彈性力學(xué)的變分解法

1、關(guān)于彈性力學(xué)的變分解法第1頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三泛函的定義及舉例函數(shù)：對于變量x的某一變域中的每一個值，y都有唯一一個值與之相對應(yīng)，那么變量y稱作變量x的函數(shù)。記為： y=f (x)x稱為函數(shù)的自變量。泛函：對于某一類函數(shù)y()中的每一個函數(shù)y(x)，變量J都有一個值與之相對應(yīng)，那么變量J稱作依賴于函數(shù)y(x)的泛函。記為： J=J y(x)y(x)稱為泛函的宗量。第2頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三例子 第3頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第4頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第5

2、頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第6頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第7頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第8頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三泛函的極值泛函極值定理： 若可微泛函Jy(x)在y0(x)上達到極值，則在y= y0(x)上的變分為零。即第9頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三14.1 彈性體的虛功原理第10頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第11頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第12頁，共76頁，2022年，5

3、月20日，18點10分，星期三靜力可能的應(yīng)力與幾何可能的位移第13頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第14頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三高斯公式第15頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第16頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三14.2 貝蒂互換定理第17頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第18頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第19頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第20頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期

4、三14.3 位移變分方程 最小勢能原理第21頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第22頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第23頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第24頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第25頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第26頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第27頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第28頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第29頁，共76頁，2022年，5月20日，18點

5、10分，星期三14.4 最小勢能原理推導(dǎo)以位移表示的平衡微分方程及邊界條件第30頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第31頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第32頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第33頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第34頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第35頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第36頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三 一、里茲（Ritz）法基本思想：設(shè)定位移函數(shù)的表達形式，使其滿足位移邊界條件

6、，其中含有若干待定常數(shù)，然后利用最小勢能原理(位移變分方程)確定這些常數(shù)，即得位移解。設(shè)選取的位移表達式如下：（a）其中：為互不相關(guān)的 3m 個系數(shù)；為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：為邊界上取零值的設(shè)定函數(shù) 顯然，上述函數(shù)滿足位移邊界條件。此時，位移的變分由系數(shù) Am、Bm、 Cm的變分來實現(xiàn)。與變分無關(guān)。14.5 基于最小勢能原理的近似計算方法第37頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三（b）位移的變分：形變勢能的變分：由應(yīng)變能計算式可知：（c）根據(jù)最小原理，有：第38頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三將上式整理、移項、合并，可得：完全任意，且互相獨立

7、，要使上式成立，則須有：第39頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三 Ritz 法方程或稱 Rayleigh- Ritz 法方程說明：（1）由 U 的表達式（4-20）可知，U 是系數(shù)的二次函數(shù)，因而，上式為各系數(shù)的線性方程 組。互不相關(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。（2）求出了系數(shù)就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等（3）在假定位移函數(shù)時，須保證其滿足全部位移邊界條件。第40頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第41頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第42頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第43頁，共76頁，

8、2022年，5月20日，18點10分，星期三第44頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第45頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第46頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三基本思想構(gòu)造位移試函數(shù)滿足位移(面力)邊界條件RayleighRitz(瑞利里茲)法(伽遼金)法 通過能量變分，偏微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組。位移邊界條件位移與面力邊界條件第47頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三解：用瑞利里茲法位移試函數(shù) 例1： 兩端簡支的等截面梁，受均勻分布載荷q作用如圖所示,不計體力。試求解梁的撓度w(x)

9、 滿足梁的位移邊界條件：在x=0，l處，w=0 簡支梁的形變勢能為： 第48頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三積分后可得:外力勢能為:當(dāng)m為奇數(shù)時。第49頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三有：所以回代 第50頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三撓曲線表達式是無窮級數(shù)精確解這個級數(shù)收斂很快，只要取少數(shù)幾項就可以得到足夠的精度。如果取一項 這一結(jié)果與精確值十分接近 。第51頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三例2:如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 PABlxy解:（1）假設(shè)位移試探

10、函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項）：式中：a 為待定常數(shù)。（2）計算形變勢能 U：（ a）（ b）顯然，式（a）滿足端點的位移邊界條件:（3）代入Ritz 法方程，求解（ c）（ d）第52頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三PABlxy討論：（1）中點的撓度：（ e）而材料力學(xué)的結(jié)果：兩者比較：式（a）的結(jié)果偏小1.46%。如果取如下位移函數(shù)：式中項數(shù) m 取得越多，則求得精度就越高。（2）所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：第53頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三PABlxy例3:如圖所示簡

11、支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 解:（1）假設(shè)位移試探函數(shù)式中：A1、A2 為待定常數(shù)。顯然，式（a）滿足端點的位移邊界條件:（2）計算：梁的形變勢能:（3）代入 Ritz 法方程:第54頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三PABlxy例3:如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。 解:位移函數(shù)（a）（3）代入 Ritz 法方程:所求撓曲線方程 :第55頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三PABlxy所求撓曲線方程:中點撓度:而材料力學(xué)的結(jié)果：第56頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三解：位移

12、試函數(shù) 例4：矩形薄板，四邊固定，受平行于板面的體力作用。設(shè)坐標(biāo)軸如圖所示，試用RayleighRitz法求解。 m和n為正整數(shù)在邊界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以試函數(shù)滿足位移邊界條件。 第57頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三平面應(yīng)力問題 因此 第58頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三將位移試函數(shù)代入求導(dǎo)數(shù)后再積分 因此 如果體力已知，積分可求待定系數(shù)Amn和Bmn第59頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三例5：圖示薄板，寬為 a，高度為 b，左邊和下邊受連桿支承，右邊和上邊分別受有均布壓力 q1和 q2

13、作用，不計體力。試求薄板的位移。解：（1）假設(shè)位移函數(shù)（a）滿足邊界條件：在式（a）中u,v 各取一項 ，即（b）（2）計算形變勢能 U將式（b）代入平面應(yīng)力情形下形變勢能公式，有積分得：（c）第60頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三（c）（3）代入Ritz 法方程求解體力有在右邊界：在上邊界：于是有：將式（c）代入，得（11-15）第61頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三聯(lián)立求解，得：（f）代入位移表達式（b），得：（g）討論：（1）如果在位移式（a）中再多取一些系數(shù)如：A2、B2等，但是經(jīng)計算，這些系數(shù)全為零。（2）位移解（g）滿足幾何方程、

14、平衡方程和邊界條件。表明：位移解（g）為問題的精確解。第62頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三Ritz 法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件；（2） 計算形變勢能 U ；（3）代入Ritz 法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。第63頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三例6:圖示矩形薄板，寬為2 a，高度為2 b，左右兩邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：（a）不計體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。解:（1）假設(shè)位移函數(shù)只取一項，即 m =1, 將位移分量設(shè)為：（b）顯然，可滿足位移邊界條件：第64頁，共76頁，2022年，5月2

15、0日，18點10分，星期三（2）代入Galerkin 法方程求解該問題中無應(yīng)力邊界條件，式（b）滿足全部條件?？捎觅み|金（Galerkin）法求解。X = Y = 0，m = 1，伽遼金法方程變?yōu)椋海╟）第65頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三 將其代入伽遼金方程（c）, 可求得：第66頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三代回位移表達式（b）, 得位移解答：當(dāng) b = a，取 = 0.2時，上述解答成為：第67頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三（3）求應(yīng)力分量應(yīng)用幾何方程及物理方程，可求得應(yīng)力為：第68頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三第69頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三由虛功原理：應(yīng)力變分方程（虛應(yīng)力方程）第70頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三由廣義虛功原理：第71頁，共76頁，2022年，5月20日，18點10分，星期三表明在已知位移的邊