運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動

第13章剛體的平面運(yùn)動1運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!目錄13.1基本概念與運(yùn)動分解13.2平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度計(jì)算13.3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度計(jì)算運(yùn)動學(xué)2運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!

剛體的平面運(yùn)動是工程上常見的一種運(yùn)動，這是一種較為復(fù)雜的運(yùn)動。對它的研究可以在研究剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動的基礎(chǔ)上，通過運(yùn)動合成和分解的方法，將平面運(yùn)動分解為上述兩種基本運(yùn)動．然后應(yīng)用合成運(yùn)動的理論，推導(dǎo)出平面運(yùn)動剛體上一點(diǎn)的速度和加速度的計(jì)算公式。運(yùn)動學(xué)§13.1剛體平面運(yùn)動的概述和運(yùn)動分解一．平面運(yùn)動的定義

在運(yùn)動過程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變。也就是說，剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動，具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動稱為剛體的平面運(yùn)動。3運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!運(yùn)動學(xué)請看動畫4運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!運(yùn)動學(xué)三．平面運(yùn)動方程

為了確定代表平面運(yùn)動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置。

任意線段AB的位置可用A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示，因此圖形S的位置決定于三個獨(dú)立的參變量。所以5運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!運(yùn)動學(xué)例如車輪的運(yùn)動。

車輪的平面運(yùn)動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉(zhuǎn)動的合成。車輪對于靜系的平面運(yùn)動（絕對運(yùn)動）車廂（動系A(chǔ)xy

)相對靜系的平動（牽連運(yùn)動）車輪相對車廂（動系A(chǔ)xy）的轉(zhuǎn)動（相對運(yùn)動）

6運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!運(yùn)動學(xué)

再例如：平面圖形Ｓ在ｔ時間內(nèi)從位置I運(yùn)動到位置II1.以A為基點(diǎn):隨基點(diǎn)A平動到A'B''

后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'2.以B為基點(diǎn):隨基點(diǎn)B平動到A''B'

后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'圖中看出：ABA'B''A''B'，。于是有7運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!運(yùn)動學(xué)曲柄連桿機(jī)構(gòu)AB桿作平面運(yùn)動平面運(yùn)動的分解（請看動畫）8運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!由于A、B點(diǎn)是任意的，因此表示了圖形上任意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系。由于恒有，因此將上式在AB上投影，有——速度投影定理即平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等。這種求解速度的方法稱為速度投影法。運(yùn)動學(xué)即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的速度的矢量和。這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法。速度投影法9運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!即在某一瞬時必唯一存在一點(diǎn)速度等于零，該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。運(yùn)動學(xué)３．幾種確定速度瞬心位置的方法

①已知圖形上一點(diǎn)的速度和圖形角速度，可以確定速度瞬心的位置。（P點(diǎn)）且Ｐ在順轉(zhuǎn)向繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)90o的方向一側(cè)。

②已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動，則圖形與固定面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心。10運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!

運(yùn)動學(xué)另：對④種(a)的情況，若vA＝vB，則是瞬時平動。⑤已知某瞬時圖形上A,B兩點(diǎn)的速度方向相同，且不與AB連線垂直。此時，圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度=0，圖形上各點(diǎn)速度相等，這種情況稱為瞬時平動。(此時各點(diǎn)的加速度不相等)11運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點(diǎn)的速度的方法，稱為速度瞬心法。平面圖形在任一瞬時的運(yùn)動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心。若P點(diǎn)為速度瞬心，則任意一點(diǎn)A的速度大小為，方向AP，指向與一致。

運(yùn)動學(xué)５.注意的問題

①速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。

②

速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動。

③剛體作瞬時平動時，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動。12運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!（）試比較上述三種方法的特點(diǎn)。運(yùn)動學(xué)根據(jù)速度投影定理不能求出

②速度投影法研究AB,,方向OA,方向沿BO直線③速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可確定出P點(diǎn)為速度瞬心。13運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!其中：，方向AB，指向與一致；，方向沿AB，指向A點(diǎn)。運(yùn)動學(xué)即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。

這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求出其余兩個。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個要素，即可解出問題的待求量。14運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心。運(yùn)動學(xué)以O(shè)為基點(diǎn)，有其中：做出加速度矢量圖，由圖中看出：（與等值反向）

即15運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!(b)AB作平面運(yùn)動,圖示瞬時作瞬時平動,此時運(yùn)動學(xué)16運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!請看動畫運(yùn)動學(xué)[例4]曲柄滾輪機(jī)構(gòu)17運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!運(yùn)動學(xué)取A為基點(diǎn)，指向O點(diǎn)大??？√？√方向√√√√作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影）(）(研究輪B：P2為其速度瞬心18運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!請看動畫運(yùn)動學(xué)[例5]曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)19運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁![例6]平面機(jī)構(gòu)中，楔塊M：=30o，v=12cm/s；盤：r=4cm，與楔塊間無滑動。求圓盤的及軸O的速度和B點(diǎn)速度。運(yùn)動學(xué)請看動畫20運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!解：OA定軸轉(zhuǎn)動；AB、BC均作平面運(yùn)動，滑塊B和C均作平動。①求對AB桿應(yīng)用速度投影定理：對BC桿應(yīng)用速度投影定理：運(yùn)動學(xué)[例7]已知：配氣機(jī)構(gòu)中，OA=r,以等o轉(zhuǎn)動,在某瞬時=60o，ABBC，AB=6r，BC=。求該瞬時滑塊C的速度和加速度。21運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!作加速度矢量圖,P2為BC的瞬心,而P2C=9r再以B為基點(diǎn),求運(yùn)動學(xué)將(b)式在BC方向線上投影[注]指向可假設(shè)，結(jié)果為正說明假設(shè)與實(shí)際指向相同，反之，結(jié)果為負(fù)，說明假設(shè)與實(shí)際指向相反。30o22運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動，A點(diǎn)作圓周運(yùn)動，B點(diǎn)作直線運(yùn)動，因此，AB桿的運(yùn)動既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動，而是平面運(yùn)動。運(yùn)動學(xué)23運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!運(yùn)動學(xué)

二．平面運(yùn)動的簡化

剛體的平面運(yùn)動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動。即在研究平面運(yùn)動時，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運(yùn)動，確定平面圖形上各點(diǎn)的速度和加速度。24運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!四．平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動

當(dāng)圖形Ｓ上Ａ點(diǎn)不動時，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動；當(dāng)圖形Ｓ上

角不變時，則剛體作平動；故剛體平面運(yùn)動可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的合成運(yùn)動。運(yùn)動學(xué)平面運(yùn)動方程對于每一瞬時t，都可以求出對應(yīng)的，圖形S在該瞬時的位置也就確定了。25運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!運(yùn)動學(xué)

我們稱動系上的原點(diǎn)Ａ為基點(diǎn)，于是車輪的平面運(yùn)動隨基點(diǎn)A的平動繞基點(diǎn)A'的轉(zhuǎn)動剛體的平面運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平動和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動．26運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!運(yùn)動學(xué)

所以，平面運(yùn)動隨基點(diǎn)平動的運(yùn)動規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的規(guī)律與基點(diǎn)選取無關(guān)。(即在同一瞬間，圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的、都是相同的）基點(diǎn)的選取是任意的。(通常選取運(yùn)動情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn))27運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!§13.2平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度計(jì)算

運(yùn)動學(xué)根據(jù)速度合成定理則Ｂ點(diǎn)速度為：一、基點(diǎn)法，又稱為合成法取B為動點(diǎn),則B點(diǎn)的運(yùn)動可視為牽連運(yùn)動為平動和相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動的合成已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度，圖形角速度求：指向與轉(zhuǎn)向一致。取A為基點(diǎn),將動系固結(jié)于A點(diǎn),動系作平動。28運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!1.問題的提出若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問題的計(jì)算會大大簡化．于是，自然會提出，在某一瞬時圖形是否有一點(diǎn)速度等于零？如果存在的話，該點(diǎn)如何確定？運(yùn)動學(xué)

２.速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時其上一點(diǎn)A速度，圖形角速度，沿方向取半直線AL，然后順的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL‘的位置，在AL'上取長度則： 二、瞬心法29運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!

運(yùn)動學(xué)

④

已知某瞬時圖形上A、B兩點(diǎn)速度大小，且(b)(a)

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度的方向，且。過A、B兩點(diǎn)分別作速度的垂線，交點(diǎn)P即為該瞬間的速度瞬心。30運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!

例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動。此時連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點(diǎn)的速度都相等，但各點(diǎn)的加速度并不相等。設(shè)勻角速度，則而的方向沿AC的，瞬時平動與平動不同。運(yùn)動學(xué)31運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!

解：機(jī)構(gòu)中，OA作定軸轉(zhuǎn)動，AB作平面運(yùn)動，滑塊B作平動。

①基點(diǎn)法（合成法）研究AB，以A為基點(diǎn)，且方向如圖示。（）運(yùn)動學(xué)[例1]已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，取柄OA以勻轉(zhuǎn)動。求：當(dāng)=45o時，滑塊B的速度及AB桿的角速度。根據(jù)在Ｂ點(diǎn)做速度平行四邊形，如圖示。32運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!§13.3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度計(jì)算取A為基點(diǎn)，將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)取B動點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動分解為相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動和牽連運(yùn)動為平動。于是由牽連平動時加速度合成定理可得如下公式。運(yùn)動學(xué)已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的加速度和圖形的、（某一瞬時）。求：該瞬時圖形上任一點(diǎn)B的加速度。33運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!分析：大??？√ＲＲw

2

方向？√√√故應(yīng)先求出．（）運(yùn)動學(xué)

[例2]

半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點(diǎn)的速度及加速度，求車輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度。解：輪O作平面運(yùn)動，P為速度瞬心，由于此式在任何瞬時都成立，且O點(diǎn)作直線運(yùn)動，故而（）34運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!解：(a)AB作平動，運(yùn)動學(xué)[例3]已知O1A=O2B,圖示瞬時O1A/O2B。試問(a)、(b)兩種情況下1和

2，1和2是否相等？(a)(b)35運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!運(yùn)動學(xué)[例4]曲柄滾輪機(jī)構(gòu)，滾子半徑R=15cm，n=60rpm。求：當(dāng)=60o時(OAAB)，滾輪的Ｂ，Ｂ。翻頁請看動畫36運(yùn)動學(xué)剛體平面運(yùn)動共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!解：OA定軸轉(zhuǎn)動，AB桿和輪B作平面運(yùn)動研究AB：（）P１為其速度瞬心運(yùn)動學(xué)分析：要想求出滾輪的Ｂ、Ｂ先要求