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山西省太原市中化二建集團(tuán)有限公司子弟中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.右圖為的圖象,為了得到的圖象,只要將的圖象(
)A.向右平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向左平移個(gè)單位長度參考答案:C略2.下面四個(gè)命題中正確的是:()A.“直線a、b不相交”是“直線a、b為異面直線”的充分非必要條件B.“平面”是“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”的充要條件C.“a垂直于b在平面內(nèi)的射影”是“直線”的充分非必要條件D.“直線a平行于平面內(nèi)的一條直線”是“直線平面”的必要非充分條件參考答案:D考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷。分析:根據(jù)平行線與異面線的定義判斷出A錯(cuò);據(jù)直線與平面垂直的判定定理判斷出B錯(cuò);根據(jù)兩直線射影垂直兩直線不一定垂直判斷出C錯(cuò);據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理判斷出D正確。解答:對(duì)于A,“直線a、b不相交”時(shí),“直線a、b為異面直線或平行直線”,故A錯(cuò);對(duì)于B,“l(fā)⊥平面α”能推出“直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線”,反之“直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線”推不出“l(fā)⊥平面α”所以“l(fā)⊥平面α”是“直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線”的充分不必要條件,故B錯(cuò);對(duì)于C,“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”時(shí),則有“直線a⊥b或a,b斜交”,故C錯(cuò);對(duì)于D,當(dāng)“直線a平行于平面β內(nèi)的一條直線”時(shí),若a在面內(nèi),則推不出“直線a∥平面β”;反之若“直線a∥平面β”,則有經(jīng)過a作一平面與已知平面相交,則a平行于交線,所以D正確;故選D。點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的性質(zhì);直線與平面垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題。3.定義在R的奇函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)+f(b-1)=0,則a+b=__________.參考答案:1略4.下面幾種推理過程是演繹推理的是()
A.兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),如果和是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則.
B.由平面三角形的性質(zhì),推測(cè)空間四面體性質(zhì).
C.某校高三共有10個(gè)班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推測(cè)各班都超過50人.
D.在數(shù)列中,,由此歸納出的通項(xiàng)公式.參考答案:A5.設(shè)變量x,y滿足約束條件,則的最大值為(
)A.-2
B.2
C.3
D.4參考答案:C6.復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),若(2﹣i)z=a+i(i為虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)a的值為()A.﹣ B.2 C.﹣2 D.參考答案:D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).【分析】把等式兩邊同時(shí)乘以,然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡,由實(shí)部等于0且虛部不等于0求解實(shí)數(shù)a的值.【解答】解:由(2﹣i)z=a+i,得:,∵z為純虛數(shù),∴,解得:a=.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.7.已知向量滿足,且,則向量的夾角為(
)A. B. C. D.參考答案:C
得,即,解得向量的夾角為知識(shí)點(diǎn):向量內(nèi)積的運(yùn)算
難度:28.在平面直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)若向量與在向量方向上的投影相等,則的最小值為(
)A.
B.
C.12
D.144參考答案:B本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及投影問題,考查運(yùn)算求解能力.因?yàn)橄蛄颗c在向量市方向上的投影相同,所以,,即點(diǎn)在直線上的最小值為原點(diǎn)到直線的距離的平方,因?yàn)椋缘淖钚≈禐?9.《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如下圖所示,俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積,則該“塹堵”的表面積為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C由三視圖可知,三棱柱空間結(jié)構(gòu)如下圖所示:由左視圖和主視圖可知,主視圖為等腰直角三角形,且直角邊長為,斜邊長為2所以兩個(gè)底面面積為側(cè)面由三個(gè)面組成,其中兩個(gè)面是全等的,底為2,高為;另外一個(gè)面底為2,高為2。側(cè)棱與底面垂直,所以所以表面積為所以選C
10.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f’(x)的圖像如右圖所示,則函數(shù)f(x)的圖像最有可能的是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.
B11
B12【答案解析】A
解析:根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像可知:函數(shù)增區(qū)間是(-2,0).所以選A.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A,B,C三點(diǎn),若=4,則=.參考答案:
【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】分別過A,F(xiàn),B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A1,D,B1,利用相似三角形計(jì)算BB1,AA1即可得出AB=AA1+BB1.【解答】解:分別過A,F(xiàn),B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A1,D,B1,則DF=p=2,由拋物線的定義可知BF=BB1,AF=AA1,∵=4,∴,∴BF=BB1=.∴CF=4FB=6,∴cos∠DFC=,∴cos∠A1AC===,解得AF=3,∴AB=AF+BF=3+=.故答案為:.12.i是虛數(shù)單位,計(jì)算的結(jié)果為
.參考答案:﹣i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡求解即可.【解答】解:i是虛數(shù)單位,===﹣i.故答案為:﹣i.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,基本知識(shí)的考查.13.等差數(shù)列{an}中,a5=10,a12=31,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=(n∈N+)參考答案:3n﹣5略14.已知,,則的值是________.參考答案:略15.若時(shí),均有,則=
參考答案:略16.已知向量與的夾角為,且,,若,且,則實(shí)數(shù)的值為________.參考答案:17.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,時(shí)取得最大值,則a的取值范圍是
參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù),a為常數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性:(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證:.參考答案:(1)見解析(2)證明見解析【分析】(1)求導(dǎo)后分子所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù),分情況討論的正負(fù)以及根與1的大小關(guān)系即可.(2)由(1)的兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,所以,,則,將化簡整理為的函數(shù)即,構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明不等式即可.【詳解】(1)函數(shù)的定義城為.由題意,.(ⅰ)若,則,于是,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減.(ⅱ)若,由,得或,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.(ⅲ)若,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增.(2)由(1)知,有兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,所以,,則,由于.設(shè)..當(dāng)時(shí),,所以.所以在上單調(diào)遞減,又.所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類討論分析函數(shù)極值點(diǎn)的問題以及構(gòu)造函數(shù)證明極值點(diǎn)不等式的問題,重點(diǎn)在于構(gòu)造關(guān)于的函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性與最值證明.屬于難題.19.已知數(shù)列滿足:,,(其中為非零常數(shù),).(1)判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列?(2)求;(3)當(dāng)時(shí),令,為數(shù)列的前項(xiàng)和,求.參考答案:(1)由,得.
令,則,.,,(非零常數(shù)),數(shù)列是等比數(shù)列.
(2)數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
,即.
當(dāng)時(shí),,
滿足上式,.
(3),當(dāng)時(shí),.
,
①
②當(dāng),即時(shí),①②得:,即.
而當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),.綜上所述,
略20.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(1,﹣2),直線l:(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ,直線l和曲線C的交點(diǎn)為A,B.(1)求直線l和曲線C的普通方程;(2)求|PA|+|PB|.參考答案:【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.【專題】方程思想;分析法;坐標(biāo)系和參數(shù)方程.【分析】(1)由代入消元法,可得直線的普通方程;運(yùn)用x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲線C的普通方程;(2)求得直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入曲線C的普通方程,可得二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義,即可得到所求和.【解答】解:(1)直線l:(t為參數(shù)),消去t,可得直線l的普通方程為x﹣y﹣3=0;曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ,即為ρ2sin2θ=2ρcosθ,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲線C的普通方程為y2=2x;(2)直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為(m為參數(shù)),代入曲線C:y2=2x,可得m2﹣6m+4=0,即有m1+m2=6,m1m2=4,則|PA|+|PB|=|m1|+|m2|=m1+m2=6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程和普通方程的互化,考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用,注意運(yùn)用聯(lián)立方程和韋達(dá)定理,以及參數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為、,曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)).(Ⅰ)求直線AB的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)若直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),求r的值.參考答案:【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.【專題】計(jì)算題;直線與圓;坐標(biāo)系和參數(shù)方程.【分析】(Ⅰ)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可將A,B化為直角坐標(biāo),再由直線方程的形式,即可得到AB的方程;(Ⅱ)運(yùn)用同角的平方關(guān)系,可將曲線C化為普通方程
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