條件概率、乘法公式、獨(dú)立性

.PAGE@:PAGE6§3．條件概率、乘法公式、獨(dú)立性前面講到隨機(jī)事件時(shí)，說(shuō)到隨機(jī)事件是在一定條件S下，進(jìn)展隨機(jī)試驗(yàn)而可能發(fā)生或可能不發(fā)生的事件．當(dāng)我們計(jì)算事件A的概率P〔A〕時(shí)，假如除了條件S外，不再加上其它條件的限制，我們稱(chēng)此種概率為無(wú)條件的概率。但是在許多實(shí)際問(wèn)題中，還存在著要求一個(gè)事件B在某一事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下的概率．我們稱(chēng)它條件的概率。一．【例1】設(shè)箱中有100件同型產(chǎn)品。其中70件〔50件正品，20件次品〕來(lái)自甲廠，30件〔25件正品，5件次品〕來(lái)自乙廠?，F(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品?！?〕求獲得甲廠產(chǎn)品的概率；〔2〕求獲得次品的概率；〔3〕獲得的是甲廠產(chǎn)品，求獲得的是次品的概率。分析：為了直觀，我們將產(chǎn)品情況列成表上面的問(wèn)題，可用古典概率計(jì)算法求得。解：那么〔1〕〔2〕，，，〔3〕在“獲得的是甲廠產(chǎn)品〞這一條件下任取一件產(chǎn)品，實(shí)際上是從甲廠70件產(chǎn)品〔50件正品，20件次品〕中任取一件。這時(shí)樣本空間只含70個(gè)根本領(lǐng)件〔是原的樣本空間的一部分〕。由古典概率知：為了給出條件概率的數(shù)學(xué)定義，我們對(duì){例1}的條件概率問(wèn)題進(jìn)展分析：即有二。條件概率：設(shè)A,B是條件S下的兩個(gè)隨機(jī)事件，P〔A〕＞0，那么稱(chēng)在事件4發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為條件概率,且【例1】從帶有自標(biāo)號(hào)1，2，3，4，5，6的六個(gè)球中，任取兩個(gè)，假如用A表示事件“取出的兩球的自標(biāo)號(hào)的和，為6〞，用B表示事件“取出的兩球的自標(biāo)號(hào)都處偶數(shù)〞，試求：【例】SKIPIF1<0解；〔ⅰ〕∵SKIPIF1<0，三．概率的乘法公式：乘法公式：兩個(gè)事件A、B之交的概率等于中任一個(gè)事件〔其概率不為零〕的概率乘以另一個(gè)事件在前一個(gè)事件發(fā)生下的條件概率。即【例2】盒中有10件同型產(chǎn)品。其中8件正品，2件次品，現(xiàn)從盒中無(wú)放回地連取2件，求第一次、第二次都獲得正品的概率。因?yàn)樵诘谝淮我勋@得正品下，第二次再取產(chǎn)品時(shí)，盒中只剩9件產(chǎn)品，其中正品只有7件。【例3】10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3人參加抽簽〔不放回〕，甲先、乙次、丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都抽到難簽，甲沒(méi)抽到難簽而乙抽到難簽以及甲、乙、丙都抽到難簽的概率。解：設(shè)事件A，B、C分別表示甲、乙、丙各抽到難簽，那么【例4】【例5】袋中有三個(gè)鬮，其中僅有一鬮為有物之鬮，三人排隊(duì)抓鬮，每人取一個(gè)，記從此例看出，抓鬮時(shí)雖排隊(duì)，但三人是等概的，否那么這個(gè)方法就不會(huì)被人類(lèi)采納達(dá)數(shù)千年之久。三．事件的獨(dú)立性：假如那么表示事件A發(fā)生并不影響事件B發(fā)生的概率。即SKIPIF1<01．定義：設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，假如2．性質(zhì)：假設(shè)四對(duì)事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；SKIPIF1<0 與SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中有一對(duì)互相獨(dú)立，那么其余三對(duì)也互相獨(dú)立．即下面四個(gè)命題是等價(jià)的：３．定義２：應(yīng)用獨(dú)立性概念，可以簡(jiǎn)化概率的計(jì)算．【例6】在不超過(guò)100個(gè)自然數(shù)里任取一數(shù)，那么它能被2或能被5整除的概率為多少？SKIPIF1<0【例】袋中放有a個(gè)白球和b個(gè)黑球，隨機(jī)取出一個(gè)，然后放回，并同時(shí)再放進(jìn)與取出的球同色的球c個(gè)，再取第二個(gè)，這樣連續(xù)取3次，問(wèn)取出的3個(gè)球中頭兩個(gè)是黑球，第3個(gè)是白球酌概率是多少?解：【例】每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為0．4％，且他們是否含有肝炎病毒是互相獨(dú)立的．今混合100個(gè)人的血清，試求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率．如今我們知道對(duì)１００人的血清作檢驗(yàn)．用新方法要檢驗(yàn)l01次的可能性為0．33，而只需檢驗(yàn)一次的可能性為１—o．33＝o．67．由此，可以知道，只做一次檢驗(yàn)的可能性遠(yuǎn)大于t01次檢驗(yàn)的可能性．以后我們將知道：用新方法對(duì)100個(gè)人平均需做34次檢驗(yàn)，當(dāng)然這比老方法要做too次檢驗(yàn)確實(shí)減少了工作量．【例】【例】甲、乙兩人同時(shí)向一敵機(jī)炮擊，甲擊中的概率為o．6，乙擊中的概率為o．5，求敵機(jī)被擊中的概率?！纠保薄俊玻薄硟砷T(mén)火炮同時(shí)向一敵機(jī)射擊，每門(mén)火炮的命中率為０．6，求敵機(jī)被擊中的概率．現(xiàn)假設(shè)干門(mén)炮同時(shí)向向一敵機(jī)炮擊，問(wèn)欲以９９％的把握擊中這敵機(jī)，至少需要幾門(mén)炮？〔２〕解：設(shè)至少n門(mén)炮同時(shí)向向一敵機(jī)炮擊，SKIPIF1<0“第SKIPIF1<0門(mén)炮擊中這敵機(jī)〞SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 “敵機(jī)被擊中〞，那么SKIPIF1<0，〔∵SKIPIF1<0不是兩兩互不相容，Ｐ〔Ａ〕計(jì)算量太大，可以考慮SKIPIF1<0的逆事件〕∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是互相獨(dú)立的，∴SKIPIF1<0，SKIPI