2018年數(shù)學(xué)專題7.1不等式關(guān)系與不等式解法、基本不等式及應(yīng)用試題文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題7.1不等式關(guān)系與不等式解法、基本不等式及應(yīng)用【三年高考】1?！?017江蘇,10】某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小，則的值是▲.【答案】30【解析】總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.2?！?017天津,文13】若a,，，則的最小值為.【答案】【解析】，兩次等號(hào)成立的條件是解得：，或當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。3.【2017山東，文】若直線過點(diǎn)（1，2),則2a+b的最小值為.【答案】【解析】由直線過點(diǎn)（1，2）可得,所以。4?！?016高考上海文科】設(shè)，則不等式的解集為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意得：,即,故解集為5.【2015高考浙江，文6】有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色,且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：)分別為,，，且，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/）分別為，，,且．在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元)是（）A．B．C．D．【答案】B6.【2015高考湖南,文7】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（)A、B、2C、2D、4【答案】C【解析】，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,所以的最小值為,故選C。7.【2015高考重慶，文14】設(shè)，則的最大值為________.【答案】【解析】由兩邊同時(shí)加上,得兩邊同時(shí)開方即得:（且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），從而有（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“=”成立），故填:。8?！?015高考天津，文12】已知?jiǎng)t當(dāng)a的值為時(shí)取得最大值.【答案】4【解析】當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合可得9?！?015高考上海，文16】下列不等式中，與不等式解集相同的是（）。A。B.C。D.【答案】B【2017考試大綱】1。不等關(guān)系：了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景。

2。一元二次不等式；(1）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.

（2）通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.

(3）會(huì)解一元二次不等式,對(duì)給定的一元二次不等式,會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖。3．基本不等式:（，）(1）了解基本不等式的證明過程。(2)會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小)值問題.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題，對(duì)不等式關(guān)系與不等式解法、基本不等式及應(yīng)用的考查,主要考查不等式性質(zhì)、不等關(guān)系、二次不等式解法、基本不等式及其應(yīng)用，高考中一般會(huì)以小題形式形式考查，個(gè)別省市在大題中考查不等式的應(yīng)用．【2018年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】由前三年的高考命題形式可以看出,不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容之一,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和重要工具,因而是數(shù)學(xué)高考命制能力題的重要版塊。在近年來的高考數(shù)學(xué)中，有關(guān)不等式的試題都占有較大的比重。不僅考查有關(guān)不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，而且注重考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力以及分析問題和解決問題的能力。在題型上,選擇題、填空題主要考查不等式的性質(zhì)、解簡(jiǎn)單不等式、絕對(duì)值不等式、簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍、比較大小等；解答題主要考查基本不等式的應(yīng)用、含參不等式的解法、求恒成立中的參數(shù)范圍、證明不等式、最值型綜合題以及實(shí)際應(yīng)用題等.試題常常是不等式的證明、解不等式、求參數(shù)范圍于函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、解析幾何、立體幾何、實(shí)際應(yīng)用等問題之中,知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地.從近幾年數(shù)學(xué)試題得到啟示:涉及不等式解法的題目,往往較為容易;對(duì)基本不等式的考查,較多的寓于綜合題目之中。因此，在2017年復(fù)習(xí)備考中,要注意不等式性質(zhì)運(yùn)用的條件，以及與函數(shù)交匯考查單調(diào)性，對(duì)不等關(guān)系,要培養(yǎng)將實(shí)際問題抽象為不等關(guān)系的能力，從而利用數(shù)學(xué)的方法解決，對(duì)不等式解法主要是二次不等式的解法,往往與集合知識(shí)交匯考查，注意含參數(shù)的二次不等式的解法。對(duì)基本不等式及其應(yīng)用,會(huì)涉及求函數(shù)的最值問題,或者將實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題,利用基本不等式求解．不等式幾乎能與所有數(shù)學(xué)知識(shí)建立廣泛的聯(lián)系，通常以不等式與函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、解析幾何、數(shù)列的綜合問題的形式出現(xiàn)，尤其是以導(dǎo)數(shù)或向量為背景的不等式,函數(shù)的綜合題和有關(guān)不等式的證明或性質(zhì)的代數(shù)邏輯推理題,問題多屬于中檔題甚至是難題，對(duì)不等式的知識(shí)，方法與技巧要求較高．預(yù)測(cè)2018年可能有一道選擇或者填空出現(xiàn)，考查不等式的解法，或不等式的性質(zhì)，或基本不等式，可能與導(dǎo)數(shù)結(jié)合出一道解答題．【2018年高考考點(diǎn)定位】高考對(duì)不等式關(guān)系與不等式解法、基本不等式及應(yīng)用的考查有以下幾種主要形式：一是考查不等式的性質(zhì)；二是不等式關(guān)系；三是不等式解法；四是基本不等式及應(yīng)用，其中經(jīng)常與函數(shù)、方程等知識(shí)的相聯(lián)系．【考點(diǎn)1】不等式性質(zhì)【備考知識(shí)梳理】1．不等式的基本性質(zhì)：（1）（2）（3），（4)2．不等式的運(yùn)算性質(zhì)：（１）加法法則:（２）減法法則：，（３）乘法法則：（４)除法法則：，（５)乘方法則：（６)開方法則：【規(guī)律方法技巧】1．判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí),先把要判斷的命題與不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì),并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題的真假,當(dāng)然判斷的同時(shí)可能還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．2．特殊值法是判斷命題真假時(shí)常用到的一個(gè)方法，在命題真假未定時(shí)，先用特殊值試試，可以得到一些對(duì)命題的感性認(rèn)識(shí),如正好找到一組特殊值使命題不成立，則該命題為假命題．【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1?！举F州省遵義市2017屆高三第一次聯(lián)考】已知，給出下列四個(gè)結(jié)論：①②③④其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】，因此選C.2?！局貞c市第八中學(xué)2017屆高三第二次適應(yīng)性考試】已知下列四個(gè)關(guān)系：①；②；③,；④，．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】時(shí)，①錯(cuò)誤。時(shí)②錯(cuò)誤。根據(jù)不等式的性質(zhì)知③正確.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知④正確。故有兩個(gè)正確.【考點(diǎn)2】不等關(guān)系【備考知識(shí)梳理】在日常生產(chǎn)生活中,不等關(guān)系更為普遍,利潤(rùn)的優(yōu)化、方案的設(shè)計(jì)等方面都蘊(yùn)含著不等關(guān)系,再比如幾何中的兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等等,用數(shù)學(xué)中的不等式表示這些不等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活的不等關(guān)系?！疽?guī)律方法技巧】區(qū)分不等關(guān)系與不等式的異同，不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)表示,而不等式則是表現(xiàn)兩者的不等關(guān)系，可用等式子表示，不等關(guān)系是通過不等式表現(xiàn)．【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1?！靖＝ㄊ?017屆高三畢業(yè)班總復(fù)習(xí)過關(guān)測(cè)試】若，則的大小關(guān)系為（）A。.B。C.D。由的取值確定【答案】C2.【河南省鄭州市第一中學(xué)2017屆高三期中】設(shè)，則的大小關(guān)系是()A．B．C．D．【答案】C【解析】，,故選C.【考點(diǎn)3】一元二次不等式解法【備考知識(shí)梳理】對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況,相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)（)的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根【規(guī)律方法技巧】1．解一元二次不等式首先要看二次項(xiàng)系數(shù)a是否為正；若為負(fù)，則將其變?yōu)檎龜?shù)；2．若相應(yīng)方程有實(shí)數(shù)根，求根時(shí)注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法；3．寫不等式的解集時(shí)首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論；4．根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根,我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系；5．若所給不等式最高項(xiàng)系數(shù)含有字母,還需要討論最高項(xiàng)的系數(shù)?！究键c(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1?！景不諑煼洞髮W(xué)附屬中學(xué)2017屆高三期中】已知不等式的解集為，則不等式的解集為.【答案】【解析】根據(jù)題意可得,所以可化為，所以不等式的解集為．2.【江蘇省蘇北三市2017屆三模】已知對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】（或）【解析】利用一元二次方程根的分布去解決，設(shè)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)恒成立；當(dāng)時(shí),，不合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意;當(dāng)時(shí)，，即，即：，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.【考點(diǎn)4】基本不等式及應(yīng)用【備考知識(shí)梳理】如果，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）推論：（）如果，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）。推論：(,）;3、【規(guī)律方法技巧】1.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形"來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù),“1”的代換法等．2。在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等。①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.若使用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到,可以通過“對(duì)勾函數(shù)"，利用單調(diào)性求最值.【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1.【山東省濱州市2016—2017學(xué)年高三期中】設(shè)正實(shí)數(shù),滿足，則的最小值是．【答案】92.【天津市耀華中學(xué)2017屆高三一?！恳阎?二次三項(xiàng)式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，又，使,則的最小值為__________．【答案】【解析】不等式恒成立,則且，即，又存在，使成立，可得，所以，．可得,所以．令,則．的最小值為．故本題應(yīng)填．【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1．使用均值不等式求最值時(shí)，注意在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊"等技巧，使其滿足基本不等式中“正"(即條件要求中字母為正數(shù)）、“定"（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。2．基本不等式及其變式中的條件要準(zhǔn)確把握．如()，（)等．3.利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最大值、最小值時(shí)，注意觀察其是否具有“和為定值”“積為定值”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．在具體題目中,一般很少直接考查基本不等式的應(yīng)用，而是需要將式子進(jìn)行變形，尋求其中的內(nèi)在關(guān)系，然后利用基本不等式得出最值．即應(yīng)用基本不等式，應(yīng)注意“一正、二定、三相等”,缺一不可。靈活的通過“拆、湊、代(換）”，創(chuàng)造應(yīng)用不等式的條件，是解答此類問題的技巧；忽視等號(hào)成立的條件，是常見錯(cuò)誤之一.3.求解含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵是過好雙關(guān)：第一關(guān)是轉(zhuǎn)化關(guān)，即通過分離參數(shù)，先轉(zhuǎn)化為f（a）≥g(x）（或f（a）≤g（x)）對(duì)?x∈D恒成立，再轉(zhuǎn)化為f（a）≥g（x）max(或f（a）≤g（x）min）;第二關(guān)是求最值關(guān)，即求函數(shù)g（x)在區(qū)間D上的最大值(或最小值)問題．4。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題格式明確、規(guī)范,基本思路清晰，能使問題解決的領(lǐng)域更寬廣.解題過程中，注意處處應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,化生為熟、化難為易、化繁為簡(jiǎn)，是解決問題的基本方法。5．對(duì)于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答本題時(shí)能夠?qū)λ膫€(gè)選項(xiàng)逐個(gè)利用賦值的方式進(jìn)行排除,確認(rèn)成立的不等式．1.【重慶市第八中學(xué)2017屆高三第二次適應(yīng)性考試】已知，且,則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】?jī)蛇叧缘?所以。2?！竞幽鲜≡ケ泵Ｂ?lián)盟2017屆高三精英對(duì)抗賽】已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng),滿足，且，則的最小值是（)A．B．2C。D．【答案】A【解析】由得解得，再由得，所以,所以。3。【貴州省遵義市2017屆高三第一次聯(lián)考】已知,給出下列四個(gè)結(jié)論：①②③④其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】,因此選C。4.【河北省武邑2017屆高三三調(diào)】已知,則（）A．B．C。D．【答案】B5?！举F州省遵義市第四中學(xué)2016屆高三第四次月考】已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為4，則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最大值是（）A。B.C.D。2【答案】D【解析】直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為4，所以,即，則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最大值是.6?！靖＝ㄊ∑翁?017屆高三二模】若實(shí)數(shù)、、，且，則的最小值為（）A。B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。故選D。7?！竞鲜≡狸?yáng)2018屆高三第一次月考】如右圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線與兩邊分別交于兩點(diǎn),且，則的最小值為（）A.2B。C。D?！敬鸢浮緾【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以,因?yàn)槭侵匦模?，，所以，化?jiǎn)得,解得題目所給圖像可知.由基本不等式得,即。當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為.8?！咎旖蚴幸A中學(xué)2017屆高三二模】已知為正實(shí)數(shù),則的最大值為（)A.B.C.D?！敬鸢浮緾【解析】由題意可得:，結(jié)合不等式的性質(zhì)有：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，的最小值為。本題選擇C選項(xiàng).9?！娟兾魇↑S陵中學(xué)2017屆考前模擬】?jī)蓤A和恰有三條公切線,若，，且，則的最小值為（)A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)閮蓤A的圓心和半徑分別為,所以由題設(shè)可知兩圓相外切，則，故,即,所以，應(yīng)選答案C。10。【湖南省長(zhǎng)沙市2017屆高三5月模擬】設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（)A.0B.1C.D。3【答案】B【解析】據(jù)已知不等式得，故，據(jù)均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得最大值,此時(shí)且，當(dāng)時(shí)取得最大值1.11?！?016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】若一組數(shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)、方差分別為,且，則的最小值為()A．B．C．D．20【答案】D【解析】由題意得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選D.12.【2016江西師大附中高三上學(xué)期期末】不等式對(duì)于任意及恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．≤B．≥C．≤D．≤【答案】A【解析】因?yàn)椴粸?，所以?duì)原不等式兩邊同時(shí)除以，能夠得到，令,則不等式變?yōu)?，其中由得范圍決定，可知，這樣就將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，由可得，當(dāng)時(shí),取得最小值，且此時(shí)，所以有≤，故本題的正確選項(xiàng)為A．13.【2016屆湖南省郴州市高三第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有,且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由對(duì)任意，有,得．令,則為上的增函數(shù)．因?yàn)椋裕缘葍r(jià)于,所以，解得且，故選D．14?！?016屆江西省上高二中高三全真模擬】已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是．【答案】15.【2016年江西南昌高三模擬】已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)．設(shè)直線l是拋物線C的切線，且l∥MN,P為l上一點(diǎn),則的最小值為.【答案】【解析】過焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線相交于,聯(lián)