藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)35 空間直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

考點(diǎn)三十五空間直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)知識(shí)梳理1．直線與平面垂直的定義如果一條直線a與一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線a垂直于平面α，記作a⊥α，直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足．結(jié)論：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．2.直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．4．與線面垂直有關(guān)的重要結(jié)論(1)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線．(2)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)如果一條直線與兩個(gè)平面都垂直，那么這兩個(gè)平面平行．(4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直．5．兩平面垂直的定義如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，我們就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．6．兩平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．7．兩平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．8.空間角(1)直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，如圖，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，它們所成的角是直角；當(dāng)直線在平面內(nèi)或直線與平面平行時(shí)，它們所成的角是0°的角．故線面角θ的范圍：θ∈[0，eq\f(π,2)]．(2)二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．兩個(gè)半平面叫做二面角的面．如圖的二面角，可記作：二面角α-l-β或二面角P-AB-Q．②二面角的平面角如圖，過(guò)二面角α-l-β的棱l上一點(diǎn)O在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作BO⊥l，AO⊥l，則∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．設(shè)二面角的平面角為θ，則θ∈[0，π]．當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時(shí)，二面角叫做直二面角．9.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化判定定理轉(zhuǎn)化：線線垂直線面垂直面面垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化：面面垂直用圖形表示為：同時(shí)，在平行與垂直之間也存在相互轉(zhuǎn)化，即：線線垂直線面垂直線線平行線面平行典例剖析題型一垂直問(wèn)題有關(guān)的命題判定例1(2014·浙江高考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面________．若m⊥n，n∥α，則m⊥α若m∥β，β⊥α則m⊥α若m⊥β，n⊥β，n⊥α則m⊥α若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α答案③解析選項(xiàng)①，②，④中m均可能與平面α平行、垂直、斜交或在平面α內(nèi)，故選③.變式訓(xùn)練已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.其中所有正確的命題是________．答案①④解析借助于長(zhǎng)方體模型來(lái)解決本題，對(duì)于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對(duì)于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示；對(duì)于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示；對(duì)于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因?yàn)閚∥β，所以過(guò)n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙⊥g，所以m⊥n.解題要點(diǎn)1.對(duì)于這類命題的判斷問(wèn)題，借助模型法是常見策略，一般地，對(duì)于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體化抽象為直觀去判斷.2.還可以通過(guò)畫圖判斷，作圖時(shí)仍然遵循先作面后作線的原則，用面襯托線，從而利于判斷．題型二線面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.證明：(1)如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，∵N是PC的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，∴NE∥CD，且NE＝eq\f(1,2)CD，而AM∥CD，且AM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)CD，∴NEAM，∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD為矩形，∴AD⊥CD.而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直角三角形．又E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.解題要點(diǎn)利用判定定理證明線面垂直時(shí)，必須證明一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這里相交必須要體現(xiàn)出來(lái)．題型三面面垂直的判定和性質(zhì)例3如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．(1)證明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．解析(1)證明：由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(2)設(shè)棱錐B-DACC1的體積為V1，AC＝1.由題意得V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×1×1＝eq\f(1,2).又三棱柱ABC-A1B1C1的體積V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為1∶1.變式訓(xùn)練如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E－ABC的體積．解析(1)證明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)證明取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC.因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形．所以C1F∥EG.又因?yàn)镋G平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)解因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(3).所以三棱錐E－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×2＝eq\f(\r(3),3).解題要點(diǎn)(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)．(2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．當(dāng)堂練習(xí)1．下列命題中，正確命題個(gè)數(shù)為________．①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．②過(guò)直線l外一點(diǎn)P，有且僅有一個(gè)平面與l垂直．③如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面．⑤過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)．答案4解析②③④⑤正確，①中當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線都平行時(shí)，結(jié)論不成立．2．下列命題中正確的是________．①平面α和β分別過(guò)兩條互相垂直的直線，則α⊥β②若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)兩條平行線，則α⊥β③若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)兩條相交直線，則α⊥β④若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β答案③解析由兩個(gè)平面垂直的定義知，③正確．3.在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是________．①BC∥平面PDF②DF⊥平面PAE③平面PDF⊥平面ABC④平面PAE⊥平面ABC答案③解析可畫出對(duì)應(yīng)圖形，如圖所示，則BC∥DF，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故①成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故②成立；又DF?平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故④成立．4．平面α⊥平面β，直線a∥α，則________．①a⊥β②a∥β③a與β相交④以上都有可能答案④解析借助長(zhǎng)方體，可舉例說(shuō)明①、②、③都有可能成立．5．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；②若m∥α，α⊥β，則m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，則m∥α或m?α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β.則其中正確命題的序號(hào)為________．答案①③④解析②中可能有m∥β，故②不正確．課后作業(yè)填空題1．若m、n表示直線，α表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為________．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n，m⊥α))?n⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α，n⊥α))?M∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α，n∥α))?M⊥n;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α，m⊥n))?n⊥α．答案3解析①②③正確，④中n與面α可能有：n?α或n∥α或相交(包括n⊥α)2．如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，則PD與平面ABCD所成的角為圖中的________．答案∠PDA解析∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD與平面ABCD所成的角．3．經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有________．答案1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)解析如果平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線與平面垂直，則可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，如果兩點(diǎn)連線與已知平面不垂直，則只能作一個(gè)平面與已知平面垂直．4．在如圖所示的四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是________．②③④答案①解析①中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；②中，AB與CD成60°角；③中，AB與CD成45°角；④中，AB與CD夾角的正切值為eq\r(2)．5．已知a，b，c為三條不重合的直線，下面有三個(gè)結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c;②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c;③若a∥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的個(gè)數(shù)為________．答案1個(gè)解析①不對(duì)，b，c可能異面；②不對(duì)，b，c可能平行或異面；③對(duì)．6．已知直線m，n和平面α，β滿足m⊥n，m⊥α，α⊥β，則________．①n⊥β ②n∥β③n⊥α ④n∥α或n?α答案④解析如圖所示，圖①中n與β相交，②中n?β，③中n∥β，n∥α，∴排除選④.7．設(shè)α，β為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題正確的是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α②若m?α，n?β，m⊥n，則n⊥α③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α④若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β答案③解析與α、β兩垂直相交平面的交線垂直的直線m，可與α平行或相交，故①錯(cuò)；對(duì)②，存在n∥α情況，故②錯(cuò)；對(duì)④，存在α∥β情況，故④錯(cuò)．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故③正確．8．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則________．①β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直②β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直③β內(nèi)不一定存在直線與m平行，必存在直線與m垂直④β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直答案③解析當(dāng)直線m與β相交時(shí)β內(nèi)存在直線與m平行，但可以作直線與m成90°角．9．空間四邊形ABCD的四條邊相等，則對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系為________．答案垂直解析取AC中點(diǎn)E，連BE、DE．由AB＝BC得AC⊥BE．同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED．因此，AC⊥BD．10．下列四個(gè)命題中，正確的序號(hào)有________．①α∥β，β⊥γ，則α⊥γ；②α∥β，β∥γ，則α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，則α∥γ．答案①②解析③④不正確，如圖所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．11．在三棱錐P－