實變函數(shù)測試題1-參考答案

實變函數(shù)測試題1-參考答案實變函數(shù)測試題1-參考答案實變函數(shù)測試題1-參考答案實變函數(shù)測試題1-參考答案編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:實變函數(shù)測試題1本試題參考答案由08統(tǒng)計班15號李維提供有問題聯(lián)系1、設(shè)。2、證明：為上連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是對任意實數(shù)，集和都是閉集。3、設(shè)是任意可測集，則一定存在可測集型集，使得,且4、設(shè)，可測，且，若，則皆可測。5、寫出魯津定理及其逆定理。并證明魯津定理的逆定理。6、設(shè)是上的可測函數(shù)，為開集，為閉集，試問與是否是可測集，為什么7、設(shè)在Cantor集上定義函數(shù)=0，而在的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間上定義為（）,試證可積分，并求出積分值。8、設(shè)為上非負可積函數(shù)列，若則。9、設(shè)是上.有限的可測函數(shù)，。試證明對，存在上.有界的可測函數(shù)，使得。10、求證,。解答：解：；設(shè)，則存在N，使，因此時，，即，所以x屬于下標(biāo)比N大的一切偶指標(biāo)集，從而x屬于無限多，得又顯然，所以。；若有，則存在A，使任意,有。因此若時，，即.令得，此不可能，所以。2．證明：必要性：若是上連續(xù)函數(shù)，由第二章習(xí)題8可知和是閉集。充分性：若和E都是閉集。若有，在點不連續(xù)。則存在，或，不妨設(shè)出現(xiàn)第一種情況。令，則，而（因為），此與是閉集相矛盾。所以在上是連續(xù)的。證畢。3．由外側(cè)度定義，對任意正整數(shù)，存在開集,使，令，則為型集，且故。證畢。4．證明：先證可測：存在型集使得。令。.。因為,,即,又,所以,所以.，所以,因為可測，可測，所以可測。同理可證可測。證畢。5．魯津定理：設(shè)是上.有限的可測函數(shù)，則對任意，存在閉子集，使在上是連續(xù)函數(shù)，且.逆定理：設(shè)是上的函數(shù)，對，總存在閉子集，使得在上是連續(xù)函數(shù)，且，則，是上.有限的可測函數(shù)。證明：對任意，存在閉子集,使在上連續(xù)且,令，則對任意，有。令，得。對任意實數(shù)a，，由在上連續(xù)，可知可測，而，所以也可測，從而是可測的。因此是可測的。因為在上有限，故在上有限，所以.有限。證畢。6.由已知則開集可寫成直線上可列個開集的并集，即，，則可知是可測集。由，則可知也是可測集。證畢。7．f(x)是非負可測函數(shù)，因而積分確定，只要證明積分有限即可。設(shè)是的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間之并，則，因此，所以可積，且積分值為3。證畢。8．對任意，由于非負可知：，即證畢。9．因為是上的.有限的可測函數(shù)，設(shè)，，令故有所以，故，使得令g(x)=故。證畢。10.由于當(dāng)證畢。