2022年秋高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2.5直線與圓圓與圓的位置關(guān)系2.5.2圓與圓的位置關(guān)系課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系第二章課標(biāo)要求1.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系及判定方法.2.能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系.3.能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)

圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1,r2的關(guān)系

|r1-r2|<d<

d>r1+r2d=r1+r2r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|方程組解的情況2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)2個(gè)

個(gè)

個(gè)

兩圓的位置關(guān)系相交

或

或

圓O1與圓O2相交時(shí),兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程

10外切內(nèi)切外離內(nèi)含過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切.(

)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(

)(3)若兩圓有公共點(diǎn),則|r1-r2|≤d≤r1+r2.(

)(4)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(

)(5)若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn),則d>r1+r2.(

)(6)過(guò)圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2.(

)××√××√2.當(dāng)兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí),公切線的條數(shù)分別是多少?3.當(dāng)兩圓相交、外切、內(nèi)切時(shí),連心線有什么性質(zhì)?提示

公切線的條數(shù)分別是4,3,2,1,0.提示

當(dāng)兩圓相交時(shí),連心線垂直平分公共弦;當(dāng)兩圓外切時(shí),連心線垂直于過(guò)兩圓公共點(diǎn)的公切線;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),連心線垂直于兩圓的公切線.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一判斷兩圓的位置關(guān)系【例1】

已知圓C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).試求a為何值時(shí),兩圓C1,C2的位置關(guān)系滿足下列條件:(1)相切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)含.思路分析求出圓心距,與兩半徑的和或差比較求出a的值.解

圓C1,C2的方程,經(jīng)配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圓心C1(a,1),C2(2a,1),半徑r1=4,r2=1.(1)當(dāng)|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時(shí),兩圓外切;當(dāng)|C1C2|=r1-r2=3,即a=3時(shí),兩圓內(nèi)切.(2)當(dāng)3<|C1C2|<5,即3<a<5時(shí),兩圓相交.(3)當(dāng)|C1C2|>5,即a>5時(shí),兩圓外離.(4)當(dāng)|C1C2|<3,即0<a<3時(shí),兩圓內(nèi)含.規(guī)律方法

判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法:利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較,得到兩圓的位置關(guān)系;(2)代數(shù)法:把兩圓位置關(guān)系的判定完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為方程組的解的組數(shù)問(wèn)題.變式訓(xùn)練1若兩圓x2+y2=a與x2+y2+6x-8y-11=0內(nèi)切,則a的值為

.

答案

121或1解析

∵x2+y2=a表示一個(gè)圓,∴a>0.探究點(diǎn)二兩圓相交問(wèn)題【例2】

已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng);(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.解

(1)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組

兩式相減,得x-y+4=0.∵A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程,∴x-y+4=0即為兩圓公共弦所在直線的方程.規(guī)律方法

公共弦問(wèn)題的解決方法(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí),才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法:一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再用距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解.變式訓(xùn)練2兩圓相交于兩點(diǎn)A(1,3)和B(m,-1),兩圓圓心都在直線x-y+c=0上,則m+c的值為

.

答案

3解析

由題意知直線AB與直線x-y+c=0垂直,∴kAB×1=-1.∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1).AB的中點(diǎn)在直線x-y+c=0上,∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3.探究點(diǎn)三兩圓相切問(wèn)題【例3】

求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+y=0相切于點(diǎn)M(3,-)的圓的方程.思路分析設(shè)圓的方程,利用兩圓外切和直線與圓相切建立方程組求得.解

設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由題知所求圓與圓x2+y2-2x=0外切,變式探究1將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2+y2-2x=0外切,圓心在x軸上,且過(guò)點(diǎn)(3,-)的圓的方程”,如何求?解

因?yàn)閳A心在x軸上,所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),設(shè)半徑為r,則所求圓的方程為(x-a)2+y2=r2,變式探究2將本例改為“若圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,試求實(shí)數(shù)m的值.規(guī)律方法

處理兩圓相切問(wèn)題的兩個(gè)步驟

定性即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切,若只是告訴相切,則必須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論轉(zhuǎn)化思想即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))探究點(diǎn)四圓系方程及其應(yīng)用【例4】

求圓心在直線x-y-4=0上,且過(guò)兩圓x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交點(diǎn)的圓的方程.解

(方法1)設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),規(guī)律方法

(1)當(dāng)經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)時(shí),圓的方程可設(shè)為(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后用待定系數(shù)法求出λ即可.(2)對(duì)于此類問(wèn)題首先要理解運(yùn)算對(duì)象,然后選擇好運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)好運(yùn)算程序,最后求得運(yùn)算結(jié)果.變式訓(xùn)練3求過(guò)直線x+y+4=0與圓x2+y2+4x-2y-4=0的交點(diǎn)且與直線y=x相切的圓的方程.解

設(shè)所求圓的方程為x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0.因?yàn)樗髨A與直線y=x相切,所以Δ=0,即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3,故所求圓的方程為x2+y2+7x+y+8=0.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)兩圓的位置關(guān)系;(2)兩圓的公共弦;(3)圓系方程;(4)圓與圓的綜合性問(wèn)題.2.方法歸納:幾何法、代數(shù)法.3.常見誤區(qū):(1)容易將兩圓內(nèi)切和外切相混;(2)對(duì)各種圓系方程表示的含義不清晰.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.兩圓x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是(

)A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離答案B

解析

圓x2+y2-1=0表示以O(shè)1(0,0)點(diǎn)為圓心,以R1=1為半徑的圓.圓x2+y2-4x+2y-4=0表示以O(shè)2(2,-1)點(diǎn)為圓心,以R2=3為半徑的圓.∵|O1O2|=,∴R2-R1<|O1O2|<R2+R1,∴圓x2+y2-1=0和圓x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是相交.2.(多選題)圓C1:(x+2)2+(y-m)2=9與圓C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,則m的值為(

)A.2 B.-5 C.-2 D.5答案

AB

解析

圓C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圓心為(-2,m),半徑為3,圓C2:(x-m)2+(y+1)2=4的圓心為(m,-1),半徑為2.即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.3.圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直線方程是

.

答案

4x+3y-2=0

解析

兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為4x+3y-2=0.4.已知圓x2+