高考數(shù)學(xué)(理科)總復(fù)習(xí)教師用書練習(xí)：53空間向量與立體幾何含解析

5.3空間向量與立體幾何.命.命題角度1空間位置關(guān)系證明與線面角求解高考真題體驗(yàn)對(duì)方向彳.<20##全國(guó)I18>如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把4DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFLBF.1>證明：平面PEFL平面ABFD;2>求DP與平面ABFD所成角的正弦值.1>怔明|由已知可得,BF，PF,BF，EF,所以BF，平面PEF.又BF?平面ABFD,所以平面PEFL平面ABFD.2>劇作PHLEF,垂足為H.由<1>得,PHL平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.由<1>可得,DE±PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE±PF.可得PH=,EH=.則H<0,0,0>,P,D為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為Q則sin0=.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為..<20##全國(guó)n20>如圖在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).1>證明：POL平面ABC;2>若點(diǎn)M在^^BC上，且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面FAM所成角的正弦值.1>怔明|因?yàn)锳P=CP=AC=4,0為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PLAC,且OP=2.連接0B,因?yàn)锳B=BC=AC，所以3BC為等腰直角三角形，且OB，AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知POXOB.由OP^OBQP^AC知POL平面ABC.2>耐如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由已知得O<0,0,0>,B<2Q0>,A<0,-2,0>,C<020>,P<0,0,2>,=<022>.取平面PAC的法向量=<2,0,0>,設(shè)M<a,2-a,0><0<aw2>,貝U=<a,4-a,0>.設(shè)平面PAM的法向量為n=<x,y,z>.由n=0,n=0得可取n=<<a-4>,a,-a>,所以cos<,n>=.由已知可得|cos<,n>|=.所以，解得a=-4〈舍去〉,a=.所以n=.又=<0,2,-2>,所以cos<,n>=.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.<20##全國(guó)田19>如圖，四棱錐P-ABCD中，PA，底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).<1>證明MN//平面PAB;<2>求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.<1>怔明］由已矢口得AM=AD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TN//BC,TN=BC=2.又AD//BC,故TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN//AT.因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN//平面PAB.<2>回取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC得AELBC,從而AELAD,且AE=.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.由題意知，P<0,0,4>,M<0,2,0>,C<,2,0>,N=<0,2,-4>,.設(shè)n=<x,y,z>為平面PMN的法向量，則可取n=<0,2,1>.于是|cos<n,>|=..<20##全國(guó)I18>如圖，四邊形ABCD為菱形，/ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE,平面ABCD,DF，平面ABCD,BE=2DF,AE±EC.1>證明：平面AECL平面AFC;2>千直乎AE與直線CF所成角的余弦值.1>接BD,設(shè)BDAAC=G，連接EG,FG,EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1.由/ABC=120°，可得AG=GC=.由BE,平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE±EC,所以EG=,且EGXAC.在RtAEBG中，可彳導(dǎo)BE=,故DF=.在RtAFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=,DF=，可得EF=.從而EG2+FG2=EF2,所以EG±FG.又ACAFG=G，可彳導(dǎo)EG,平面AFC.因?yàn)镋G?平面AEC,所以平面AEC±平面AFC.2>硒口圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.由<1>可得A<0,-,0>,E<1,0,>,F,C<0,,0>,所以=<1,>,.故cos<>==-.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.新題演練提能刷高分<20####濰坊二模>如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA尸AiD,AB=BC,/ABC=120<1>證明:AD±AiB;<2>若平面ADD1A1,平面ABCD,且A〔D=AB,求直線BA〔與平面AiBiCD所成角的正弦值.<1>何明］取AD中點(diǎn)O,連接OB,OAi,BD,.AA1=AiD,.,.AD±OAi,XZABC=120,AD=AB,「?祥BD是等邊三角形，.,.ADXOB,「?AD，平面AiOB..AiB?平面AiOB,..AD_LB.<2>惻:平面ADDiAi±WABCD,平面ADDAn平面ABCD=AD,又AQ，AD,；AiO,平面ABCD,：OAQA3OB兩兩垂直,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)AQBQAi所在射線為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)AB=AD=A2=2,則A<1,0,0>,Ai<0,0>,B<0,,0>,D<-1,0,0>.則二<1,0,>,=<-1,,0>,=<0,->,設(shè)平面AiBiCD的法向量n=<x,y,z>,則令乂=，則y=1,z=-1,可取n=<,1,-1>,設(shè)直線BA〔與平面AiBiCD所成角為0,貝1sin0=|cos<n>|=.20####撫順一模>如圖，在四棱錐P-ABCD中,PDL平面ABCD,底面ABCD為梯形,AB//CD,ZBAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4.E為PC的中點(diǎn).1>證明：BE//平面PAD;2>求直線PB與平面BDE所成角的正弦值.1>M明|設(shè)F為PD的中點(diǎn)，連接EF.FA.因?yàn)镋F為APDC的中位線，所以EF//CD,且EF=CD=2.又AB//CD,AB=2,所以ABEF,故四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE//AF.又AF?平面FAD,BE?平面PAD,所以BE//平面PAD.<2>嗣設(shè)G為AB的中點(diǎn)，因?yàn)锳D=AB，/BAD=60°,所以3BD為等邊三角形，故DGXAB;因?yàn)锳B//CD,所以DGLDC.又PDL平面ABCD,所以PD,DG,CD兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸、為y軸、為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則P<0,0,2>,B<,1,0>,E<0,2,1>,=<0,2,1>,=<,1,0>,設(shè)n=<x,y,z>為平面BDE的一個(gè)法向量,則令y=1,則n=.X=<,1,-2>,所以|cos<n>|=,即直線PB與平面BDE所成角的正弦值為..<20####福州3月質(zhì)檢〉在直三棱柱ABC-AiBiCi中，9BC為正三角形，點(diǎn)D在棱BC上，且CD=3BD,點(diǎn)E,F分別為棱AB,BBi的中點(diǎn).<1>證明：AiC//平面DEF;<2>若AiC^EF,求直線AiCi與平面DEF所成的角的正弦值.<1>陋|］如圖，連接ABi,AiB,交于點(diǎn)H,AiB交EF于點(diǎn)K,連接DK,因?yàn)锳BBiAi為矩形，所以H為線段AiB的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為棱AB,BBi的中點(diǎn)，所以點(diǎn)K為線段BH的中點(diǎn)，所以AiK=3BK,又因?yàn)镃D=3BD,所以AiC//DK,又AiC?平面DEF,DK?平面DEF,所以AiC//平面DEF.<2>惻由<i>知,EH//AAi,因?yàn)锳A」平面ABC,所以EH，平面ABC,因?yàn)槟荁C為正三角形，且點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，所以CEXAB,故以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=4,AAi=t<t>0>,則Ai<2,t,0>,C<0,0,2>,E<0,0,0>,f(-2,,0^,D1-,0/,所以=<-2,-t,2>,=L-2,,0,因?yàn)锳iC^EF,所以二0,所以<-2>X<-2>-tX2X0=0,解得t=2.所以二<-2,,0>,二(-,0,),設(shè)平面DEF的法向量為n=<x,y,z>,則所以取x=i，則n=<i,>,又因?yàn)槎?lt;-2,0,2>,設(shè)直線AiCi與平面DEF所成的角為以所以sin9=|cos<n,>|二，所以直線AiCi與平面DEF所成的角的正弦值為..<20##東北三省三校二模>如圖，四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面為菱形，/BAD=i20°,AB=2,E,F為CD,AAi的中點(diǎn).<i>求證：DF//平面BiAE;<2>/AAi,底面ABCD,且直線ADi與平面BiAE所成線面角的正弦值為，求AAi的長(zhǎng).<i>畫］設(shè)G為ABi的中點(diǎn)，連接EG,GF,因?yàn)镕GAiBi,又DEAiBi,所以FGDE,所以四邊形DEGF是平行四邊形，所以DF//EG,又DF?平面BiAE,EG?平面BiAE,所以DF//平面BiAE.<2>耐因?yàn)锳BCD是菱形，且/ABC=60°,所以那BC是等邊三角形.取BC中點(diǎn)M,則AMLAD,因?yàn)锳A」平面ABCD,所以AA」AM,AA」AD,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,令A(yù)Ai=t<t>0>,則A<0,0,0>,E,0',Bi<,-i,t>,Di<0,2,t>,J,。',=<,-i,t>,二<0,2,t>,設(shè)平面BiAE的一個(gè)法向量為n=<x,y,z>,

則n<x+y>=0且nx-y+tz=0,取n=<-t,t,4>,設(shè)直線ADi與平面BiAE所成角為&則sin片,解得t=2,故線段AAi的長(zhǎng)為2..<20##湖南長(zhǎng)沙一模，18>如圖,在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為梯形，那DE,ABCF均為等邊三角形，EF//AB,EF=AD=AB.<1>過BD作截面與線段FC交于點(diǎn)N,使得AF//平面BDN,試確定點(diǎn)N的位置，并予以證明；>在<1>的條件下，求直線BN與平面ABF所成角的正弦值.麗<1>當(dāng)N為線段FC的中點(diǎn)時(shí)，使得AF//平面BDN.證法如下：連接AC,BD,設(shè)ACABD=O,丁四邊形ABCD為矩形，??.O為AC的中點(diǎn)，又「N為FC的中點(diǎn),「.ON為"CF的中位線，：AF//ON.「AF?平面BDN,ON?平面BDN,：AF//平面BDN,故N為FC的中點(diǎn)時(shí)，使得AF//平面BDN.<2>過點(diǎn)。作PQ//AB分另lJ與AD,BC交于點(diǎn)P,Q,因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，所以P,Q分別為AD,BC的中點(diǎn)，Z^ADE與4BCF均為等邊三角形，且AD=BC,「?△ADE^ABCF,連接EP,FQ,則得EP=FQ,.EF//AB,ABPQ,EF=AB,EF//PQ,EF=PQ,：四邊形EPQF為等腰梯形.取EF的中點(diǎn)M,連接MO,則MOXPQ,又,.AD±EP,AD±PQ,EPAPQ=P,：AD，平面EPQF,過點(diǎn)O作OGLAB于點(diǎn)G,則OG//AD,.-.OG±OM,OG±OQ.O-xyz,不妨設(shè)AB=4,則由條件可分別以的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,不妨設(shè)AB=4,則由條件可設(shè)n=<x,y,z>是平面ABF的法向量，則所以可取n=<,0,1>,由，可得|cos<,n>|=,;可得|cos<,n>|=,;直線BN與平面ABF所成角的正弦值為.命題角度2空間位置關(guān)系證明與二面角求解高考真題體驗(yàn)對(duì)方向三號(hào)<20##全國(guó)m19>如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點(diǎn).<1>證明：平面AMD，平面BMC;<2>當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.<1>怔明由題設(shè)知，平面CMD，平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C，CD,BC?平面ABCD,所以BCL平面CMD,故BCXDM.因?yàn)镸為上異于C,D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMLCM.又BCnCM=C，所以DM，平面BMC.而DM?平面AMD,故平面AMD，平面BMC.<2>惻以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得D<0,0,0>,A<2,0,0>,B<2,2,0>,C<0,2,0>,M<0,1,1>,=<-2,1,1>,=<0,2,0>,=<2,0,0>.設(shè)n=<Xi,y,z>是平面MAB的法向量，則可取n=<1,0,2>,是平面MCD的法向量，因此cos<n,>=,sin<n,>=.所共面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.<20##全國(guó)I18>如圖，在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且/BAP=/CDP=90°.1>證明：平面PABL平面PAD;2>若PA=PD=AB=DC，/APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.1>怔明|由已知ZBAP=ZCDP=90°彳導(dǎo)AB，AP,CD，PD.由于AB//CD,故AB±PD,從而AB,平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PABL平面PAD.2>嗣在平面PAD內(nèi)作PFLAD,垂足為F.由<1>可知,ABL平面PAD,故ABLPF,可得PFL平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.由<1>與已知可得A,P,B,C.所以=<,0,0>,=<0,1,0>.設(shè)n=<x,y,z>是平面PCB的法向量，則可取n=<0,-1,->.設(shè)m=<x,y,z>是平面PAB的法向量，則可取m=<1,0,1>.貝Ucos<n,m>==-.所以二面角A-PB-C的余弦值為-.3.<20##全國(guó)n19>如圖，四棱車BP-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD，/BAD=ZABC=90°正是PD的中點(diǎn).<1>證明：直線CE//平面PAB;<2>點(diǎn)M在^PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.<1>畫］取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF//AD,EF=AD.由/BAD=/ABC=90°得BC//AD,又BC=AD所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形，CE//BF,又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE//平面PAB.<2>耐由已知得BALAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A<0,0,0>,B<1,0,0>,C<1,1,0>,P<0,1,>,=<1,0,->,=<1,0,0>.設(shè)M<x,y,z><0<x<1>則=<x-1,y,z>,=<x,y-1,z->.因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而n=<0,0,1>是底面ABCD的法向量，所以|cos<,n>|=sin45°,，即<x-1>2+y2-z2=0.①又M在^^PC上,設(shè)=入則x=4y=1,z=入②由①,②解得〈舍去>,所以M,從而.設(shè)m=<x0,y0,z0>是平面ABM的法向量，則所以可取m=<0,-,2>.于是cos<m,n>=.因此二面角M-AB-D的余弦值為.20##全國(guó)m19>如圖，四面體ABCD中，祥BC是正三角形，9CD是直角三角形，/ABD=/CBD,AB=BD.1>證明：平面ACDL平面ABC;2>過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值.1>畫］由題設(shè)可得，9BD^ACBD,從而AD=DC.又AACD是直角三角形，所以/ADC=90°.取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,則DO±AC,DO=AO.又由于AABC是正三角形，故BOXAC.所以/DOB為二面角D-AC-B的平面角.在RtAAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/DOB=90°.所以平面ACDL平面ABC.<2>附由題設(shè)與<1>知,OA,OB,OD兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.貝UA<1,0,0>,B<0,,0>,C<-1,0,0>,D<0,0,1>.由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)相E.故=<-1,0,1>,=<-2,0,0>,.設(shè)n=<x,y,z>是平面DAE的法向量，則可取n=.設(shè)m是平面AEC的法向量，則同理可取m=<0,-1,>.貝Ucos<n,m>=.所以二面角D-AE-C的余弦值為.20##全國(guó)I18>如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,/AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.1>證明：平面ABEFL平面EFDC;2>求二面角E-BC-A的余弦值.1>品明|由已知可得AF±DF,AF±FE,所以AF，平面EFDC.又AF?平面ABEF,故平面ABEF，平面EFDC.<2>嗣過D作DG^EF,垂足為G,由<1>知DGL平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.由<1>知/DFE為二面角D-AF-E的平面角，故/DFE=60°，則|DF|=2,|DG|二,可得A<1,4,0>,B<-3,4,0>,E<-3,0,0>,D<0,0,>.由已知,AB//EF,所以AB//平面EFDC.又平面ABCDn平面EFDC=CD,故AB//CD,CD//EF.由BE//AF,可彳導(dǎo)BE,平面EFDC,所以/CEF為二面角C-BE-F的平面角，/CEF=60°.從而可得C<-2,0,>.所以=<1,0,>,=<0,4,0>,=<-3,-4,>,=<-4,0,0>,設(shè)n=<x,y,z>是平面BCE的法向量，則所以可取n=<3,0,->.設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m=<0,,4>,貝Ucos<n,m>==-.故二面角E-BC-A的余弦值為-.新題演練提能刷高分1.<20##重慶二診〉如圖,在三棱柱ABC-AiBiCi中,AC=BC,CiCL平面ABC,側(cè)面ABBiAi是正方形，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在棱AiBi,AAi上，且AiM=AiBi,AN=AAi.<1>證明：平面CMNL平面CEN;<2>在Ag^BC,求二面角M-CN-Ai的余弦值.<1>明快AB=8,貝UAiM=3,AN=2,AiN=6,tanZNEA=,tan/MNAi=,ZNEA=/MNAi,又/NEA=-/ENA，所以/MNAi=-/ENA，所以MN，EN.因?yàn)锽C=AC,E為AB中點(diǎn)，所以CELAB.因?yàn)锳BC-AiBiCi為直三棱柱，所以CEL平面AAiBiB,所以MN^CE,因?yàn)镃EANE=N,所以MN,平面CEN,因?yàn)镸N?平面CMN,所以平面CMN,平面CEN.<2>嗣由AC^BC,以C為原點(diǎn)，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系M/,N<0,4,2>,設(shè)平面CMN的法向量為ni=<x,y,z>,解得ni=<9,-4>.平面CNAi的法向量n2=<i,0,0>,設(shè)所求二面角平面角為0,cos9=.2.<20####石家莊一模>四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形AB//CD,AB±BC,AB=2BC=2CD=2,ASAD為正三角形.<1>點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn)，若BC//平面SDM,="##數(shù)入的值；<2>若BCLSD,求二面角A-SB-C的余弦值.惻<1>因?yàn)锽C//平面SDM,BC?平面ABCD,平面SDM葉面ABCD=DM,所以BC//DM.因?yàn)锳B//DC,所以四邊形BCDM為平行四邊形，又AB=2CD,所以M為AB的中點(diǎn).因?yàn)?入…/=.<2>因?yàn)锽C±SD,BC±CD,SDnCD=D,所以BCL平面SCD,又因?yàn)锽C?平面ABCD,所以平面SCDL平面ABCD,平面SCDA平面ABCD=CD在平面SCD內(nèi)過點(diǎn)S作SEL直線CD于點(diǎn)巳貝USEL平面ABCD,在Rt^SEA和RtASED中，因?yàn)镾A=SD,所以AE==DE,又由題知/EDA=45°，所以AE^ED,所以AE=ED=SE=1,以下建系求解：以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)閤軸,EC方向?yàn)閥軸,ES方向?yàn)閦軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則E<0,0,0>,S<0,0,1>,A<1,0,0>,B<1,2,0>,C<0,2,0>,=<1,0,-1>,=<0,2,0>,=<0,2,-1>,=<1,0,0>,設(shè)平面SAB的法向量n1=<x,y,z>,則所以令x=1得％=<1,0,1>為平面SAB的一個(gè)法向量，同理得n2=<0,1,2>為平面SBC的一個(gè)法向量，cos<n1,n2>=,因?yàn)槎娼茿-SB-C為鈍角，所以二面角A-SB-C余弦值為-.3.<20##海南期末>如圖是一個(gè)半圓柱與多面體ABBiAiC構(gòu)成的幾何體，平面ABC與半圓柱的下底面共面，且AC，BC,P為弧上〈不與Ai,Bi重合〉的動(dòng)點(diǎn).<1>證明：PA1,平面PBBi;<2>若四邊形ABBiAi為正方形，且AC=BC,/PBiAi=，求二面角P-AiBi-C的余弦值.回<1>在半圓柱中，BB」平面PAiBi,所以BBi^PAi.因?yàn)锳iBi是上底面對(duì)應(yīng)圓的直徑，所以PAiLPBi.因?yàn)镻BiABBi=Bi,PBi?平面PBBi,BBi?平面PBBi,所以PA」平面PBBi.<2>以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA,CB為x,y軸，過點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.如圖所示，設(shè)CB=1,則B<1,0,0>,A<0,1,0>,Ai<0,1,>,Bi<1,0,>,P<1,1,>.所以=<0,1,>,=<1,0,>.平面PAiBi的一個(gè)法向量n1=<0,0,1>.設(shè)平面CAiBi的一個(gè)法向量n2=<x,y,z>,則令z=1,則所以可取n2=<-,-,1>,所以cos<n1,n2>=.由圖可知二面角P-AiBi-C為鈍角，所以所求二面角的余弦值為-.4.<20######一?！等鐖D，在四棱錐P-ABCD中,PAL底面ABCD,ABCD為直角梯形，AD//BC,AD±AB,AB=BC=AP=AD=3,ACABD=O,過O點(diǎn)作平面a平行于平面PAB,平面”與棱BC,AD,PD,PC分別相交于點(diǎn)E,F,G,H.<1>求GH的長(zhǎng)度；<2>求二面角B-FH-E的余弦值.惻<1>因?yàn)閍ll平面PAB,平面加平面ABCD=EF,0€EF,平面FABn平面ABCD=AB，所以EF//AB,同理EH//BP,FG//AP,因?yàn)锽C//AD,AD=6,BC=3,所以ABOCs^DOA,且，所以,CE=CB=1,BE=AF=2,同理，連接HO,則有HO//PA,所以HO，EO,HO=1,所以EH=PB=,同理,FG=PA=2,過點(diǎn)H作HN//EF交FG于N,則GH=.<2>建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B<3,0,0>,F<0,2,0>,E<3,2,0>,H<2,2,1>,==設(shè)平面BFH的法向量為n=<x,y,z>,令z=-2彳導(dǎo)n=,因?yàn)槠矫鍱FGH//平面PAB,所以平面EFGH的法向量m=<0,1,0>.cos<m,n>=,故二面角B-FH-E的余弦值為.5.<20####淄博二模，18>如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,/ACC尸/CC1B1,直線AC與直線BBi所成的角為60°.<1>求證:ABi±CCi;<2>若ABi=,M是ABi上的點(diǎn)，當(dāng)平面MCCi與平面ABiC所成二面角的余弦值為時(shí)，求的值.<1>叵|在三棱柱ABC-A1B1C1中，各側(cè)面均為平行四邊形，所以BBi//CC1,則/ACC1即為AC與BB1所成的角，所以/ACC=/CCiBi=60°.連接ACi和BiC,因?yàn)镃A=CB=CC1=2,所以9C1C和ABiCCi均為等邊三角形.取CCi的中點(diǎn)。，連AO和BiO,則AO±CCi,BiO±CCi,又AOABiO=O,所以CCd平面AOB1.AB1?平面AOB1,所以ABi±CCi,<2>留由<1>知AO=BQ=,因?yàn)锳Bi=,則AO2+BiO2=A,所以AOLBiO,又AOXCC1,所以AOL平面BCCiBi.以O(shè)B1所在直線為x軸,OCi所在直線為y軸QA所在直線為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A<0,0,>,C<0,-1,0>,Ci<0,1,0>,Bi<,0,0>,=<0,-1,->,=<,0,->,=<0,2,0>,設(shè)工,M<x,y,z>,則<x,y,z->=t<-x,-y,-z>,所以x=,y=0,z=,M,所以.設(shè)平面ACBi的法向量為ni=<xi,yi,zi>,平面MCCi的法向量為n2=<x2,y2,z2>,所以解得ni=<1,-,1>.解得n2=<1,0,-t>.所以cos㈱.解得1=或t=2,即=2..<20##湖北"荊、荊、襄、宜"四地七校聯(lián)考>如圖,在幾彳S]■體ABCDEF中，平面ADEL平面ABCD,四邊形ABCD為菱形，且/DAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF//AB,M為BC中點(diǎn).<1>求證：FM//平面BDE;<2>求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.<1>地明取CD中點(diǎn)N,連接MN,FN,因?yàn)镹,M分別為CD,BC中點(diǎn)，所以MN//BD.又BD?平面BDE,且MN?平面BDE,所以MN//平面BDE,因?yàn)镋F//AB,AB=2EF,所以EF//CD,EF=DN.所以四邊形EFND為平行四邊形.所以FN//ED.又ED?平面BDE且FN?平面BDE,所以FN//平面BDE,又FNAMN=N,所以平面MFN//平面BDE.又FM?平面MFN,所以FM//平面BDE.<2>剛?cè)D中點(diǎn)O,連接EO,BO.因?yàn)镋A=ED,所以EOXAD.因?yàn)槠矫鍭DEL平面ABCD,所以EOL平面ABCD,EO±BO.因?yàn)锳D=AB,/DAB=60°,所以那DB為等邊三角形.因?yàn)椤锳D中點(diǎn)，所以ADXBO.因?yàn)镋O,BO,AO兩兩垂直，設(shè)AB=4,以O(shè)為原點(diǎn)，OA,OB,OE為x,y,z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz由題意得A<2,0,0>,B<0,2,0>,C<-4,2,0>,D<-2,0,0>,E<0,0,2>,F<-1,,2>.=<2,2,0>,=<1,,2>,=<3,-,2>,=<4,0,0>.設(shè)平面BDF的法向量為n=<x,y,z>,則令x=1則y=-,z=0,所以n=1,-,0.設(shè)平面BCF的法向量為m=<x,y,z>,則令z=1,則y=2,x=0，所以m=<0,2,1>.cos<m,n>==-,：二面角D-BF-C平面角的正弦值為..<20####大連一模>在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PAL平面ABCD,E,F分別是線段AD,PB的中點(diǎn),PA=AB=1.<1>求證：EF//平面DCP;<2>求平面EFC與平面PDC所成銳二面角的余弦值.陰<1>〈方法一>取PC中點(diǎn)M,連接DM,MF.???M,F分別是PC,PB中點(diǎn),:MF//CB,MF=CB,E為DA中點(diǎn),ABCD為正方形，：DE//CB,DE=CB,：MF//DE,MF=DE,：四邊形DEFM為平行四邊形,..EF//DM,/EF?平面PDC,DM?平面PDC,EF//平面PDC.〈方法二>取PA中點(diǎn)N,連接NE,NF「「E是AD中點(diǎn)，N是PA中點(diǎn)，：NE//DP,又二下是PB中點(diǎn)，N是FA中點(diǎn)，：NE//AB,.AB//CD,..NF//CD,又「NEnNFuN,NE?平面NEF,NF?平面NEF,DP?平面PCD,CD?平面PCD,：平面NEF//平面PCD.又「EF?平面NEF,：EF//平面PCD.〈方法三>取BC中點(diǎn)G,連接EG,FG,在正方形ABCD中,E是AD中點(diǎn),G是BC中點(diǎn)，/.GE//CD,又「F是PB中點(diǎn),G是BC中點(diǎn)，：GF//PC,又PCACD=C,GE?平面GEF,GF?平面GEF,PC?平面PCD,CD?平面PCD,;平面GEF//平面PCD.?「EF?平面GEF,:EF//平面PCD.<2>./PA，平面ABC,且四邊形ABCD是正方形，：AD,AB,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn),AP,AB,AD所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則P<1,0,0>,D<0,0,1>,C<0,1,1>,E（0,oJ,』，0）.設(shè)平面EFC的法向量為ni=<xi,yi,zi>,即取ni=<3,-1,2>,則設(shè)平面PDC的法向量為n2=<x2,y2,z2>,=<-i,0,i>,=<-i,i,i>,則即取n2=<i,0,i>,cos<ni,n2>=.;平面EFC與平面PDC所成銳二面角的余弦值為.命題角度3折疊問題、點(diǎn)到平面的距離高考真題體驗(yàn)對(duì)方向.<20##全國(guó)fli9>如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于點(diǎn)H.將4DEF沿EF折到△D'EF的位置，OD'=.<i>證明:D'H，平面ABCD;<2>求二面角B-D'A-C的正弦值.<i>怔明|由已知得AC±BD,AD=CD.又由AE=CF得，故AC//EF.因此EF^HD,從而EFXD'H.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.由EF//AC得.所以0H=1,DH=DH=3.于是D'H2+0H2=32+12=10=D'O2,故D'H±0H.又D'H，EF,而OHAEF=H,所以DH，平面ABCD.<2>陶如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系H-xy乙則H<0,0,0>,A<-3,-1,0>,B<0,-5,0>,C<3,-1,0>,D'<0,0,3>,=<3,-4,0>,=<6,0,0>,=<3,1,3>.設(shè)m=<Xi,yi,zi>是平面ABD'的法向量，則所以可取m=<4,3,-5>.設(shè)n=<X2,y2,Z2>是平面ACD，的法向量,則所以可取n=<0,-3,1>.于是cos<m,n>==-.sin<m,n>=.因此二面角B-D'A-C的正弦值是..<20##陜西-18>如圖①，在直角梯形ABCD中,AD//BC.ZBAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)。是AC與BE的交點(diǎn)，將3BE沿BE折起到AAiBE的位置，如圖②.<1>證明:CD，平面AiOC;<2>若平面AiBE,平面BCDE,求平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值.<1>怔明性題圖①中，因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)，/BAD=，所以BEXAC,即在題圖②中,BE，OAi,BE，OC,從而BE,平面AiOC,又CD//B巳所以CD,平面AiOC.<2>剛由已知，平面ABEL平面BCDE,又由<1>知，平面ABEL平面BCDE,又由<1>知,BE，OAi,BE，OC,所以ZAiOC為二面角A1-BE-C的平面角,所以ZAiOC=.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳〔B=AiE=BC=ED=1,BC//ED,所以B,EA,C^=<-,0,0>.設(shè)平面A〔bC的法向量n仔<xi,yi,zi>,平面AiCD的法向量ri2=<X2,y2,Z2>,平面AiBC與平面AiCD夾角為9,則取ni=<i,i;i>；>n2=<0,1,1>,從而cos@=|cos<n1,n2>|=,即平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值為.新題演練提能刷高分?1.<20##河南4月適應(yīng)性考試>如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,/DAB=60°.點(diǎn)E,F分別在邊CD,CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C.D不重合，EF，AC,EFnAC=O.沿EF將4CEF翻折至I]APEF的位置，使平面PEFL平面ABFED.<1>求證：POL平面ABD;<2>當(dāng)PB與平面ABD所成的角為45°時(shí),求平面PBF與平面PAD所成銳二面角的余弦值.<>^j]<EFJ_AC,：PO，EF；.平面PEFL平面ABFED,平面PEF葉面ABFED=EF，且PO?平面PEF,：PO,平面ABD.<2>陋M圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,連接BO,.-POL平面ABD,:/PBO為PB與平面ABD所成白^角，即/PBO=45°,:PO=BO.設(shè)AOABD=H,,.?/DAB=60°,:ABDA為等邊三角形，..BD=2,HB=,HC=3.設(shè)PO=x，則OH=3-x,由PO2=OH2+HB2,得x=2，即PO=2,OH=1.：P<0,0,2>,A<4,0,0>,B<1,,0>,D<1,-,0>,F（0,,0）.設(shè)平面PAD,平面PBF的法向量分別為m=<a,b,c>,n=<x,y,z>,由取a=1,得m=<1,-,2>.同理，得n=<-1,,1>,：cos<m,n>==-,;平面PBF與平面PAD所成銳二面角的余弦值為.2.<20##廣東揭陽學(xué)業(yè)水平考試>如圖所示，平面多邊形ABCDE中AE=ED,AB=BD,且AB=,AD=2,AE=,CD=1,AD，CD,現(xiàn)沿直線AD,將"DE折起，得到四棱錐P-ABCD.<1>求證:PB±AD;<2>若PB=，求PD與平面PAB所成角的正弦值.<1>怔明|取AD的中點(diǎn)O,連接OB,OP「「BA=BD,EA=ED，即PA=PD,--OB±AD且OPLAD,又OBAOP=O,.AD,平面BOP,而PB?平面BOP,/.PBXAD.<2>網(wǎng):OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,?.POXOB,：OP,OB,OD兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OD,OP所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A<0,-1,0>,B<2,0,0>,D<0,1,0>,P<0,0,1>,=<0,-1,1>,=<0,1,1>,=<-2,0,1>,設(shè)m=<a,b,c>為平面PAB的一個(gè)法向量，則由令a=1,則得c=2,b=-2,：m=<1,-2,2>,設(shè)PD與平面PAB所成角為Q則sin0=，即PD與平面PAB所成角的正弦值為.3.<20##東北三省三校三模>已知等腰直角△S'AB,S'A=AB=4,S'A，AB,C,D分別為S'B,S'A的中點(diǎn),將ASCD沿CD折到4SCD的位置，SA=2,取線段SB的中點(diǎn)為E.<1>求證：CE//平面SAD;<2>求二面角A-EC-B的余弦值.<1>畫］取SA中點(diǎn)F,連接DF,EF,.SE=EB,SF=FA,,EFAB.又.CDAB,..CDEF,：四邊形CDFE為平行四邊形，：CE//FD,.CE?平面SAD,FD?平面SAD,..CE//平面SAD.<2>園:SD=AD=2,SA=2,St^+AD2=SA2.-.SD±AD.?.SDXCD.SD?WSOD,：SDL平面ABCD,?AD,CD?平面ABCD,/.SD±AD.SDXCD,又「AD，DC,：DA,DC,DS兩兩互相垂直,如圖所示，分別以DA,DC,DS為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A<2,0,0>,C<0,2,0>,S<0,0,2>,B<2,4,0>,E<1,2,1>,=<1,0,1>=<2,-2,0>=<2,2,0>,設(shè)平面ECA,平面ECB的法向量分別為m=<x1,yi,zi>,n=<X2,y2,Z2>,則取m=<1,1,-1>,取n=<1,-1,-1>.cos<m,n>=,」?二面角A-EC-B的平面角的余弦值為4.<20####濟(jì)南一?！等鐖D1,在高為6的等腰梯形ABCD中AB//CD,且CD=6,AB=12,將它沿對(duì)稱軸。。1折起,使平面ADOQ，平面BCOQ.如圖2,點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB±<不同于A.B兩點(diǎn)>，連接0E并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q,使AQII0B.<1>證明：0口，平面PAQ;<2>若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.<1>怔明|由題設(shè)知OAQBQOi兩兩垂直，所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)QAQBQO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長(zhǎng)度為m,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為0<0,0,0>,A<6,0,0>,B<0,6,0>,C<0,3,6>,D<3,0,6>,Q<6,m,0>.??點(diǎn)P為BC中點(diǎn),P（O?3\--=<3,0,6>,=<0,m,0>,=^6,m--3^...?=0,=0,，,且不共線,：ODL平面FAQ.<2>同:BE=2AE,AQ//OB,：AQ=OB=3,則Q<6,3,0>,二.=<-6,3,0>,=<0,-3,6^.設(shè)平面CBQ的法向量為ni=<x,y,z>,,?令z=1,則y=2,x=1,故rii=<1,2,1>,又顯然，平面ABQ的法向量為r）2=<0Q1>,設(shè)二面角C-BQ-A的平面角為Q由圖可知，。為銳角，則cos9=.5.<20####安慶二模>如圖，四邊形ABCD是矩形，沿對(duì)角線AC將9CD折起,使得點(diǎn)D在平面ABC上的射影恰好落在邊AB上.<1>求證:平面ACDL平面BCD;<2>當(dāng)=2時(shí)，求二面角D-AC-B的余弦值.<1>畫］設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的射影為點(diǎn)E,連接DE,則DEL平面ABC,所以DEXBC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ABLBC.因?yàn)锳BADE=E，所以BCL平面ABD,所以BC,AD.又ADLCD,CDABC=C,所以AD±平面BCD，而AD?平面ACD,所以平面ACDL平面BCD.<2>郵以點(diǎn)B為原點(diǎn)，線段BC所在的直線為x軸，線段AB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)|AD|二a，則|AB|=2a,所以A<0,-2a,0>,C<-a,0,0>.由<1>知ADLBD,又=2,所以ZDBA=30,ZDAB=60,那么|AE|=|AD|cosZDAB=a,|BE|=|AB|-|AE|=a,|DE|=|AD|sinZDAB=a,所以D（0,-a,a）,所以=\0,a,a■,=<-a,2a,0>.設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為m=<x,y,z>,則取y=1,取y=1,則x=2,z=-,所以m=（1,2-因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量為n=<0,0,1>,所以cos<m,n>==-.故所求二面角D-AC-B的余弦值為-命-命題角度4探究性問題高考真題體驗(yàn)對(duì)方向<20##17>如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,融±PD,PA=PD,AB±AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.<1>求證：PDL平面PAB;<2>求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；<3>在棱融上是否存在點(diǎn)M,使得BM//平面PCD?若存在，求的值；若不存在，說明理由.<1>怔明|因?yàn)槠矫鍼AD，平面ABCD.ABXAD,所以ABL平面PAD.所以ABXPD.又因?yàn)镻ALPD,所以PDL平面PAB.<2>初取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以POXAD.又因?yàn)镻O?平面PAD,平面FAD，平面ABCD,所以POL平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD,所以POXCO.因?yàn)锳C=CD，所以CO±AD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得,A<0,1,0>,B<1,1,0>,C<2,0,0>,D<0,-1,0>,P<0,0,1>.設(shè)平面PCD的法向量為n=<x,y,z>,則令z=2,貝Ux=1,y=-2.所以n=<1,-2,2>.又=<1,1,-1>,所以cos<n,>==-.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.<3>嗣設(shè)M是棱融上一點(diǎn)，則存在入C[0,1]使得=入因此點(diǎn)=因?yàn)锽M?平面PCD,所以BM//平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)n=0,即<-1,-入Q<1,-2,2>=0.解得心.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM//平面PCD,此時(shí).新題演練提能刷高分I1.<20####青島二模>如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱BB」底面ABC,BBi=4,AB1BC,且AB=BC=3,點(diǎn)M,N為棱AB.BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=BN,D為BiCi的中點(diǎn).<1>當(dāng)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否出現(xiàn)AD//平面BiMN的情況，請(qǐng)說明理由.<2>若BN=，求直線AD與平面BiMN所成角的正弦值.阿<1>當(dāng)M,N為各棱中點(diǎn)時(shí)，AD//平面BiMN.證明如下：連接CD,?CNIIB1D且CN=BiD=BC,：四邊形BiDCN為平行四邊形，.二DC//B1N.又DC?平面BiMN,B〔N?平面BiMN,■-DC//平面BiMN.「M,N為各棱中點(diǎn)，:AC//MN,又AC?平面BiMN,MN?平面BiMN,「?AC//平面BiMN.???DCnAC=C,?.?平面ADCII平面BiMN,又「AD?平面ADC,/.AD//WBiMN.<2>如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為O,作OELOA,以O(shè)AQEQB分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，,.BN=,AB=BC=3,.,.AC=6.,.,M<2,0,1>,N<-1,0,2>,A<3,0,0>,Bk0,-4,3>,D,/.=<-3,0,1>,=<2,4,-2>.設(shè)平面BiMN的法向量為n=<x,y,z>,則有n±,n1,:可得平面BiMN的一個(gè)法向量n=<1,1,3>,又，cos<n>==-.設(shè)直線AD與平面BiMN所成角為w貝1sinof|cos<n>|=.2.<20##湖北宜昌調(diào)研〉如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面融D，平面ABCD.AD//BC,AB=BC=PA=1,AD=2,ZFAD=ZDAB=ZABC=90，點(diǎn)E在棱PC上，且CE=TCP.<1>求證:CD±AE;<2>是否存在實(shí)數(shù)入使得二面角C-AE-D的余弦值為漕存在，求出實(shí)數(shù)入的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.<1>品明I過點(diǎn)C作CF//AB交AD于點(diǎn)F,.AB=BC=1,AD=2,ZDAB=ZABC=90,四邊形ABCF為正方形，且AF=FD=1,AC=.在RtACFD中,CD=，在4ACD中，CD2+AC2=4=AD2,：cd±AC.,.ZR^D=90PAXAD.又平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD，:PAL平面ABCD,/.RMCD..R\,AC?平面PAC,且融AAC=A,「.CD，平面PAC./.CDXAE.<2>副「/￥D=90',/.PA±AD.又平面PA"平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD，:PAL平面ABCD.R^±CD,FA±AB,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，A<0,0,0>,P<0,0,1>,C<1,1,0>,D<0,2,0>,=<-1,1,0>,=<0,2,0>,假設(shè)存在實(shí)數(shù)人使得二面角C-AE-D的余弦值為，令二入.「點(diǎn)E在棱PC上,；衣[0,1].設(shè)E<x,y,z>,='<x-1,y-1,z>=K-1,-1,1>,??E<1-41-14,則=<1-11-入,「CD,平面PAC,：平面AEC的一個(gè)法向量為n==<-1,1,0>,設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為m=<xi,yi,zi>,由得令z=1彳導(dǎo)m=(,0,1'=<-7,0,1-Q,取m=<-10,1-4,：|cos<m,n>|=化簡(jiǎn)得3%-8H4=0.又入C[0,1],：.??存在實(shí)數(shù)F使得二面角C-AE-D的余弦值為.3.<20##四川##三診〉如圖，四邊形