得，即由，即，解得或（舍）所以所以16．如圖，已知多面體中，四邊形為梯形，，，平面，，，為線段(包括端點(diǎn))上的一個動點(diǎn)，則直線與直線所成角的正弦值的最小值為_________.【答案】【詳解】如圖，將多面體放到正方體中，連接，則，∴直線與直線所成的角即與所成的角，設(shè)正方體的棱長為，點(diǎn)到直線的距離為，則，∵，∴當(dāng)取得最小值時取得最小值，連接、，則的最小值為點(diǎn)到平面的距離，連接，交于點(diǎn)，則平面，∴的長為點(diǎn)到平面的距離的最小值，且，∴，∴直線與直線所成角的正弦值的最小值為.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知等比數(shù)列的前n項和為（），滿足，，成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，依題意得，所以即，因為，所以，解得或，因為，所以，又因為，所以即，所以；（2）題意可得，則.18．中國探月工程自年立項以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點(diǎn)跨越、支撐發(fā)展、引領(lǐng)未來”的目標(biāo)，創(chuàng)造了許多項中國首次．年月日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回．為了了解某中學(xué)高三學(xué)生對此新聞事件的關(guān)注程度，從該校高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下面列聯(lián)表.關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計（1）完成上面的列聯(lián)表，并計算回答是否有的把握認(rèn)為“對‘嫦娥五號’關(guān)注程度與性別有關(guān)”？（2）現(xiàn)在從這名學(xué)生中按性別采取分層抽樣的方法抽取名學(xué)生，如果再從中隨機(jī)選取人進(jìn)行有關(guān)“嫦娥五號”情況的宣講，求選取的名學(xué)生中恰有名女生的概率.若將頻率視為概率.附：，其中【詳解】（1）列聯(lián)表如下表所示：關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計，所以有的把握認(rèn)為“對‘嫦娥五號’關(guān)注與性別有關(guān)”；（2）由于男生、女生各、人，采取分層抽樣的方法選取名學(xué)生，那么男生、女生分別選取人、人．設(shè)從名學(xué)生中隨機(jī)選取人其中恰有名女生的事件記為，將三位男生分別記為、、，將兩位女生分別記為、，則從這名學(xué)生中隨機(jī)選取人的所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共個所以，即事件發(fā)生的概率是．19．如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求三棱錐的體積．【詳解】（1）平面，面，．，，，．又，平面，而平面，．（2）因為側(cè)面是平行四邊形，所以所以20．已知橢圓：的離心率為，且坐標(biāo)原點(diǎn)到過點(diǎn)，的直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，使得，，依次成等差數(shù)列，若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【詳解】（1）由題可知，所以，，則橢圓方程轉(zhuǎn)化為.坐標(biāo)原點(diǎn)到過點(diǎn)，即的直線的距離為，可得即，解得.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，顯然其斜率存在，設(shè)直線的方程為，且，.聯(lián)立，消去并整理，得，由題知恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系知，.因為，，，且，，成等差數(shù)列，所以，即，所以，即，解得，所以直線的方程為或.21．己知函數(shù)．（1）若在R上是減函數(shù)，求m的取值范圍；（2）如果有一個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)，求證有三個零點(diǎn)．【詳解】解：（1）由，得，在R上是減函數(shù)，則恒成立.設(shè)，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．于是．由題意，所以，故m的取值范圍是．（2）設(shè)，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．若，則，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以不滿足條件，故所以又∵，，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，所以∴，使∴，即，單調(diào)遞減，即，單調(diào)遞增．，即，單調(diào)遞減，∵，∴又∵，設(shè)，則，所以由，得，，得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則所以在上單調(diào)遞增，則即，成立所以∴由零點(diǎn)存在定理，得在和各有一個零點(diǎn)，又，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知有三個零點(diǎn)．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；（2）已知直線（t為參數(shù)），若直線l與曲線C的交點(diǎn)分別是A、B，求的值．【詳解】解：（1）由，得，又，，∴，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為．（2）把直線l的方程代入C方程，整