達(dá)朗貝爾公式定解問(wèn)題

會(huì)計(jì)學(xué)1達(dá)朗貝爾公式定解問(wèn)題2則方程（1）變?yōu)椋何覀儼汛鷵Q（2）寫成：即在這代換下原方程化為：對(duì)于這個(gè)方程，就很容易求解了！先對(duì)積分：其中f是任意函數(shù)！再對(duì)積分得到通解：其中是任意函數(shù).(3)(4)(5)第1頁(yè)/共21頁(yè)3方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，與常微分方程不同的是通解中出現(xiàn)任意函數(shù)，而不是任意常數(shù)！通解（5）的物理意義：對(duì)于函數(shù)f2(x-at)來(lái)說(shuō)，改用以速度a沿x軸正向移動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)軸X,則新舊坐標(biāo)和時(shí)間之間的關(guān)系此時(shí)有：與時(shí)間T無(wú)關(guān)，即函數(shù)圖像在動(dòng)坐標(biāo)系中保持不變，是隨著動(dòng)坐標(biāo)系以速度a沿x正方向移動(dòng)的行波！同理，f1(x+at)是以速度a沿負(fù)方向移動(dòng)的行波。上述通解中的函數(shù)可以用定解條件確定。假定弦，桿，傳輸線都是無(wú)限長(zhǎng)的，則不存在邊界條件。（2）函數(shù)與的確定波形的具體形狀的確定第2頁(yè)/共21頁(yè)4初始條件是：把初始條件代入通解得到：即解方程得代入通解方程即得滿足初始條件的特解：（6）——達(dá)朗貝爾公式這是偏微分方程的定解第3頁(yè)/共21頁(yè)5作為例子：（i）設(shè)初速度為零，即初始位移只在區(qū)間（x1,x2）不為零，在x=(x1+x2)/2達(dá)到最大值u0如圖所示：達(dá)朗貝爾公式給出初始位移分為兩半，分別向左右兩方，以速度a移動(dòng)（虛線），這兩個(gè)行波的和所給出各個(gè)時(shí)刻的波形（實(shí)線）。如下圖所示：第4頁(yè)/共21頁(yè)6xt=0xt1xt2xt3xt4xt5第5頁(yè)/共21頁(yè)7（ii）設(shè)初始位移為零,即且初速度只在區(qū)間（x1,x2）上不為零此時(shí)達(dá)朗貝爾公式給出：這里指的是作出兩個(gè)圖形，讓他們以速度a分別向左右兩方移動(dòng)，虛線所描述，他們的和（實(shí)線）就描畫出各個(gè)時(shí)刻波形：x2x1x第6頁(yè)/共21頁(yè)8t0xt1xt2xt3xt4xt5xt6xt7xt8xx1x2第7頁(yè)/共21頁(yè)9在上圖中，波已通過(guò)的地方，雖然振動(dòng)消失，但偏離了原平衡位置?。ǘ┒它c(diǎn)的反射半無(wú)限長(zhǎng)的弦具有一個(gè)端點(diǎn)，先考察端點(diǎn)固定的情況，即：初始條件里必須才有意義，因?yàn)閤<0的區(qū)域弦不存在，更無(wú)初始條件！對(duì)于較遲的時(shí)間（t>x/a）達(dá)朗貝爾公式里失去意義，不能應(yīng)用！我們可以把半無(wú)限長(zhǎng)弦當(dāng)作某根無(wú)限長(zhǎng)弦的一部分，而此無(wú)限長(zhǎng)弦的振動(dòng)過(guò)程中，x=0必須保持不動(dòng)！即無(wú)限長(zhǎng)弦的位移第8頁(yè)/共21頁(yè)10u(x,t)應(yīng)當(dāng)是奇函數(shù)，而無(wú)限長(zhǎng)弦的初始位移和初始速度都應(yīng)該是奇函數(shù)：這樣我們就把從半無(wú)界區(qū)域奇延拓到整個(gè)無(wú)界區(qū)間現(xiàn)在就可以利用達(dá)朗貝爾公式來(lái)求解無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)，且的部分就是我們所考察的半無(wú)限長(zhǎng)弦！初始條件代入上面的式子可以得到方程的解:第9頁(yè)/共21頁(yè)11

為了闡明上式的物理意義，描畫了只有初始位移而沒(méi)有初始速度的情況，最下一圖右半邊實(shí)線描出分別向左右兩方移動(dòng)的波，左半邊用虛線描出奇延拓，奇延拓的波也分別向左右兩方運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，端點(diǎn)沒(méi)有影響，各圖按時(shí)間順序描述了波的傳播情況，x=0保持不動(dòng)，端點(diǎn)的影響反映為反射波，而且此時(shí)反射波的相位根入射波相反，此所謂半波損失。第10頁(yè)/共21頁(yè)12uxOt=0xt1xt2xt3xt4xt5xt6xt7xt8x開始反射第11頁(yè)/共21頁(yè)13下面考察半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由振動(dòng)，端點(diǎn)自由，描述如下：同樣可以把這根半無(wú)限長(zhǎng)桿當(dāng)做某無(wú)限長(zhǎng)桿的的部分。此無(wú)限長(zhǎng)桿在振動(dòng)過(guò)程中，x＝0的相對(duì)伸長(zhǎng)ux=0,即無(wú)限長(zhǎng)桿的位移u(x,t)應(yīng)當(dāng)是偶函數(shù)，則無(wú)限長(zhǎng)桿的初始位移和初始速度都是偶函數(shù)：把兩個(gè)函數(shù)偶延拓到整個(gè)無(wú)限區(qū)間，可以應(yīng)用公式！第12頁(yè)/共21頁(yè)14應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式可得：把初始條件代入上式可得：這也是一種反射波，不同的是反射波的相位跟入射波相同，沒(méi)有半波損失！第13頁(yè)/共21頁(yè)15（三）定解問(wèn)題是一個(gè)整體

從偏微分方程求出達(dá)朗貝爾公式的過(guò)程，與常微分方程的求解過(guò)程是類似的，但絕大多數(shù)的偏微分方程很難求出通解，用定解條件確定待定函數(shù)更加困難！

從物理角度來(lái)說(shuō)，問(wèn)題的完整提法是在給定的定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程。但除了達(dá)朗貝爾公式等極少的例子，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)講，不可能先求偏微分方程的通解后在考慮定解必條件，須同時(shí)考慮方程本身和定解條件來(lái)求解！（和常微分方程不同!）

不管是從物理的角度，還是數(shù)學(xué)的角度，定解問(wèn)題都是一個(gè)整體！而不能割裂開。第14頁(yè)/共21頁(yè)16（四）定解問(wèn)題的適定性定解問(wèn)題是從實(shí)際中來(lái)的，結(jié)果也要回到實(shí)際中去，則必須：(1)定解問(wèn)題有解(2)解是唯一的(3)解是穩(wěn)定的對(duì)于穩(wěn)定來(lái)說(shuō)，就是如果定解條件的數(shù)值有很小的改變，解的數(shù)值也只有很小的改變，處在可控的范圍。因?yàn)閷?shí)際測(cè)量中，不可能絕對(duì)精確，來(lái)自實(shí)際問(wèn)題的定解條件也不可避免的有誤差，如果解不穩(wěn)定，則可能理論分析與實(shí)際情況相差很遠(yuǎn)，沒(méi)有實(shí)用價(jià)值！定解問(wèn)題滿足這三個(gè)條件，稱為適定的！第15頁(yè)/共21頁(yè)17以達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)過(guò)程為例，如果（具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)類）可以驗(yàn)證公式本身確實(shí)滿足方程，即解存在！而在公式推導(dǎo)過(guò)程中，沒(méi)有任何限定，則滿足偏微分方程的解最后都可寫成達(dá)朗貝爾公式，即解唯一！下面來(lái)看達(dá)朗貝爾解的穩(wěn)定性：設(shè)有兩組初始條件：則相應(yīng)的兩個(gè)解u1和u2相差：第16頁(yè)/共21頁(yè)18也就是說(shuō)，兩解的差是很小的，如果不加說(shuō)明，我們所研究的定解問(wèn)題都是適定的，不再一一說(shuō)明,以后我們將把泛定方程和定解條件作為整體來(lái)一起處理！第17頁(yè)/共21頁(yè)19

由于許多數(shù)學(xué)物理問(wèn)題均可以用適定的定解問(wèn)題來(lái)處理，長(zhǎng)期以來(lái)，人們認(rèn)為不適定數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究是沒(méi)有意義的，然而在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常遇到不適定的問(wèn)題。

例如，對(duì)于某物體，希望在某時(shí)刻具有一個(gè)實(shí)際的溫度分布，那么在初始時(shí)刻物體應(yīng)當(dāng)具有一個(gè)什么樣的溫度分布才能達(dá)到此