文科數(shù)學(xué)-全真模擬卷02（新課標Ⅱ卷）（解析版）

全真模擬卷02（新課標Ⅱ卷）文科數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)的實部為1，則其虛部為A． B． C． D．【答案】A【解析】詳解：∵z=（2﹣ai）（1+i）=2+a+（2﹣a）i的實部為1，∴2+a=1，即a=﹣1．∴其虛部為3．2．若集合,,則集合()A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，又，所以.3．若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以.4．九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則解下5個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）A．7 B．10 C．16 D．31【答案】C【詳解】解:∵，5．芻甍，中國古代數(shù)學(xué)中的一種幾何體.《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂”.如圖為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則搭建它（無底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為（）A．14 B． C．16 D．【答案】B【詳解】根據(jù)三視圖畫出其立體圖形：如圖茅草覆蓋面積即為幾何體的側(cè)面積，根據(jù)立體圖形可知該幾何體的側(cè)面為兩個全等的等腰梯形和兩個全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底長為2，下底長為4，高為；等腰三角形的底邊長為2，高為，故側(cè)面積為．即需要茅草覆蓋面積至少為，6．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】作出不等式組表示的可行域,如圖，設(shè)，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，取到最大值，聯(lián)立可得，代入可得取得最大值．7．申輝中學(xué)從4名有數(shù)學(xué)特長的同學(xué)A、B、C、D中挑1人去參加中學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)賽，4名同學(xué)各自對結(jié)果的估計如下，A：“參賽的是A”；B：“參賽的是B”;C：“參賽的是A或B”；D：“參賽的既不是A也不是C”；已知其中有且只有2人的估計是正確的，則取得參加聯(lián)賽的是（）A．A同學(xué) B．B同學(xué)C．C同學(xué) D．D同學(xué)【答案】A【詳解】假設(shè)參賽的是A同學(xué)，則A、C同學(xué)估計正確，B、D同學(xué)估計錯誤，則只有2人的估計是正確，即參加聯(lián)賽的是A同學(xué)；假設(shè)參賽的是B同學(xué)，則B、C、D同學(xué)估計正確，A同學(xué)估計錯誤；假設(shè)參賽的是C同學(xué)，則A、B、C、D同學(xué)估計錯誤；假設(shè)參賽的是D同學(xué)，則A、B、C同學(xué)估計錯誤，D同學(xué)估計正確；8．已知某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是（）A．求首項為1，公差為2的等差數(shù)列的前2017項和B．求首項為1，公差為2的等差數(shù)列的前2018項和C．求首項為1，公差為4的等差數(shù)列的前1009項和D．求首項為1，公差為4的等差數(shù)列的前1010項和【答案】C【詳解】由程序框圖可得S＝1＋5＋9＋…＋4033，故該算法的功能是求首項為1，公差為4的等差數(shù)列的前1009項和．9．已知橢圓與拋物線的交點為A，B．A，B連線經(jīng)過拋物線焦點F，且線段AB的長度等于橢圓的短軸長，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由拋物線和橢圓的對稱線可設(shè)，，將點代入橢圓和拋物線方程可得，所以，所以．10．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且的長分別為，又，側(cè)面與底面成角，當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為側(cè)面與底面成角，則，，，所以，故外接球的表面積為.11．已知等邊的面積為，動點在的邊上，若線段為內(nèi)切圓的一條直徑，且，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)的邊長為，則，解得，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，，可知當(dāng)點在的頂點位置時，有最大值，此時，，故實數(shù)的取值范圍為.12．若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題：,即解得.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，，若，則實數(shù)m＝_____．【答案】【詳解】由，，所以，又因為，所以，解得，14．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象的任意一條對稱軸與x軸的交點的橫坐標都不在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】由題意，函數(shù)，令，可得，在y軸右邊，且靠y軸最近的兩條對稱軸方程分別為，，由最近兩條對稱軸之間的距離為，必有，可得，可得，必有，可得，所以的取值范圍為.15．一個圓的圓心在拋物線上，且該圓經(jīng)過拋物線的頂點和焦點，若圓心在第一象限，則該圓的標準方程是_________.【答案】【解析】試題分析：拋物線的頂點和焦點分別是（0,0）和（4,0），所以圓心在直線上，將代入得，即圓心為，從而圓的標準方程為.16．以為底的兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球，并且正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為45°，記正三棱錐和正三棱錐的體積分別為和，則______.（注：底面為正三角形且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐為正三棱錐）【答案】【詳解】如圖，連接PQ，則PQ中點為球心O，PQ與平面ABC交于，即三角形ABC中心，且平面，設(shè)三角形ABC邊長為2，取AB中點E，連接CE，PE，則在上，且，即為的側(cè)面與底面所成的角，，，設(shè)球半徑為R，在直角三角形中，，即，解得，,則，.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由，當(dāng)時，，時，對上式也成立，∴；又，，.（2），.18．面對新冠肺炎的發(fā)生，某醫(yī)療小組提出了一種治療的新方案.為測試該方案的治療效果，此醫(yī)療小組選取了40名病患志愿者，將他們隨機分成兩組，每組20人.第一組用傳統(tǒng)方案治療，第二組用新方案治療.根據(jù)病人的痊愈時間（單位：天）繪制了如下莖葉圖：

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種治療方案的痊愈速度更快？并說明理由；（2）求40人痊愈時間的中位數(shù)，并將痊愈時間超過和不超過的志愿者人數(shù)填入下面的2×2列聯(lián)表；超過不超過總計傳統(tǒng)治療方案新治療方案總計（3）根據(jù)（2）中的2×2列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種治療方案的治療效果有差異？附：（其中），0.0500.0100.0013.8416.63510.828【詳解】解：（1）新治療方案的效率更高.理由如下：①由莖葉圖可知：用傳統(tǒng)治療方案的志愿者中，有75%的人痊愈所需要時間在30天以上，用新治療方案的志愿者中，有75%的人痊愈所需要時間在30天以內(nèi).因此新治療方案的效果更好.②由莖葉圖可知：用傳統(tǒng)治療方案的志愿者痊愈所需時間的中位數(shù)為35.5天，用新治療方案的志愿者痊愈所需時間的中位數(shù)為23.5天.因此，新治療方案的效果更好.③由莖葉圖可知：用傳統(tǒng)治療方案的志愿者痊愈平均所需時間為34天；用新治療方案的志愿者痊愈平均所需時間低于34天.因此新治療方案的效果更好.④由莖葉圖可知：用傳統(tǒng)治療方案的志愿者痊愈所需時間分布在莖3上的最多，關(guān)于莖3大致呈對稱分布；用新治療方案的志愿者痊愈所需時間分布在莖2上的最多，關(guān)于莖2大致呈對稱分布.又用兩種治療方案的志愿者痊愈所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用新治療方案的志愿者痊愈所需時間比用傳統(tǒng)治療方案的志愿者痊愈所需時間更少.因此新治療方案的效果更好.以上給出了4種理由均可作為答案.根據(jù)莖葉圖可以得到，這40名志愿者痊愈所需時間按從小到大的順序排列后，排在中間的兩個數(shù)為29和31，故中位數(shù)為.列聯(lián)表如下：超過不超過總計傳統(tǒng)治療方案15520新治療方案51520總計202040（2）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，計算所以有99%的把握認為兩種治療方案的治療效果有差異.19．如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求幾何體的體積.【解析】（1）如圖，連接交于點，連接，，在正三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以.又因為為中點，所以且.因為為中點，所以且.所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為，為中點，所以，所以可得.因為底面，所以，所以可得.又，平面，且，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）四棱錐高為，底面為直角梯形，面積為，得，故幾何體的體積為.20．已知橢圓C:，離心率為，左準線方程是，設(shè)O為原點，點A在橢圓C上，點B在直線y＝2上，且OA⊥OB．（1）求橢圓C的方程；（2）求ΔAOB面積取得最小值時，線段AB的長度；【詳解】試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則由題意的，解得所以橢圓C的方程為.（2）由題意，直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，若k＝0，則A（，0）或（－，0），B（0，2），此時ΔAOB面積為，AB＝．若k≠0，則直線OA：y＝kx與橢圓聯(lián)立得：（1＋2）＝2，可得OA＝直線OB：y＝x與y＝2聯(lián)立得：B（－2k，2），則OB＝2，SΔOAB＝OA×OB＝，令t＝>1，則SΔOAB＝，所以SΔOAB的最小值為，在k＝0時取得，此時AB＝．21．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．（1）若a＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【詳解】(1)a＝1時，f(x)＝x2＋x－lnx，所以，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.（2），因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1]上是減函數(shù)，所以在區(qū)間(0，1]上恒成立，所以在區(qū)間(0，1]上恒成立，令在區(qū)間(0，1]上是減函數(shù)，所以所以，所以實數(shù)a的取值范圍是．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）（1）已知直線l的極坐標方程為，點A的極坐標為，求點A到直線l的距離．（2）把曲線C1：化為極坐標方程．【詳解】（1）由，得，所以．由點A的極坐標為得點A的直角坐標為(2，－2)，所以．即點A到直線l的距離為；（2）將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，所以C1的極坐標方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－3|.（1）求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；（2）若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值為4，求實數(shù)m的值．【詳解】（1）因為f(x)>5－|x＋2|可化為|2x－3|＋|x＋2|>5，所以當(dāng)x≥時，原不等式化為(2x－3)＋(x＋2)>5，解得