人教版八年級上數(shù)學(xué)精編講義

第十一章全等三角形及其應(yīng)用【知識精讀】1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)?；ハ嘀睾系倪吔袑?yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，記作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上。3.全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；4.尋找對應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（3）通過觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。翻折如圖（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直線AO翻折180得到的；旋轉(zhuǎn)如圖（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180得到的；平移如圖（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。5.判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2）推論：角角邊定理6.注意問題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a:三個(gè)角對應(yīng)相等，即AAA；b:有兩邊和其中一角對應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究兩個(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識?！痉诸惤馕觥咳热切沃R的應(yīng)用證明線段（或角）相等【例1】如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分別位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先證明ΔACD≌ΔABE，再證明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.證明：在ΔACD和ΔABE中，∴ΔACD≌ΔABE(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）又∵AD=AE,AB=AC.∴AB－AD=AC－AE即BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ΔDBF≌ΔECF（AAS）∴BF=FC（全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行【例2】已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：AB∥CD分析：要證AB∥CD，需證∠C＝∠A，而要證∠C＝∠A，又需證ΔABF≌Δ⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°ΔABF≌ΔCDE條件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證∠C＝∠A,進(jìn)一步證明AB∥CD.證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定義）在ΔABF及ΔCDE中，∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴∠C＝∠A(全等三角形對應(yīng)角相等)∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E，連接CD和CE.求證：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中點(diǎn)F，連接BF，再證ΔCEB≌ΔΔACD中位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F，連接BF∴BF=EQ\F(1,2)AC,且BF∥AC（三角形中位線定理）∴∠ACB＝∠2(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3（等邊對等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB及ΔCFB中，∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)∴CE=CF=EQ\F(1,2)CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）即CD=2CE（ⅱ）加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.在ΔAEC及ΔBEF中，∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)∴AC=BF,∠4＝∠3(全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)∴BF∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD（等角的補(bǔ)角相等）在ΔCFB及ΔCDB中，∴ΔCFB≌ΔCDB(SAS)∴CF=CD即CD=2CE說明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F，連BF(如圖)（B為AD中點(diǎn)是利用這個(gè)辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直【例4】已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，ΔADC、ΔBDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過觀察，可以猜測：AO=BC，AO⊥BC.證明：延長AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中∴ΔADO≌ΔCDB(SAS)∴AO=BC,∠OAD=∠BCD（全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等）∵∠AOD＝∠COE（對頂角相等）∴∠COE+∠OCE=90o∴AO⊥BC5、中考點(diǎn)撥：【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)ED，并延長ED到點(diǎn)F，使DF＝DE，連結(jié)FC．求證：∠F＝∠A．分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中∠A、∠F不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得EF∥AC，因此把∠A通過同位角轉(zhuǎn)到△BDE中的∠BED，只要證△EBD≌△FCD即可．證明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．說明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系?！纠?】如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED分析：把已知條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和△AEC全等的三角形，因此過D點(diǎn)作DF∥AC交BE于F點(diǎn)，證明△AEC≌△FED即可。證明：過D點(diǎn)作DF∥AC交BE于F點(diǎn)∵△ABC為等邊三角形∴△BFD為等邊三角形∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF即EF=AB∴EF=AC在△ACE和△DFE中，∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形對應(yīng)邊相等）題型展示：【例1】如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC，構(gòu)造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需證DE＝BE問題便可以解決．證明：在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE．∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴DE＝DC，∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED，即ED＝DC，∴AB＝AC＋DC．剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長法（即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AE＝AC是利用了角平分線是角的對稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延長一條短線段等于長線段，再證明延長的部分及另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容．【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.下列判斷正確的是（）（A）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（B）有兩邊對應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等（C）有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（D）有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2.已知：如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE、CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC．求證：OB＝OC．3.如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，ACM和CBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：CEF是等邊三角形。4.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線。求證：AD<EQEQ\F(1,2)(AB+AC)5.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F，CH⊥AB于H點(diǎn)，交AE于G．求證：BD＝CG．【試題答案】1.D2.證明：∵AO平分∠ODB，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE、CE交于點(diǎn)O，∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°,∠BOD＝∠COE。∴△BOD≌△COE（ASA）．?∴?OB＝OC3.分析由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲證CEF是等邊三角形，只要證明CEF是等腰三角形。先證CAN≌MCB，得1=CFN≌CEB，即可推得CEF是等邊三角形的結(jié)論。證明：在CAN和MCB，∵AC=MC，CN=CB，CAN=MCB=120，∴ACN≌MCB中，∴FCB和CEB中，∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，∴CFN≌CEB，∴CF=CE，又∵ECF=60，∴CEF是等邊三角形.4.分析：關(guān)于線段不等的問題，一般利用在同一個(gè)三角形中三邊關(guān)系來討論，由于AB、AC、AD不在同一個(gè)三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來完成，注意AD是BC邊上的中線，延長AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．證明：延長AD到E，使DE＝AD，連結(jié)BE在ACD及EBD中∴ACD≌EBD（SAS）∴AC＝EB（全等三角形對應(yīng)邊相等）在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB＋AC＞2AD（等量代換）說明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長中線來構(gòu)造全等三角形。5.分析：由于BD及CG分別在兩個(gè)三角形中，欲證BD及CG相等，設(shè)法證△CGE≌△BDF。由于全等條件不充分，可先證△AEC≌△CFB證明：在Rt△AEC及Rt△CFB中，∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延長線于F∴∠AEC＝∠CFB＝90°又∠ACB＝90°∴∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF∴Rt△AEC≌Rt△CFB∴CE＝BF在Rt△BFD及Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，∴Rt△BFD≌Rt△CEG∴BD＝CG第十二章軸對稱1.如果一個(gè)圖形沿著某一條直線對折，對折的兩部分能完全重合，那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對稱軸。這時(shí)，我們就說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（或軸）對稱。2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過翻折之后互相重合的點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn)。注意：一個(gè)軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條；兩個(gè)圖形成軸對稱和軸對稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后者是一個(gè)圖形。成軸對稱的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且及位置有關(guān)。題型一:軸對稱圖形的判斷【例1】如圖，我國主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)基本上都融入了中國古代錢幣的圖案，下圖中我國四大銀行的商標(biāo)圖案中軸對稱圖形的是(

)

①

②

③

④A．①②③

B．②③④

C．③④①

D．④①②分析：圖形沿一條直線折疊-----相互重合-----軸對稱圖形------判斷舉一反三：1、下列圖形中，不是軸對稱圖形的是(

)A．角

B．等邊三角形

C．線段

D．不等邊三角形2、下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A.兩條相交直線B.線段3、下列英文字母屬于軸對稱圖形的是（）A、NB、SC、LD、E4、下列說法中，正確的是(

)A．兩個(gè)全等三角形組成一個(gè)軸對稱圖形B．直角三角形一定是軸對稱圖形C．軸對稱圖形是由兩個(gè)圖形組成的D．等邊三角形是有三條對稱軸的軸對稱圖形題型二：找軸對稱圖形的對稱軸【例2】等腰三角形的對稱軸_______條.舉一反三：1、下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）軸對稱圖形只有一條對稱軸，（2）軸對稱圖形的對稱軸是一條線段，（3）兩個(gè)圖形成軸對稱，這兩個(gè)圖形是全等圖形，（4）全等的兩個(gè)圖形一定成軸對稱，（5）軸對稱圖形是指一個(gè)圖形，而軸對稱是指兩個(gè)圖形而言。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)2、軸對稱圖形的對稱軸的條數(shù)（）（A）只有一條（B）2條（C）3條（D）至少一條3、正五角星的對稱軸的條數(shù)是(

)A．1條

B．2條

C．5條

D．10條4、下列圖形中有4條對稱軸的是(

)A．平行四邊形

B．矩形

C．正方形

D．菱形常見圖形及其對稱軸：名稱是否是軸對稱圖形對稱軸有幾條對稱軸的位置線段是２條垂直平分線或線段所在的直線角是１條角平分線所在的直線長方形是２條對邊中線所在的直線正方形是４條對邊中線所在的直線和對角線所在的直線圓是無數(shù)條直徑所在的直線平行四邊形不是０條小結(jié)：軸對稱軸對稱圖形區(qū)別①指兩個(gè)圖形而言；②指兩個(gè)圖形的一種形狀及位置關(guān)系。①對一個(gè)圖形而言；②指一個(gè)圖形的特殊形狀。聯(lián)系①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；②把兩個(gè)成軸對稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對稱。1、線段垂直平分線的概念：（１）垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線；（２）線段的垂直平分線可以看做和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。2、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。3、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。注意:（１）“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩條線段相等；（2“到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。”的作用是：判定一點(diǎn)在線段的垂直平分線上；（3）“如果到兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線是該線段的垂直平分線?！钡淖饔檬牵捍怪逼椒志€的判定。題型一:線段垂直平分線的性質(zhì)【例3】如圖1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于50，求BC的長.圖-1點(diǎn)評：此題是△ABC中一邊AB的垂直平分線AC相交;那么當(dāng)AB的垂直平分線及BC相交時(shí)，(如圖2),對應(yīng)的是△ACE的周長，它的周長也等于AC+BC.圖形變化，但結(jié)論不變.圖-2舉一反三：1、如圖1,在△ABC中,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若∠BEC=70°，則∠A=？點(diǎn)評：此題變式求角的計(jì)算方法，應(yīng)用了兩個(gè)定理.按照同樣的方法,圖2中也能得出相應(yīng)的結(jié)論：∠AEC=2∠B.【例4】圖-3如圖3，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.圖-3(1)求△AEN的周長.(2)求∠EAN的度數(shù).(3)判斷△AEN的形狀.舉一反三：1.如圖4，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=130°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求△AEN的周長.(2)求∠EAN的度數(shù).(3)判斷△AEN的形狀.圖-42.如圖，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，若AB=12cm，BC=10cm,∠A=49o，求△BCE的周長和∠EBC的度數(shù).【例5】如圖，D是線段AB、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，若∠ABC＝50°求∠ADC舉一反三：1.如圖，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，求∠CBE2.如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且D為直線AB、AC垂直平分線的交點(diǎn)，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，則∠BDC的大小是（）A．100°B．80°C．70°D．50°題型二:線段垂直平分線的判定【例6】如圖所示，Rt△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC，過D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F。求證：BE垂直平分CD。(用定義法和判定定理法兩種方法)【經(jīng)典例題回顧】現(xiàn)在你有什么更加簡潔的證明過程嗎？【例7】如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G，求證：AD垂直平分EF。舉一反三：如圖所示，AB>AC，的平分線及BC的垂直平分線相交于D，自D作于E，，求證：BF=CG。1、軸對稱的性質(zhì)：（１）關(guān)于某條直線對稱的圖形是全等形；（２）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；（３）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上；（４）如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱。2、軸對稱作（畫）圖：（１）畫圖形的對稱軸（２）如果一個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱點(diǎn)之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸。（３）畫某點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)的方法（４）畫已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形注意：（１）全等的圖形不一定是軸對稱的，軸對稱的圖形一定是全等的。（２）性質(zhì)（４）的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對稱，它是作對對稱圖形的主要依據(jù)。【例8】如圖，ΔABC和ΔA’B’C’關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論中：①ΔABC≌ΔA’B’C’；②∠BAC’≌∠B’AC；③l垂直平分CC’；④直線BC和B’C’的交點(diǎn)不一定在l上，正確的有(

)A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)舉一反三：1、如圖，ΔABC及ΔA/B/C/關(guān)于直線l對稱，則∠B的度數(shù)為（）FEDCBAA．50°B．30FEDCBA2、如圖六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸，若∠AFC+∠BCF=150°，則∠AFE+∠BCD的大小是（）．Ａ．150°Ｂ．300°Ｃ．210°Ｄ．330°．【例9】如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO的對稱點(diǎn)、BO的對稱點(diǎn)，若△PEF的周長為15，求MN的長等腰三角形專題講解【知識精讀】（－）等腰三角形的性質(zhì)1.有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；2.定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等及角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定1.有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。）推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2.定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角及邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。3.等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來定?！痉诸惤馕觥俊纠?】如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DM⊥BC，所以想到連結(jié)BD，證BD＝ED。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可證∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，從而問題得證。證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)所以∠1＝∠ABC又因?yàn)镃E＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足為M所以M是BE的中點(diǎn)（等腰三角形三線合一定理）【例2】如圖，已知：中，，D是BC上一點(diǎn)，且，求的度數(shù)。分析：題中所要求的在中，但僅靠是無法求出來的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來求。解：因?yàn)?，所以因?yàn)椋?；因?yàn)椋裕ǖ冗厡Φ冉牵┒运杂忠驗(yàn)榧此约辞蟮谜f明1.等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。2.注意“等邊對等角”是對同一個(gè)三角形而言的。3.此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法?！纠?】已知：如圖，中，于D。求證：。分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證及的關(guān)系。證明：過點(diǎn)A作于E，所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)）因?yàn)橛郑运裕ㄖ苯侨切蝺射J角互余）所以（同角的余角相等）即說明：1.作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線；2.對線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長補(bǔ)短”或“倍長中線”等輔助線的添加方法，對角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型：1.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC及∠ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中的等腰三角形有（）A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè)，故選擇C。2.）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分別是垂足。求證：AE＝AF。證明：因?yàn)椋杂忠驗(yàn)樗杂諨是BC的中點(diǎn)，所以所以所以，所以說明：證法二：連結(jié)AD，通過證明即可5、題形展示：【例1】如圖，中，，BD平分。求證：。分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計(jì)算可以得出。證明一：在BC上截取，連結(jié)DE、DF在和中，又而即分析二：如圖，可以考慮延長BD到E，使DE＝AD，這樣BD＋AD=BD+DE=BE，只需證明BE＝BC，由于，只需證明易證，，故作的角平分線，則有，進(jìn)而證明，從而可證出。證明二：延長BD到E，使DE＝AD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。由證明一知：則有DF平分，在和中，而在和中，在中，說明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會，進(jìn)一步提高自身的解題能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1.選擇題：等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（）A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不對2.如圖，是等邊三角形，，則的度數(shù)是________。3.求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上.4.中，，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：?！驹囶}答案】1.B2.分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因?yàn)槭堑冗吶切嗡砸驗(yàn)?，所以所以在中，因?yàn)樗?，所以所?.分析：首先將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)的符號語言和圖形語言。已知：如圖，在中，，D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵谥?，所以（等邊對等角）又因?yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，所以（中線定義）在和中，所以所以（全等三角形對應(yīng)角相等）。所以（等角對等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。說明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號語言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OB＝OC”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開放題：“△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AC、AB上的中點(diǎn)，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO及BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4.分析：此題沒有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點(diǎn)。證明：過點(diǎn)A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，31所以所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補(bǔ)角定義）。所以又因?yàn)镋D垂直平分AB，所以（直角三角形兩銳角互余）。（線段垂直平分線定義）。又因?yàn)椋ㄖ苯侨切沃薪撬鶎Φ倪叺扔谛边叺囊话耄Ｋ栽诤椭?，所以所以即。說明：（1）根據(jù)題意，先準(zhǔn)確地畫出圖形，是解幾何題的一項(xiàng)基本功；（2）直角三角形中角的特殊關(guān)系，溝通了邊之間的數(shù)量關(guān)系，為順利證明打通了思路。第十三章實(shí)數(shù)【知識要點(diǎn)】一、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。1、實(shí)數(shù)有以下兩種分類方法：（1）按定義分類（2）按大小分類2、實(shí)數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值概念和有理數(shù)一樣，例如的相反數(shù)為，倒數(shù)為，的絕對值為。3、實(shí)數(shù)及數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示。4、實(shí)數(shù)的運(yùn)算：（1）關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用。（2）涉及無理數(shù)的計(jì)算，可根據(jù)問題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算。二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被開方數(shù)。1、二次根式的性質(zhì)： （1）；（2）；2、最簡二次根式：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。即被開方數(shù)不含有分母。（2）被開方數(shù)中不含有能開盡方的因數(shù)或因式。即被開方數(shù)中每個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2。3、同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式。4、二次根式的運(yùn)算：（1）．二次根式的運(yùn)算法則：；；；；（2）．分母有理化（3）．二次根式的混合運(yùn)算三、非負(fù)性及應(yīng)用：1、非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和零2、常見的非負(fù)數(shù)有實(shí)數(shù)的絕對值，實(shí)數(shù)的偶次方，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等，用符號表示如下：①若a是實(shí)數(shù)，則；②若a是實(shí)數(shù)，則（n為正整數(shù)），當(dāng)n=1時(shí)，a2≥0；③（n為正整數(shù)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，此時(shí)；3、非負(fù)數(shù)有如下性質(zhì)：①有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是非負(fù)數(shù)；②有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)是零。【典例解析】1、無理數(shù)的識別及估算方法例1、（1）在實(shí)數(shù)3.14，，，，…，π，中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？（2）估算的值（）2、實(shí)數(shù)的大小比較方法例2、（1）比較大小：7__________（填“”“”或“”）（2）已知，，則、的大小關(guān)系為_________（3）比較大?。寒?dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，_______.（填“”或“”）3、實(shí)數(shù)有數(shù)軸的關(guān)系例3、如右圖：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則x2－13的立方根是（）A.－13B.－－13C.2D.－24、實(shí)數(shù)的運(yùn)算例4、（1）；（2）；（3）；（4）。5、實(shí)數(shù)性質(zhì)的使用例5、（1）化簡： ；（2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則2a___________0；a＋b__________0；－｜b－a｜________0；｜2a｜－｜a＋b例6、（1）已知，求的值。（2）已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則=________【課堂檢測】1、在中，屬于有理數(shù)的是_____屬于無理數(shù)的是___2、（1）；。（2）。（3）若=。（4）計(jì)算。3、比較大?。?）（2）。4、下列語句中不正確的是（）A．無理數(shù)是帶根號的數(shù)，其根號下的數(shù)字開方開不盡；B．8的立方根是±2；C．絕對值等于的實(shí)數(shù)是D．每一個(gè)實(shí)數(shù)都有數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)及它對應(yīng)。5、及相乘，結(jié)果為1的數(shù)是（）A． B． C． D．6、下列計(jì)算正確的是（）ABC.D．7、數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的左邊，則式子的值是（）A．正數(shù) B．-1 C．小于-1 D．大于-18、化簡，甲、乙兩同學(xué)的解法如下：甲：；乙：，對于他們的解法，正確的是（）A．甲、乙的解法都正確 B．甲正確、乙不正確C．甲、乙的解都錯(cuò)誤D.正確、甲不正確9、計(jì)算或化簡：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）已知，求（6）已知的值。10、已知y=+18,求代數(shù)式的值。11、細(xì)心觀察右圖和認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題：，；，；，；……（1）請用含的（為正整數(shù)）的等式表示上述變化的規(guī)律；（2）推算出，；，；（3）求出的值。第十四章一次函數(shù)變化的世界變化的世界一次函數(shù)函數(shù)一次函數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)圖像性質(zhì)一元一次方程一元一次方程一元一次不等式二元方程組一函數(shù)在某變化過程中，存在個(gè)變量x、y，y隨x的變化而發(fā)生變化，對于x在其取值范圍內(nèi)，每一個(gè)確定的值，y都有的值及之對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。練習(xí)：函數(shù)y＝中自變量的取值范圍是＿＿，y=中x的取值范圍是二一次函數(shù)和正比例函數(shù)1．概念：若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的.（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問題中要根據(jù)函數(shù)的來確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).練習(xí)：已知函數(shù)；（1）若是一次函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？（2）若是正比例函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？2、一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．此直線及y軸的交點(diǎn)（），及x軸的交點(diǎn)（）.畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0，），（1，）即可.3、一次函數(shù)性質(zhì)（1）性質(zhì)函數(shù)kb位置Y隨x的變化草圖（2）點(diǎn)P（x0，y0）及直線y=kx+b的圖象的關(guān)系A(chǔ).如果點(diǎn)P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；B.如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對對應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標(biāo)的點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上．（3）確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件A.由于正比例函數(shù)y=kx（k≠0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值．B.由于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對x，y的值．4.一次函數(shù)及方程（不等式）(1).一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系一次函數(shù)及其圖像及一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，解決此類問題關(guān)鍵是找到函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）及x軸的交點(diǎn)（），直線y=kx+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式（k≠0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式（k≠0）的解；在x軸上也就是函數(shù)值等于零，x的值是方程的解。(2)一次函數(shù)及二元一次方程組的關(guān)系兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)就是對應(yīng)的二元一次方程組的解，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值；圖像在上方的函數(shù)的值較。熱身訓(xùn)練1．下列各式y(tǒng)是x一次函數(shù)的為（）AQUOTEBy=x2+2x+5Cy=2xDQUOTEEy=a+3F2．如圖的四個(gè)圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（）3．函數(shù)y=－x的圖象是一條過原點(diǎn)及（2，___）的直線，這條直線經(jīng)過第_____象限，當(dāng)x增大時(shí)，y隨之________4.函數(shù)y=2x－4，及x軸的交點(diǎn)是，當(dāng)x____，y<0；.當(dāng)x_______，y>0。5．函數(shù)y=-3x+5上取x1=1，x2=2，比較大?。簓1_______y2；函數(shù)y=(m2+1)x+2（m為常數(shù)）有x1=—1，x2=2，比較大小y1_______y2；6．某一次函數(shù)圖像過一、三、四象限，則：k___0，b___07．如右圖，判斷那些點(diǎn)屬于該直線A.（1，3）B.（-1，1）C.（2，-2）D.（QUOTE，-1）基本訓(xùn)練填空題1．小華用500元去購買單價(jià)為3元的一種商品，剩余的錢y（元）及購買這種商品的件數(shù)x（件）之間的函數(shù)關(guān)系是______________，x的取值范圍是__________2．函數(shù)y=－2x＋4的圖象經(jīng)過_________象限，它及兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_________3．一次函數(shù)y=kx＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，5），交y軸的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，則k=____，b=____4．若點(diǎn)（m，m＋3）在函數(shù)y=－x＋2的圖象上，則m=____5、直線y=3-9x及x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________，及y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為________．6、若直線y=kx＋b平行直線y=3x＋4，且過點(diǎn)（1，-2），則k=；b=.二、選擇題1．一次函數(shù)y=x-1的圖像不經(jīng)過(

)

B.第二象限

2.已知正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像過第二、四象限,則(

)

C.當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小D.不論x如何變化,y不變3.結(jié)合正比例函數(shù)y=4x的圖像回答:當(dāng)x>1時(shí),y的取值范圍是(

)

A.y=1

≤y<4

C.y=4

D.y>44．如右圖，判斷直線k，b值范圍A.k>0，b<0B.k<0，b<0C.k>0，b>0D.k<0，b>0三、解答題1．已知y及x-2成正比例關(guān)系，且當(dāng)x=3時(shí)，y=6，求函數(shù)的表達(dá)式2、已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（－1，3）和點(diǎn)（2，－3），（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）判斷點(diǎn)C（－2，5）是否在該函數(shù)圖象上。3．若函數(shù)y=4x＋b的圖象及兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為8，求解析式4、已知一次函數(shù)y=（m+4）x+m+2（m為整數(shù)）的圖象不經(jīng)過第二象限，求m的范圍；5、一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，2），B（-1，0）若將該圖象沿著y軸向上平移2個(gè)單位，則新圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是什么？6．已知2y－3及3x＋1成正比例，且x=2時(shí)，y=5,（1）求y及x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出它是什么函數(shù)；（2）若點(diǎn)（a，2）在這個(gè)函數(shù)的圖象上，求a.一個(gè)一次函數(shù)的圖象，及直線y=2x＋1的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，及直線y=－x＋2的交點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為1，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式某單位為減少用車開支準(zhǔn)備和一個(gè)體車主或一家出租車公司簽訂租車合同．設(shè)汽車每月行駛xKm，個(gè)體車主的月費(fèi)用是y1元，出租車公司的月費(fèi)用是y2元，y1、y2分別及x之間的函數(shù)關(guān)系圖像，如圖，觀察圖像并回答下列問題；（1）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租用公司的車更省錢（2）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租兩家的車的費(fèi)用相同？（3）如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程在2300Km，那么這個(gè)單位租哪家的車比較合算？綜合訓(xùn)練1、如圖，已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）及點(diǎn)B（2，3），另一條直線l2經(jīng)過點(diǎn)B，且及x軸交于點(diǎn)P（m，0）．（1）求直線l1的解析式；（2）若△APB的面積為3，求m的值．圖22、為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，自來水公司特制定了新的用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，每月用水量，x(噸)及應(yīng)付水費(fèi)(元)的函數(shù)關(guān)系如圖2．圖2（1）求出當(dāng)月用水量不超過5噸時(shí)，y及x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）某居民某月用水量為8噸，求應(yīng)付的水費(fèi)是多少3、近兩年某地外向型經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，一些著名跨國公司紛紛落戶該地新區(qū)，對各類人才需求不斷增加，現(xiàn)一公司面向社會招聘人員，其信息如下：［信息一］招聘對象：機(jī)械制造類和規(guī)劃設(shè)計(jì)類人員共150名．［信息二］工資待遇：機(jī)械類人員工資為600元/月，規(guī)劃設(shè)計(jì)類人員為1000元/月．設(shè)該公司招聘機(jī)械制造類和規(guī)劃設(shè)計(jì)類人員分別為x人、y人．（1）用含x的代數(shù)式表示y；（2）若公司每月付給所招聘人員的工資為p元，要使本次招聘規(guī)劃設(shè)計(jì)人員不少于機(jī)械制造人員的2倍，求p的取值范圍．4、我市某鄉(xiāng)A、B兩村盛產(chǎn)柑桔，A村有柑桔200噸，B村有柑桔300噸．現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C、D兩個(gè)冷藏倉庫，已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸；從A村運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B村運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從A村運(yùn)往C倉庫的柑桔重量為x噸，A，B兩村運(yùn)往兩倉庫的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元和yB元．（1）請?zhí)顚懴卤?，并求出yA、yB及x之間的函數(shù)關(guān)系式；收收地運(yùn)地CD總計(jì)Ax噸200噸B300噸總計(jì)240噸260噸500噸（2）試討論A，B兩村中，哪個(gè)村的運(yùn)費(fèi)較少；（3）考慮到B村的經(jīng)濟(jì)承受能力，B村的柑桔運(yùn)費(fèi)不得超過4830元．在這種情況下，請問怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最?。壳蟪鲞@個(gè)最小值．第15章整式的乘除及因式分解一、基礎(chǔ)知識1.同底數(shù)冪的乘法：，（m,n都是正整數(shù)），即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2.冪的乘方：，（m,n都是正整數(shù)），即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。3.積的乘方：，（n為正整數(shù)），即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。4.整式的乘法：（1）單項(xiàng)式的乘法法則：一般地，單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．（2）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則：單項(xiàng)式及多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示單項(xiàng)式)（3）多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式及多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用語言敘述為“兩個(gè)數(shù)的和及這兩個(gè)的差積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差”，即用字母表示為：(a+b)(a－b)=a2－b2；其結(jié)構(gòu)特征是：公式的左邊是兩個(gè)一次二項(xiàng)式的乘積，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)是完全相同的，另一項(xiàng)則是互為相反數(shù)，右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差.（2）完全平方公式：完全平方公式可以用語言敘述為“兩個(gè)數(shù)和（或差）的平方，等于第一數(shù)的平方加上（或減去）第一數(shù)及第二數(shù)乘積的2倍，加上第二數(shù)的平方”，即用字母表示為：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其結(jié)構(gòu)特征是：左邊是“兩個(gè)數(shù)的和或差”的平方，右邊是三項(xiàng)，首末兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，且符號相同，中間項(xiàng)是2ab，且符號由左邊的“和”或“差”來確定.在完全平方公式中，字母a、b都具有廣泛意義，它們既可以分別取具體的數(shù)，也可以取一個(gè)單項(xiàng)式、一個(gè)多項(xiàng)式或代數(shù)式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x(y－2)+(y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.（3）添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都變號。乘法公式的幾種常見的恒等變形有：(1)．a(chǎn)2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.(2)．a(chǎn)b＝［(a+b)2－（a2+b2）］＝［(a+b)2－(a－b)2］＝.(3)．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2.(4)．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等變形，我們可以迅速地解決有關(guān)看似及乘法公式無關(guān)的問題，并且還會收到事半功倍的效果.6.整式的除法：，（，m，n都是正整數(shù)，并且），即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。（1），任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.（2）單項(xiàng)式相除，把系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。7.因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這就叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也可稱為將這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，它及整式乘法互為逆運(yùn)算。8．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：把，分解成兩個(gè)因式乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式m，另一個(gè)因式是除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法。=1\*romani多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。=2\*romanii公因式的構(gòu)成：①系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母：各項(xiàng)都含有的相同字母；③指數(shù)：相同字母的最低次冪。（2）公式法：（1）常用公式平方差：完全平方：（2）常見的兩個(gè)二項(xiàng)式冪的變號規(guī)律：①；②．（為正整數(shù)）（3）十字相乘法ⅰ二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式中，如果能把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因式的積，并且等于一次項(xiàng)系數(shù)中，那么它就可以分解成ⅱ二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式中，如果能把二次項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，并且等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么它就可以分解成：。（4）分組分解法ⅰ定義：分組分解法，適用于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，例如沒有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分別結(jié)合，把原多項(xiàng)式分成兩組。再提公因式，即可達(dá)到分解因式的目的。例如：=，這種利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。ⅱ原則：分組后可直接提取公因式或可直接運(yùn)用公式，但必須使各組之間能繼續(xù)分解。ⅲ有些多項(xiàng)式在用分組分解法時(shí)，分解方法并不唯一，無論怎樣分組，只要能將多項(xiàng)式正確分解即可。二、經(jīng)典例題第一部分整式的乘除【例1】例題下列運(yùn)算正確的是（）A.a5+a5=a10B.a5·a5=a10C．a(chǎn)4·a5=a20D．（a4）5=a【思路點(diǎn)撥】選支A是整式的加法運(yùn)算，合并得2a5；選支B正確；選支C為同底數(shù)冪運(yùn)算應(yīng)指數(shù)相加，而不是相乘，故為a4·a5=a9；選支D為冪的乘方運(yùn)算，應(yīng)底數(shù)不變，指數(shù)相乘，為（a4）5=a20．【解析】本題應(yīng)選Ｂ．【規(guī)律總結(jié)】同底數(shù)冪的乘法是學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)，一定要學(xué)好，學(xué)習(xí)它時(shí)注意體會從特殊到一般、從具體到抽象，有層次的進(jìn)行概括抽象，歸納原理．【例2】下列運(yùn)算正確的是（）A.(－x)2x3=x6B.C．D．【思路點(diǎn)撥】選支A錯(cuò)在把指數(shù)相乘，實(shí)際應(yīng)相加(－x)2?x3=x2·x3=x5；選支B錯(cuò)在符號不對，負(fù)的偶次冪為正，負(fù)的奇次冪為負(fù)，==；選支C中積的乘方運(yùn)算出現(xiàn)漏乘項(xiàng)錯(cuò)誤，==；選支D運(yùn)算正確．【解析】本題應(yīng)選Ｄ．【規(guī)律總結(jié)】冪的乘方及積的乘方，是學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)．導(dǎo)出冪的乘方的根據(jù)是乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)．同學(xué)們要真正理解冪的乘方法的性質(zhì)，這樣才不致混淆性質(zhì)而運(yùn)算出錯(cuò)．【例3】下列運(yùn)算在正確的是（）A.B.C.D.[答案]B[錯(cuò)因透視]對整式運(yùn)算法則理解不深入才會出現(xiàn)錯(cuò)誤，，，【例4】計(jì)算：（-2x2y）2·(-3xy)【思路點(diǎn)撥】靈活運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法交換律等進(jìn)行運(yùn)算．【解析】原式=4x4y2·(-3xy)(據(jù)積的乘方)=[4×(-3)](x4·x)(y2·y)(據(jù)乘法交換律、結(jié)合律)=-12x5y3(據(jù)有理數(shù)的乘法、同底數(shù)冪的乘法)【規(guī)律總結(jié)】因?yàn)閱雾?xiàng)式是數(shù)字及字母的積，所以，冪的運(yùn)算性質(zhì)，乘法交換律、結(jié)合律，可作為單項(xiàng)式乘法的依據(jù)．單項(xiàng)式乘法法則對于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用，如：2a2b·(-3ab2)·5abc=[2×(-3)×5]·(a2·a·a)·(b·b2·b)·c=-30a4b4【例5】（1）2xy(5xy2+3xy-1)（2）(a2-2bc)·(-2ab)2【思路點(diǎn)撥】（1）小題單項(xiàng)式為2xy，多項(xiàng)式里含三項(xiàng)為：5xy2、3xy、-1，乘積仍為三項(xiàng)；(2)小題應(yīng)先算(-3ab)2，再用乘法交換律后的計(jì)算方法是相同的．【解析】（1）原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)=10x2y3+6x2y2-2xy（2）原式=(a2-2bc)·4a2b2=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)=4a4b2-8a2b3【規(guī)律總結(jié)】在解答單項(xiàng)式及多項(xiàng)式相乘問題時(shí)，易犯如下錯(cuò)誤：①出現(xiàn)漏乘，而導(dǎo)致缺項(xiàng)；②出現(xiàn)符號錯(cuò)誤；③運(yùn)算順序出錯(cuò)，造成計(jì)算有錯(cuò)．【例6】計(jì)算：(1)(3x-2y)(2a+3b)(2)(x-y)(x2+xy+y2)【思路點(diǎn)撥】第（1）題，先用x分別及2a、3b相乘，再用-2y分別及2a、3b相乘，然后把所得的積相加；第（2）題，可先用二項(xiàng)式（x-y）中的x分別及三項(xiàng)式中的各項(xiàng)相乘，再用-y分別及三項(xiàng)式中的各項(xiàng)相乘，然后把所得的積相加．【解析】(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b=6ax+9bx-4ay-6by(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3【規(guī)律總結(jié)】（1）利用多項(xiàng)式乘法法則時(shí)，既不要漏乘，又要注意確定各項(xiàng)的符號．（2）乘積中有同類項(xiàng)，要合并同類項(xiàng)．【例7】計(jì)算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)【思路點(diǎn)撥】仔細(xì)觀察題目特點(diǎn)，凡兩因式中相同項(xiàng)當(dāng)作公式中的a，另一項(xiàng)(必須是互為相反數(shù))當(dāng)作公式中的b方可應(yīng)用平方差公式，而有的，必須經(jīng)過變形才能運(yùn)用平方差公式．【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2=4y6-9x4【規(guī)律總結(jié)】公式中的字母可表示具體的數(shù)，也可表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，只要符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，就可運(yùn)用．【例8】化簡：(1)(2a+3b)2(2)(-x+2y)2(3)(-m-2n)2【思路點(diǎn)撥】此題可利用完全平方公式計(jì)算，第（1）題是兩數(shù)和的平方，應(yīng)選用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)題(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以應(yīng)選用“差”的完全平方公式簡捷；第(3)題(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2應(yīng)選用“和”的完全平方公式簡捷．【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2．2a．3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2=4y2-4xy+x2(3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2【規(guī)律總結(jié)】（1）這三題其實(shí)都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）計(jì)算，只不過根據(jù)題目特點(diǎn)靈活采用變形可簡化計(jì)算過程，其中(-x+2y)2轉(zhuǎn)化為(2y-x)2或(x-2y)2是一個(gè)常用技巧．（2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，展開式可記成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘積的2倍加減在中央”．【例9】計(jì)算：(1)y10÷y3÷y4(2)(-ab)5÷(-ab)3【思路點(diǎn)撥】先觀察題目，確定運(yùn)算順序及可運(yùn)用的公式，再進(jìn)行計(jì)算．題目（2）中被除數(shù)及除數(shù)的底數(shù)相同，故可先進(jìn)行同底數(shù)冪的除法，再運(yùn)用積的乘方的公式將計(jì)算進(jìn)行到最后．【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2【規(guī)律總結(jié)】像（2）這種題目，一定要計(jì)算到最后一步．【例10】計(jì)算：(1)xn+2÷xn-2(2)(x4)3·x4÷x16×10-3【思路點(diǎn)撥】（1）在運(yùn)用“同底數(shù)冪的除法”公式時(shí)，指數(shù)若是多項(xiàng)式，指數(shù)相減一定要打括號．(2)中先乘方運(yùn)算再做乘除法；（3）先將負(fù)指數(shù)的冪化為小數(shù)，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，得到最后結(jié)果．【解析】(1)xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4(2)(x4)3·x4÷x16=x12·x4÷x16=x12+4-16=x0=1×10-3××【規(guī)律總結(jié)】這里要特別注意“am÷an=am-n(a≠0，m，n均為正整數(shù)，并且m>n)”括號內(nèi)的條件．【例11】計(jì)算：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)【思路點(diǎn)撥】（1）中被除式的系數(shù)是1，可按照單項(xiàng)式相除法則計(jì)算;（2）是混合運(yùn)算，先弄清運(yùn)算順序，再根據(jù)相應(yīng)的法則進(jìn)行計(jì)算．本題先進(jìn)行乘方，再自左至右進(jìn)行乘除法．【解析】解：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)=(1÷2)·(a2n+2÷an)·(b3÷b2)·c=an+2bc(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)=(9x2y4)·(2xy)÷(6x3y3)=(18x3y5)÷(6x3y3)=3y2【規(guī)律總結(jié)】單項(xiàng)式相除，首先分清兩工的系數(shù)、相同字母、被除式獨(dú)有的字母，再進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)合演算重述法則，使法則熟悉，并會用它們熟練進(jìn)行計(jì)算．【例12】計(jì)算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)【思路點(diǎn)撥】對于混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．【解析】(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3)=3x2yz-2xz+1這一項(xiàng)易漏！(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)=［x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)］÷(xy)=［4xy］÷（xy）=4【規(guī)律總結(jié)】把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式“轉(zhuǎn)化”為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，在這個(gè)轉(zhuǎn)化過程中，要注意符號問題．第二部分：因式分解【例1】將下列各式分解因式：（1）_______；（2）；（3）_______；（4）_______。[答案]（1）（2）（3）（4）[錯(cuò)因透視]因式分解是中考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，有關(guān)因式分解的問題應(yīng)防止出現(xiàn)一下常見錯(cuò)誤：①公因式?jīng)]有全部提出，如；②因式分解不徹底，如；③丟項(xiàng)，如；④分組不合理，導(dǎo)致分解錯(cuò)誤，如，無法再分解下去?！纠?】連一連：a2－1(a＋1)(a－1)a2＋6a＋9 (3a＋1)(3a－1)a2－4a＋4 a(a－b)9a2－1 (a＋3)2a2－ab (a－2)2【思路點(diǎn)撥】由于因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算，我們可以先運(yùn)用整式乘法法則計(jì)算出第二列中各整式相乘的結(jié)果，看跟第一列中的哪個(gè)多項(xiàng)式相等，然后用線連接起來.【解析】(a＋1)(a－1)＝a2－1，(3a＋1)(3a－1)＝9a2－1，a(a－b)＝a2－ab，(a＋3)2＝a2＋6a＋9，(a－2)2＝a2－4a＋4.【規(guī)律總結(jié)】整式乘法及因式分解是互逆的恒等變形，根據(jù)題目的需要，有時(shí)多項(xiàng)式要通過因式分解才能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式積的形式，有時(shí)幾個(gè)多項(xiàng)式的積要通過整式乘法化成多項(xiàng)式的形式.【例3】分解因式：（1）5x－5y＋5z（2）（3）【思路點(diǎn)撥】觀察上面的各個(gè)多項(xiàng)式，我們可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，我們可以運(yùn)用提公因式的方法來做這道題目.第（3）小題分解因式的關(guān)鍵是尋找公因式，本題的公因式可以看作，也可以看作【解析】（1）原式＝5（x－y＋z）（2）原式＝（3）方法一：原式＝＝=方法二：原式＝＝＝【規(guī)律總結(jié)】運(yùn)用提公因式分解因式時(shí)，找對公因式是關(guān)鍵，提公因式后的各項(xiàng)中不能再含有其它公因式.有些表面沒有公因式的多項(xiàng)式，利用其互為相反數(shù)的條件，轉(zhuǎn)化為含有公因式的式子來完成因式分解．其一般原則：（1）首項(xiàng)一般不化成含負(fù)號的形式；（2）對同時(shí)含有奇次項(xiàng)和偶次項(xiàng)的多項(xiàng)式，一般將偶次項(xiàng)的底數(shù)化成它的相反數(shù)的形式，這樣可使各項(xiàng)符號不變．【例4】把下列各式因式分解：（1）（2）【思路點(diǎn)撥】此題中兩項(xiàng)都可以表示成平方的形式，多項(xiàng)式是二項(xiàng)式且前面的符號相反，應(yīng)考慮用平方差公式來分解【解析】（1）==（2）===（24a+2b）(2a+24b)=4(12a+b)(a+12b)【規(guī)律總結(jié)】第（2）小題中的（24a+2b）(2a+24b)，將括號內(nèi)提取公因式“2”后，應(yīng)把兩個(gè)2相乘，而不要當(dāng)成提公因式，誤寫成2(12a+b)(a+12b)．【例5】把下列各式分解因式：（1）（2）【思路點(diǎn)撥】此題中多項(xiàng)式的各項(xiàng)沒有公因式且都是三項(xiàng)式，應(yīng)考慮用完全平方公式．【解析】（1）==（2）===（8m+3n）2【規(guī)律總結(jié)】第（2）小題中的2m＋n應(yīng)看作一個(gè)整體，而不要利用整式乘法進(jìn)行計(jì)算，否則分解比較困難，多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有公因式且是三項(xiàng)式，應(yīng)考慮用完全平方公式．【例6】因式分解：（1）（2）【思路點(diǎn)撥】只要（1）把和，（2）把看作整體就不難套用平方差公式和完全平方公式來分解這個(gè)多項(xiàng)式的第一步，但本題中的兩小題都能繼續(xù)因式分解，因此要特別注意分解要徹底．【解析】（1）====（2）====【規(guī)律總結(jié)】因式分解是否分解結(jié)束的標(biāo)志是看分解后的各因式時(shí)候還含有可繼續(xù)因式分解的多項(xiàng)式。復(fù)習(xí)題1.計(jì)算的最終結(jié)果為().A．B．C．D．2.已知，則().A．B．C．為任意數(shù)D．3.若，，則等于().A．B．6C．21D．204．計(jì)算的結(jié)果是().A.B.C.D.5.等于().A．B．C．D．6．下列算式中，正確的是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．7．下列各式中計(jì)算結(jié)果等于的是（）A． B． C． D．8．下列運(yùn)算正確的是（）Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ．9．下列計(jì)算正確的是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．11．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是().A.6.25B.0.25C.－2.25D.－412.下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（）A．B．C．D．13.觀察下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中可以用提公因式法分解因式的有（）A．①