第五章三角函數(shù)-三角恒等變換與解三角形限時規(guī)范練-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1、三角恒等變換與解三角形限時規(guī)范練解答題(本題共5小題，每小題12分，共60分)1ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)(sin Bsin C)2sin2 Asin Bsin C.(1)求A；(2)若eq r(2)ab2c，求sin C.2ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(bc)2a2eq f(3,2)bc.(1)求sin A；(2)若a2，且sin B，sin A，sin C成等差數(shù)列，求ABC的面積3在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bc2a，3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sineq blc(rc)(avs4a

2、lco1(2Bf(,6)的值4在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足(eq r(2)ac)eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()ceq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6().(1)求角B的大??；(2)若|eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()|eq r(6)，求ABC面積的最大值5某學(xué)校的平面示意圖為如圖五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學(xué)校的主要道路(不考慮寬度)BCDCDEeq f(2,3)，BAEeq f(,3)，DE3BC3CDeq f(9

3、,10) km.(1)求道路BE的長度；(2)求生活區(qū)ABE面積的最大值答案1.解：(1)由已知得sin2 Bsin2 Csin2 Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(1,2).因?yàn)?A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由題設(shè)及正弦定理得eq r(2)sin Asin(120C)2sin C，即eq f(r(6),2)eq f(r(3),2)cos Ceq f(1,2)sin C2sin C，可得cos(C60)eq f(r(2),2).由于0C120，所以sin(C60)eq f(r(2),2)

4、，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60eq f(r(6)r(2),4).2.解：(1)由(bc)2a2eq f(3,2)bc，得b2c2a2eq f(1,2)bc，即eq f(b2c2a2,2bc)eq f(1,4)，由余弦定理得cos Aeq f(1,4)，因?yàn)?A，所以sin Aeq f(r(15),4).(2)由sin B，sin A，sin C成等差數(shù)列，得sin Bsin C2sin A，由正弦定理得bc2a4，所以16(bc)2，所以16b2c22bc.由(1)得16a2eq f(5,2)bc，所以164eq f(5,2)bc，解

5、得bceq f(24,5)，所以SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)eq f(24,5)eq f(r(15),4)eq f(3r(15),5).3.解：(1)在ABC中，由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，得bsin Ccsin B由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.因?yàn)閎c2a，得到beq f(4,3)a，ceq f(2,3)a.由余弦定理可得cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(a2f(4,9)a2f(16,9)a2,2af(2,3)a)eq f(1,4).(2)由(1)可得sin Be

6、q r(1cos2 B)eq f(r(15),4)，從而sin 2B2sin Bcos Beq f(r(15),8)，cos 2Bcos2 Bsin2 Beq f(7,8)，故sineq blc(rc)(avs4alco1(2Bf(,6)sin 2Bcos eq f(,6)cos 2Bsin eq f(,6)eq f(r(15),8)eq f(r(3),2)eq f(7,8)eq f(1,2)eq f(3r(5)7,16).4.解：(1)由題意得(eq r(2)ac)cos Bbcos C.根據(jù)正弦定理得(eq r(2)sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以eq r(2)s

7、in Acos Bsin(CB)，即eq r(2)sin Acos Bsin A.因?yàn)锳(0，)，所以sin A0，所以cos Beq f(r(2),2)，又B(0，)，所以Beq f(,4).(2)因?yàn)閨eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()|eq r(6)，所以|eq o(CA,sup6()|eq r(6)，即beq r(6)，根據(jù)余弦定理及基本不等式得6a2c2eq r(2)ac2aceq r(2)ac(2eq r(2)ac(當(dāng)且僅當(dāng)ac時取等號)，即ac3(2eq r(2)，故ABC的面積Seq f(1,2)acsin Beq f(3（r(2)1）,2)，即ABC面積

8、的最大值為eq f(3r(2)3,2).5.解：(1)連接BD，在BCD中，由余弦定理得：BD2BC2CD22BCCDcosBCDeq f(27,100)，所以BDeq f(3r(3),10)，因?yàn)锽CCD，所以CDBCBDeq f(f(2,3),2)eq f(,6)，又CDEeq f(2,3)，所以BDEeq f(,2).在RtBDE中，BE eq r(BD2DE2)eq f(3r(3),5).(2)設(shè)ABE，因?yàn)锽AEeq f(,3)，所以AEBeq f(2,3).在ABE中，由正弦定理，得eq f(AB,sinAEB)eq f(AE,sinABE)eq f(BE,sinBAE)eq f(3r(3),5sin f(,3)eq f(6,5)，所以ABeq f(6,5)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，AEeq f(6,5)sin .所以SABEeq f(1,2)|AB|AE|sin eq f(,3)eq f(9r(3),25)eq blcrc(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sin )eq f(9r(3),25)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)sinblc(rc)(avs4alco1(2f(,6)f(1,4)eq f(9r(3),25)eq blc(rc)(avs4