《自動控制原理》第七章-離散控制系統(tǒng)

1、自動控制原理第七章-離散控制系統(tǒng)自動控制原理第七章-離散控制系統(tǒng)教學(xué)重點了解線性離散系統(tǒng)的基本概念和基本定理，把握線性連續(xù)系統(tǒng)與線性離散系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系；熟練掌握Z變換的方法、Z變換的性質(zhì)和Z反變換；了解差分方程的定義，掌握差分方程的解法；了解脈沖傳遞函數(shù)的定義，熟練掌握開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的計算方法；與線性連續(xù)系統(tǒng)相對應(yīng)，掌握線性離散系統(tǒng)的時域和頻域分析方法和原則。2022/9/212教學(xué)重點了解線性離散系統(tǒng)的基本概念和基本定理，把握線性連續(xù)教學(xué)難點 離散時間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式及采樣定理，線性常系數(shù)差分方程與脈沖傳遞函數(shù)，采樣控制系統(tǒng)的時域分析，采樣控制系統(tǒng)的頻域分析。2022/9/21

2、3教學(xué)難點2022/9/215概述：近年來，隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字式元器件、數(shù)字計算機，特別是微處理器的迅速發(fā)展，數(shù)字控制器在許多場合取代了模擬控制器，比如微型數(shù)字計算機在控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。離散系統(tǒng)理論的發(fā)展是非常迅速的。 因此，深入研究離散系統(tǒng)理論，掌握分析與綜合數(shù)字控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論與基本方法，從控制工程特別是從計算機控制工程角度來看，是迫切需要的。 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì)上的不同，又有分析研究方法的相似性。利用z變換法研究離散系統(tǒng)，可以把連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推廣應(yīng)用于離散系統(tǒng)。 本章內(nèi)容：主要介紹線性離散系統(tǒng)的分析方法。 首先給出信號采樣和保持的數(shù)學(xué)描述。 然后介

3、紹z變換理論與性質(zhì)以及脈沖傳遞函數(shù)。 接著研究線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差、動態(tài)性能的分析方法，并介紹最少拍系統(tǒng)的設(shè)計方法。 最后介紹如何利用MATLAB進行線性離散系統(tǒng)的分析。 2022/9/214概述：近年來，隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字式元器件、數(shù)字計算機，特別是7.1 離散控制系統(tǒng)的基本概念1.連續(xù)系統(tǒng)：如果控制系統(tǒng)中的所有信號都是時間變量的連續(xù)函數(shù)，也就 是說，這些信號在全部時間上都是已知的，則這樣的系統(tǒng)稱為 連續(xù)時間系統(tǒng)，簡稱連續(xù)系統(tǒng)。 2.離散系統(tǒng)：如果控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號是脈沖序列或數(shù)碼，則這樣 的系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)，簡稱離散系統(tǒng)。 采樣控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形式的

4、離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。 包括 數(shù)字控制系統(tǒng)：把數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)。 注：在理想采樣及忽略量化誤差情況下，數(shù)字控制系統(tǒng)近似于采樣控制 系統(tǒng)，將它們統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。 這使得采樣控制系統(tǒng)與數(shù)字控制系統(tǒng)的分析與校正在理論上統(tǒng)一。2022/9/2157.1 離散控制系統(tǒng)的基本概念1.連續(xù)系統(tǒng)：如果控制系統(tǒng)中的7.1.1 采樣控制系統(tǒng)一般來說，采樣控制系統(tǒng)是對傳感器所采集的連續(xù)信號在某些規(guī)定的時間上取值，然后通過對這些值的比較、計算和輸出，來達到控制目標的系統(tǒng)。 采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)構(gòu)成：主要由采樣器、數(shù)字控制器、保持器、執(zhí)行器、 被控對象和測量變送器

5、構(gòu)成，如圖7-1所示。圖7-1 采樣控制系統(tǒng)方框圖2022/9/2167.1.1 采樣控制系統(tǒng)一般來說，采樣控制系統(tǒng)是對傳感器所采1.信號采樣在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號轉(zhuǎn)化為脈沖序列的過程稱為采樣。如圖7-2所示。 圖7-2 采樣過程采樣周期采樣角頻率 采樣頻率2.信號復(fù)現(xiàn)在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為信號復(fù)現(xiàn)。實現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。 最簡單的保持器是零階保持器，它將脈沖序列復(fù)現(xiàn)為階梯信號 如圖7-3所示。2022/9/2171.信號采樣在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號轉(zhuǎn)化為脈沖序列的過程圖7-3 信號復(fù)現(xiàn)過程7.1.2 數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計算機為

6、控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。 其原理方框圖如圖7-4所示。 圖7-4 數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖2022/9/218圖7-3 信號復(fù)現(xiàn)過程7.1.2 數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)是過程分析：A/D轉(zhuǎn)換器將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字序列，經(jīng)數(shù)字控制器處理后生 成離散控制信號，再通過D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成連續(xù)控制信號作用于 被控對象。 1.A/D轉(zhuǎn)換器A/D轉(zhuǎn)換器是把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為離散數(shù)字信號的裝置。A/D轉(zhuǎn)換包括采樣過程和量化過程。 采樣過程 是每隔秒對連續(xù)信號進行一次采樣，得到采樣信號 。量化過程 是計算機中任何數(shù)值都用二進制表示，因此，幅值上連續(xù)的離散信號 信號，此過程稱為量化過程。

7、 須經(jīng)過編碼表示成最小二進制數(shù)的整數(shù)倍，成為離散數(shù)字2022/9/219過程分析：A/D轉(zhuǎn)換器將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字序列，經(jīng)數(shù)字控制器2.D/A轉(zhuǎn)換器D/A轉(zhuǎn)換器是把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬信號的裝置。包括解碼過程和復(fù)現(xiàn)過程。解碼過程就是把離散數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號。復(fù)現(xiàn)過程就是通過保持器，將離散模擬信號復(fù)現(xiàn)為連續(xù)模擬信號。2022/9/21102.D/A轉(zhuǎn)換器D/A轉(zhuǎn)換器是把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬7.2 信號的采樣與保持7.2.1 采樣過程及其數(shù)學(xué)描述由圖7-2可寫出脈沖序列 的表達式為式（7-2）也可寫作 因此，采樣過程從物理意義上可以看作是脈沖調(diào)制過程。此時，采樣開關(guān)相當(dāng)于

8、理想單位脈沖發(fā)生器的作用，通過它將連續(xù)信號 調(diào)制成脈沖序列。2022/9/21117.2 信號的采樣與保持7.2.1 采樣過程及其數(shù)學(xué)描述由圖從頻率特性的角度看： 假設(shè)連續(xù)信號的頻率特性為，該信號的頻譜如圖7-5所示。圖7-5 連續(xù)信號頻譜離散信號的拉氏變換為的傅立葉變換為 即 2022/9/2112從頻率特性的角度看： 假設(shè)連續(xù)信號的頻率特性為，該信號的頻譜如圖7-6所示圖7-6 采樣信號頻譜（時）圖7-7 采樣信號頻譜（時）2022/9/2113如圖7-6所示圖7-6 采樣信號頻譜（時）圖7-7 采樣信號7.2.2 采樣定理香農(nóng)采樣定理： 如果被采樣的連續(xù)信號的頻譜具有有限帶寬，且頻譜的最

9、高角頻率為，則只要采樣角頻率滿足： 或采樣頻率滿足：則通過理想濾波器，由采樣得到的離散信號能夠可以不失真地恢復(fù)為原連續(xù)信號。采樣定理給出了采樣頻率下限的選取規(guī)則，對于采樣頻率的上限，要依據(jù)易實現(xiàn)性和抗干擾性來統(tǒng)一確定。2022/9/21147.2.2 采樣定理香農(nóng)采樣定理： 如果被采樣的連續(xù)信號的頻7.2.3 信號恢復(fù)1.零階保持器零階保持器是工程實踐上最常用的一種保持器，它把采樣時刻的采樣值恒定不變地保持到下一個采樣時刻 。 如圖7-8所示。圖7-8 零階保持器的輸出波形保持器的輸出與連續(xù)輸入信號之間的關(guān)系為2022/9/21157.2.3 信號恢復(fù)1.零階保持器零階保持器是工程實踐上最常對

10、于零階保持器，在任意時刻輸入單位脈沖信號,其單位脈沖響應(yīng)為一個幅值為1的矩形方波。如圖7-9所示。圖7-9 零階保持器的時域特性零階保持器的頻率特性為2022/9/2116對于零階保持器，在任意時刻輸入單位脈沖信號,其單位脈沖響應(yīng)為繪制幅頻特性和相頻特性曲線，如圖7-10所示。圖7-10 零階保持器的幅頻特性與相頻特性2.一階保持器其外推關(guān)系式為一階保持器的輸出波形如圖7-11所示。2022/9/2117繪制幅頻特性和相頻特性曲線，如圖7-10所示。圖7-10 零圖7-11 一階保持器的輸出波形一階保持器的脈沖響應(yīng)如圖7-12所示。圖7-12 一階保持器的脈沖響應(yīng)2022/9/2118圖7-1

11、1 一階保持器的輸出波形一階保持器的脈沖響應(yīng)如圖7- 一階保持器的幅頻特性和相頻特性曲線，如圖7-13所示。圖7-13 一階保持器的幅頻特性與相頻特性2022/9/2119 一階保持器的幅頻特性和相頻特性曲線，如圖7-13所示。7.3 z變換理論Z變換是從拉氏變換引申出來的一種變換方法，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具，因此又稱為離散拉氏變換。 7.3.1 z變換的定義連續(xù)時間函數(shù)經(jīng)采樣周期為的采樣開關(guān)后，得到采樣信號 ，即進行拉氏變換可得，引入一個新變量 ，即得到以為變量的函數(shù)，即式中，稱為離散信號的z變換，記為2022/9/21207.3 z變換理論Z變換是從拉氏變換引申出來的一種變換方法

12、，7.3.2 z變換的方法常用的求取離散函數(shù)的z變換方法有級數(shù)求和法、部分分式法和留數(shù)計算法。1.級數(shù)求和法根據(jù)z變換的定義，將連續(xù)信號按周期進行采樣， 級數(shù)展開可得 例7-1 試求單位階躍函數(shù)的z變換。解：因為單位階躍函數(shù)在所有采樣時刻上的采樣值均為1，即則為一理想單位脈沖序列，因此上式為一個等比級數(shù)，若滿足，則級數(shù)收斂，可寫成如下閉合形式：2022/9/21217.3.2 z變換的方法常用的求取離散函數(shù)的z變換方法有級數(shù)例7-2 試求衰減指數(shù)函數(shù)的z變換。解：將在各采樣時刻上的采樣值代入展開式，得若，即，則可寫成閉合形式：例7-3 試求函數(shù)的z變換。解： 將在各采樣時刻上的采樣值代入展開式

13、，得若，則可寫成閉合形式：2022/9/2122例7-2 試求衰減指數(shù)函數(shù)的z變換。解：將在各采樣時刻上的采2.部分分式法將連續(xù)時間函數(shù)的拉氏變換 展開成部分分式之和的形式，即由拉氏反變換可得原時間函數(shù)：直接對上式進行z變換，得例7-4 已知連續(xù)時間函數(shù)的拉氏變換為，試求其z變換。解：首先將展開成部分分式的形式：然后對上式逐項求取拉氏反變換，得2022/9/21232.部分分式法將連續(xù)時間函數(shù)的拉氏變換 展開成部分分式之和的根據(jù)求得的時間函數(shù)再逐項寫出相應(yīng)的z變換，得例7-5 利用部分分式法求取正弦函數(shù) 的z變換。解：已知正弦函數(shù) 的拉氏變換為 ，將其分解成部分分式之和的 形式，得 利用拉氏反

14、變換求出 的原時間函數(shù)為 ，利用已知的指數(shù)函 數(shù)z變換公式可求得相應(yīng)的z變換，即2022/9/2124根據(jù)求得的時間函數(shù)再逐項寫出相應(yīng)的z變換，得例7-5 利用部3.留數(shù)計算法若已知連續(xù)時間函數(shù) 的拉氏變換 及其全部極點，則 的z變換 可通過留數(shù)計算求得。 由拉氏反變換可得 采樣后，其采樣值為而 的z變換為 最后得 若滿足 ，則上式可寫為 由此可通過拉氏變換直接求相應(yīng)的z變換函數(shù)。應(yīng)用留數(shù)定理計算上式中的積 分，可得2022/9/21253.留數(shù)計算法2022/9/2127（1）若 為 的單極點，則（2）若 為 的 重極點，則例7-6 試用留數(shù)法求取拉氏變換為 的連續(xù)時間函數(shù)e(t)的z變換。

15、 解：由題意可知， 的極點均為單極點，即 ， ?？捎?算 ，即， 2022/9/2126（1）若 為 的單極點，則， 2022/9/例7-7 已知 ，求 的z變換。解：根據(jù)題意可知， ，其極點為重極點，即 ， 。 可計算 ，即 常用函數(shù)的z變換及相應(yīng)的拉氏變換見表7-1。11表7-1 z變換表2022/9/2127例7-7 已知 ，求 的7.3.3 z變換的性質(zhì)1、線性定理 設(shè)連續(xù)函數(shù) 、 的z變換分別為 、 ， 為常數(shù)，則有 2、時移定理 若函數(shù) 的z變換為 ，則有3、初值定理 若函數(shù) 的z變換為 ，且 時， ，則有2022/9/21287.3.3 z變換的性質(zhì)2022/9/21304、終值

16、定理 若函數(shù) 的z變換為 ，且 不含有 的二重以上的極點，以及 的 極點均位于z平面的單位圓內(nèi)，則有7.3.4 z反變換 已知z變換表達式 ，求相應(yīng)離散序列 的過程，稱為z反變換，記為當(dāng) 時， ，信號序列是單邊的，對單邊序列常用的z反變換法有部分分式法、冪級數(shù)法和反演積分法。1.部分分式法 部分分式法又稱查表法，根據(jù)已知的 ，通過查z變換表找出相應(yīng)的 或 。 2022/9/21294、終值定理2022/9/2131例7-8 已知 ，試用部分分式法求z反變換。解：首先展開成如下部分分式形式： 由此可得 由表7-1查得 因此2.冪級數(shù)法（長除法） Z變換函數(shù)可以直接通過長除法得到一個無窮項冪級數(shù)的

17、展開式。根據(jù)的系 數(shù)便可以得出時間序列的值。2022/9/2130例7-8 已知 例7-9 設(shè) ，試用冪級數(shù)法求 。 解：根據(jù)題意可得 利用長除法，得 由此可得3.反演積分法 反演積分法又稱留數(shù)法。 的冪級數(shù)展開形式為： 則有反演積分公式 式中， 表示函數(shù) 在極點 處的留數(shù)。留數(shù)計算方法如下： 若 為單極點，則 若 為m階重極點，則 2022/9/2131例7-9 設(shè) 例7-10 設(shè) ，試用反演積分法求 。 解：根據(jù)前式，可得例7-11 設(shè) ，試用反演積分法求z反變換。解：根據(jù)題意可知，該函數(shù)有一個單極點， ；有一個二重極點， ，得2022/9/2132例7-10 設(shè) ，因此 相應(yīng)的采樣信號為

18、總結(jié)：上述三種方法中，冪級數(shù)法最簡單，但得到的z反變換是開式的，因此難以應(yīng)用。而部分分式法和反演積分法得到的z反變換均為閉合形式。7.4離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7.4.1 線性常系數(shù)差分方程 對于線性定常離散控制系統(tǒng)，一般可用n階后向差分方程描述，即 同理，線性定常離散系統(tǒng)也可用n階前向差分方程描述，即2022/9/2133因此 2022/9/2135工程上對于線性定常系數(shù)差分方程的求解方法通常有迭代法和z變換法。1、迭代法 若已知差分方程，并且給定輸出序列的初值，則可利用遞推關(guān)系，通過計算 機迭代計算出輸出序列。例7-12 已知二階后向差分方程 ,其中，輸入序 列 ，初始條件為 。試用迭代法求

19、解輸出序列 。 解：根據(jù)初始條件和遞推關(guān)系，得 2022/9/2134工程上對于線性定常系數(shù)差分方程的求解方法通常有迭代法和z變換2、z變換法 用z變換法求解線性定常系數(shù)差分方程與用拉氏變換法求解微分方程相類似。其實質(zhì)是將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過代數(shù)運算及查表的方法來求出輸出序列 。 z變換法求解差分方程的一般步驟如下： (1) 利用z變換的實數(shù)位移定理對差分方程兩端取z變換，并代入相應(yīng)的初始 條件，得到以z為變量的代數(shù)方程； (2) 求出代數(shù)方程的解 ； (3) 取z反變換，從而求得輸出序列 。例7-13 試用z變換法求解下列二階前向差分方程 其中，初始條件為 。 解：對方程兩端取z變換

20、，得 即 代入初始條件，得 即 2022/9/21352、z變換法2022/9/2137利用反演積分法求出z反變換，得7.4.2 脈沖傳遞函數(shù) 1.脈沖傳遞函數(shù)定義 在線性定常離散控制系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時，系統(tǒng)離散輸出信號的z變換與離散輸入信號的z變換之比，稱為線性定常離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-14所示。根據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義得： 圖7-14 開環(huán)采樣系統(tǒng)2022/9/2136利用反演積分法求出z反變換，得圖7-14 開環(huán)采樣系統(tǒng)202輸出是連續(xù)信號的情況，如圖7-15所示?？梢栽谙到y(tǒng)輸出端虛設(shè)一個開關(guān)，如圖7-15中虛線所示。2、脈沖傳遞函數(shù)的性質(zhì)（1

21、）脈沖傳遞函數(shù)是復(fù)變量z的復(fù)函數(shù)（一般是有理分式）。（2）脈沖傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)。（3）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的差分方程有直接關(guān)系。（4）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列的變換。（5）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在z平面上有對應(yīng)的零、極點分布。 圖7-15 虛設(shè)采樣開關(guān)的開環(huán)采樣系統(tǒng)2022/9/2137輸出是連續(xù)信號的情況，如圖7-15所示?？梢栽谙到y(tǒng)輸出端虛設(shè)3. 脈沖傳遞函數(shù)的求法 傳遞函數(shù) 的拉氏反變換是單位脈沖函數(shù) ，將 離散化得到脈沖響應(yīng) 序列 ，將 進行z變換即可得到 。這一變換過程可表示為例7-14 已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-16所示。（1）求系統(tǒng)的脈沖傳遞

22、函數(shù)；（2）寫出系統(tǒng)的差分方程。圖7-16 采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2022/9/21383. 脈沖傳遞函數(shù)的求法圖7-16 采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2022/解：（1）首先將E(z)/z分解為部分分式形式查變換表得4.開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時 設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-17所示，在兩個串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié) 和 之間， 有理想采樣開關(guān)。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義，有由此可得2022/9/2139解：（1）首先將E(z)/z分解為部分分式形式2022/9/（2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時 設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-18所示，在兩個串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間沒有理想采樣開關(guān)。此時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 上式作

23、為一個整體進行z變換，由脈沖傳遞函數(shù)定義得 圖7-17 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有理想采樣開關(guān)的開環(huán)采樣系統(tǒng)圖7-18 環(huán)節(jié)之間無理想采樣開關(guān)的開環(huán)采樣系統(tǒng)2022/9/2140圖7-17 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有理想采樣開關(guān)的開環(huán)采樣系統(tǒng)圖7-1例7-15 已知開環(huán)采樣系統(tǒng)分別如圖7-17、圖7-18所示，其中 ， ，輸入信號r(t)=1(t),試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和輸出的z變換。 解：根據(jù)z變換表，可知 對于如圖7-17所示的采樣系統(tǒng) 因此 對于如圖7-18所示的采樣系統(tǒng)2022/9/2141例7-15 已知開環(huán)采樣系統(tǒng)分別如圖7-17、圖7-18所示5.閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 在采樣系統(tǒng)中，由于采樣開關(guān)在系統(tǒng)中

24、的位置不同，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 圖的形式并不唯一。圖7-19所示的是常見的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖?？傻迷撻]環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為 ,其中 為開環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。 圖7-19 閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中2022/9/21425.閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)圖7-19 閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中2例7-16 設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-20所示，試求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。 解：由圖可得 對D(s)離散化，有 則 又有 離散化得 即 同時，輸出信號的采樣拉氏變換為 進行z變換，即得圖7-20 閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2022/9/2143例7-16 設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-20所示，試求其閉

25、環(huán)7.5離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計7.5.1 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性是根據(jù)特征方程的根在s平面的分布位 置確定的。若系統(tǒng)特征方程的根全部都位于s平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。1.s平面與z平面之間的映射關(guān)系 在z變換定義中，給出了s域到z域的映射關(guān)系，即 ,其中，s是復(fù)變量，可表示為 ，映射到z域則為寫成極坐標形式為如圖7-21所示。由此可見，可以把s平面劃分為無窮多條平行于實軸的周期帶，其中從 的周期帶稱為主帶，其余的周期帶稱為輔帶。 圖7-21 s平面與z平面之間的映射2022/9/21447.5離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計圖7-21 s平面與z平面之間2.線性定常

26、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念與連續(xù)系統(tǒng)相同。如果一個線性定常離散系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。由s域到z域的映射關(guān)系及連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)，可知：（1）s左半平面映射為z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域，對應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域；（2）s右半平面映射為z平面單位圓外的區(qū)域，對應(yīng)不穩(wěn)定區(qū)域；（3）s平面上的虛軸，映射為z平面的單位圓周，對應(yīng)臨界穩(wěn)定情況，屬不穩(wěn)定。線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點均分布在z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)，或者系統(tǒng)所有特征根的模均小于1。3.離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)在z域中不能直接套用勞斯判據(jù)，必須引入z域到 域的線性變換，

27、使z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域，映射成s平面上的左半平面，這種新的坐標變換稱為 變換。令復(fù)變量2022/9/21452.線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2022/9/2147得顯然由于上式的分母 始終為正，因此可得（1） 等價于 ，表明平面的虛軸對應(yīng)于z平面的單位圓周；（2） 等價于 ，表明左半平面對應(yīng)于z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域；（3） 等價于 ，表明右半平面對應(yīng)于z平面單位圓外的區(qū)域。z平面和平面的這種對應(yīng)關(guān)系，如圖7-22所示。圖7-22 z平面與平面的對應(yīng)關(guān)系2022/9/2146得圖7-22 z平面與平面的對應(yīng)關(guān)系2022/9/2148例7-17 設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-23所示，其中采樣周期T=0.

28、1s，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的臨界值。解：首先求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的z變換 由此可得，閉環(huán)特征方程為 令 ，得 化簡后，得 列出勞斯表： 從勞斯表第一列系數(shù)可知，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，則需 ，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益值 。圖7-23 閉環(huán)離散系統(tǒng)方框圖2022/9/2147例7-17 設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-23所示，其中采樣周期T=7.5.2 離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 離散系統(tǒng)的動態(tài)特性，是通過在外部輸入信號作用下的輸出曲線來反映的。設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為當(dāng) 時，有經(jīng)部分分式展開后，可得其中， 2022/9/21487.5.2 離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)2022/9/2150求z反變換，即可求得系統(tǒng)在

29、采樣時刻的輸出離散值為 式中，等號右邊第一項為y(kT)的穩(wěn)態(tài)分量；第二項為y(kT)的瞬態(tài)分量。 圖7-24 閉環(huán)極點分布與瞬態(tài)分量的關(guān)系圖2022/9/2149求z反變換，即可求得系統(tǒng)在采樣時刻的輸出離散值為 圖7-241 正實軸上閉環(huán)極點當(dāng)時，極點位于單位圓內(nèi)的正實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量指數(shù)衰減，且越靠近原點，衰減越快；當(dāng)時，極點位于單位圓外的正實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量指數(shù)發(fā)散，且越靠近原點，發(fā)散越快。系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)時，極點位于單位圓上的正實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量為等幅脈沖序列，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。2 負實軸上閉環(huán)極點當(dāng)時，極點位于單位圓內(nèi)的負實軸上，且當(dāng) 為偶數(shù)時，為正值，當(dāng) 為奇數(shù)時， 為負值。

30、 2022/9/21501 正實軸上閉環(huán)極點2022/9/2152當(dāng) 時，極點位于單位圓外的負實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量為正、負交替的發(fā)散振蕩脈沖序列；當(dāng) 時，極點位于單位圓上的負實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量為正、負交替的等幅振蕩脈沖序列。3 Z平面上的閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點當(dāng)時，極點位于單位圓外的z平面上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)時，極點位于單位圓內(nèi)的z平面上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減振蕩。且pi 越小，即復(fù)極點越靠近原點，衰減振蕩越快；當(dāng)時，極點位于單位圓上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。2022/9/2151當(dāng) 時，極點位于單位圓外的負實軸上，對應(yīng)的瞬態(tài)分量綜上所述，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

31、的閉環(huán)極點在單位圓內(nèi)，對應(yīng)的瞬態(tài)分量均為衰減，故系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)閉環(huán)極點在單位圓上或單位圓外，對應(yīng)的瞬態(tài)分量等幅振蕩或發(fā)散振蕩，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了使離散系統(tǒng)具有良好的動態(tài)過程，閉環(huán)極點應(yīng)盡量避免配置在單位圓的左半部，尤其不要靠近負實軸，以免產(chǎn)生強烈振蕩。閉環(huán)極點應(yīng)最好配置在單位圓的右半部，而且靠近原點的地方，這樣，系統(tǒng)的動態(tài)過程進行較快，因而系統(tǒng)的快速性較好。2022/9/21522022/9/21547.5.3 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1、一般方法（利用終值定理）設(shè)單位反饋離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-25所示， 為系統(tǒng)采樣信號，其z變換為圖7-25 單位反饋離散系統(tǒng)2022/9/21537.5.3 離散

32、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1、一般方法（利用終值系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為如果 的極點全部位于z平面上的單位圓內(nèi)，即離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用z變換的終值定理求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入序列的形式及幅值有關(guān)，而且與采樣周期的選取也有關(guān)。 2022/9/2154系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為2022/9/2156例7-18 設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-25所示，其中， ， ，輸入連續(xù)信號分別為 和 ，試求離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：首先 的z變換為系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)極點為 ，均位于z平面的單位圓內(nèi)，因此可以應(yīng)用終值定理方法求解穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng) 時，2022/9/2155例7-18

33、 設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-25所示，其中， 當(dāng)時， ，2、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法在連續(xù)系統(tǒng)中，我們把開環(huán)傳遞函數(shù) 具有 的極點數(shù)作為劃分系統(tǒng)型別的標準。在離散系統(tǒng)中，對應(yīng)把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 具有 的極點數(shù)，作為劃分離散系統(tǒng)型別的標準，類似把 中 的系統(tǒng)，分別稱為0型、型和型離散系統(tǒng)。 2022/9/2156當(dāng)時， ，2022/9/2158（1）階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)輸入為階躍函數(shù) 時，其z變換函數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差為 其中 稱為離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。 對0型離散系統(tǒng)， 不趨于 ，從而穩(wěn)態(tài)誤差 ；對型或型以上的離散系統(tǒng)， ，因而穩(wěn)態(tài)誤差 。2022/9/2157（1）階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)輸入為階躍函

34、數(shù) （2）斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)輸入為斜坡函數(shù) 時，其z變換函數(shù)為因而穩(wěn)態(tài)誤差為其中 稱為離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。在斜坡輸入條件下，0型系統(tǒng)的 ，所以， ；型系統(tǒng)的 為有限值，存在常值速度誤差；型和型以上系統(tǒng) ，穩(wěn)態(tài)誤差為零。2022/9/2158（2）斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)輸入為斜坡函數(shù) 時，（3）加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)輸入為加速度函數(shù) 時，其z變換函數(shù)為 因而穩(wěn)態(tài)誤差為 式中稱為離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。 加速度輸入條件下，由于0型及型系統(tǒng)的 ，所以 ；型系統(tǒng)的 為常數(shù)，則加速度誤差是非零常數(shù)。 2022/9/2159（3）加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)輸入為加

35、速度函數(shù) 表7-2 單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別0型型0型00加速度誤差速度誤差位置誤差2022/9/2160表7-2 單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別0型型0型0例7-19 設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-25所示，其中， ， ，輸入連續(xù)信號 分別為 ， 和 ，試利用穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法求該離散系統(tǒng)的 、 、 以及穩(wěn)態(tài)誤差 。解：（1）輸入信號 時（2）輸入信號 時（3）輸入信號 時2022/9/2161例7-19 設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-25所示，其中， 7.5.4 最少拍系統(tǒng)及其設(shè)計最少拍系統(tǒng)是指：在典型輸入作用下，在各采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)誤差，且瞬態(tài)過程能在有限個采樣周期內(nèi)結(jié)束，完全跟蹤控制信號的系統(tǒng)。在離

36、散系統(tǒng)中，一個采樣周期稱為一拍。所謂最少拍系統(tǒng)，是指對于典型輸入信號具有最快的響應(yīng)速度，能在有限的幾拍之內(nèi)結(jié)束過渡過程，且在過渡過程結(jié)束后，在采樣時刻上穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)。最少拍系統(tǒng)也稱為小調(diào)節(jié)時間系統(tǒng)或最快響應(yīng)系統(tǒng)。 2022/9/21627.5.4 最少拍系統(tǒng)及其設(shè)計最少拍系統(tǒng)是指：在典型輸入最少拍系統(tǒng)的設(shè)計原則是：若系統(tǒng)被控對象 無延遲，且在z平面單位圓上及單位圓外無零極點，需選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) ，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)最少采樣周期后，能使輸出序列在各采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達到完全跟蹤的目的，從而確定所需的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) 。考慮到零階保持器的存在，廣義被控對象的脈沖傳遞

37、函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為2022/9/2163最少拍系統(tǒng)的設(shè)計原則是：若系統(tǒng)被控對象 無延遲，且在z平閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為因為系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，因此有可得 或2022/9/2164閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為或2022/9/2166典型輸入信號z變換的一般形式為 是不包含因子 的 的多項式。 表7-4 典型輸入信號的最少拍系統(tǒng)設(shè)計典型輸入閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)調(diào)節(jié)時間數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)2022/9/2165典型輸入信號z變換的一般形式為 表7-4 典型輸入信號的最少a）單位階躍信號 b）單位速度信號 c）單位加速度信號圖7-26 典型輸入信號的最少拍系統(tǒng)響應(yīng)2022/9/2166a）單位階

38、躍信號 b）單位速度信號 c）單位加速度例7-20 設(shè)單位反饋線性定常離散系統(tǒng)的連續(xù)部分和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為其中，采樣周期T=1s。若要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入時實現(xiàn)最少拍控制，試求數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為由于故有2022/9/2167例7-20 設(shè)單位反饋線性定常離散系統(tǒng)的連續(xù)部分和零階保持器根據(jù) ，由表7-3可知最少拍系統(tǒng)應(yīng)具有的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)為的零點 正好可以補償 在單位圓中的極點 ， 已包含 的傳遞函數(shù)延遲 。因此，上述 和 滿足消去 中傳遞延遲 及補償 在單位圓中極點的 約束條件，可求出最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為2022

39、/9/2168根據(jù) ，由表7-3可知最少拍系統(tǒng)應(yīng)具有的閉環(huán)脈沖傳7.6應(yīng)用MATLAB分析離散控制系統(tǒng)7.6.1 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)模型之間的轉(zhuǎn)換在MATLAB中對連續(xù)系統(tǒng)的離散化是通過c2dm()函數(shù)實現(xiàn)的，c2dm()函數(shù)的調(diào)用格式為 numd,dend = c2dm(num,den,T,zoh) 其中zoh表示零階保持器；T為采樣周期，num為傳遞函數(shù)分子多項式系數(shù)；den為傳遞函數(shù)分母多項式系數(shù)。2022/9/21697.6應(yīng)用MATLAB分析離散控制系統(tǒng)2022/9/2171表7-5 連續(xù)系統(tǒng)模型與離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換函數(shù)MATLAB函數(shù)調(diào)用格式函數(shù)說明c2dsysd=c2d(sysc,

40、Ts,method)連續(xù)時間LTI系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成離散時間系統(tǒng)模型c2dmnumz,denz=c2dm(num,den,T,method)連續(xù)時間LTI傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成離散時間傳遞函數(shù)模型d2csysc=d2c(sys,method)離散時間系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成連續(xù)時間LTI系統(tǒng)模型d2cmA,B,C,D=d2cm(Ad,Bd,Cd,Dd,T,method)離散時間狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成連續(xù)時間狀態(tài)空間模型d2dsys=d2d(sysd,T)離散時間模型轉(zhuǎn)換成新的離散時間系統(tǒng)模型c2dtAd,Bd,Cd,Dd=c2dt(A,B,C,T,lambda)具有純延遲輸入的連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成離散時間狀態(tài)空間系統(tǒng)模型2