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文檔簡介

1、一、二次型與對稱矩陣 二次型及其矩陣1定義:含有n個變量的二次齊次函數(shù):f (x , x ,L , x ) = a x2 + a x2 + L + a x21 2 n 11 122 2nn n(n-1)n n-1 n+2a XX(n-1)n n-1 n12 1 213 1 3I稱為二次型。為便于用矩陣討論二次型,令。司二。”,則二次型為:f (x , x,L , x ) = a x2 + a x x + L + axx12n11 112121n 1n+a x x + ax2 +L + a xx21 2 122 22n 2 n+L L L L LLLLLLL+a x x + ax x + L+a

2、x2n 1 n 1n2 n 2nn nn= a x xij i ji, j=1a a L ar x)11121n1a a L ax令A(yù) =21222n,x =2,L L L LMaaTaaaax xn1n 2nnn則 f (xf x2 ,L , x ) = xT Ax, 且A為對稱矩陣。由于對稱矩陣A與二次型f是一一對應(yīng)關(guān)系,故稱對稱矩陣A為二次型f的矩陣,也稱二次型f為對稱矩陣A的二次型,R(A)也稱為二次型f的秩。f (x , x , x ) = x 2 + 2 x 2 + 3 x 2 + 5 xx + 7 xx + 9 xx試求二次型矩陣A .ii22331221233213=aii22

3、331221233213=a31于是得已知三階矩陣A和向量X ,其中123 氣)01-1,X =x2、3-32 ,1 xA =3求二次型X TAX的矩陣.3 )x )1-1x2乙)2k x3 )121-3解 由于A不是對稱矩陣,故A不是二次型X t121-3X t AX = (x , x , x ) 0k 3=x 2 + x 2 + 2 x 2 + 2 x x + 6 x x - 4 x x ,1231 21 32 3故此二次型的矩陣為11 3 11 - 2 .。-2 2二、線性變換1 標(biāo)準(zhǔn)形定義:形如d 1吁+ d2x; +A + dnX2的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。 顯然:其矩陣為對角陣。

4、2線性變換1n n2n n稱為由變量x , x ,1n n2n n稱為由變量x , x ,L , x到變量12 n TOC o 1-5 h z 1 11 112 21n定義:關(guān)系式Jx =c y +c y +L +定義:關(guān)系式J HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 221 122 2LLLLLLLLLLLx =c y +c y +L +c ynn 1 1 n 2 2nn ny,七,L , y的一個線性變量替換,簡稱線性變換。 12 n矩陣C =c11c21Lc12c矩陣C =c11c21Lc12c22LLLLLc1nc2nL稱為線性變換的矩陣。x

5、1:y1 x2M,y=y2Ml兒J,c n1c n2記X =則線性變換可用矩陣形式表示為:x = Cy若C。0,稱線性變換為滿秩(線性)變換(或非退化變換),否則,稱為降秩(線性)變換(或退化變換)。f(x1?x2,L ,x) = xTAx = (Cy)TA(Cy) = yTCTACy = yTBy , 其 中B = Ct AC而 BT = (CTAC )t = CTAC = B若線性變換是非退化的,便有:y = C-頃三、矩陣的合同1定義:設(shè)A , B為n階方陣,如果存在n階可逆矩陣C,使得CtAC = B , 則稱矩陣A與B合同。容易知道:二次型f (婦=xT Ax的矩陣A與經(jīng)過非退化線性

6、變換x = Cy得到的 矩陣CtAC是合同的。2合同的性質(zhì)反身性:任一方陣A都與它自己合同對稱性:如果方陣A與B合同,那么B也與A合同傳遞性:如果方陣A與B合同,B與C合同,那么A與C合同3定理:若矩陣A與B合同,則A與B等價,且R(A) = R(B)。4定理:任何一個實對稱矩陣A都合同于一個對角陣A( A是以A的n個特 征根為對角元的對角陣)。即存在可逆矩陣C,使得CTAC = A。化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形_、正交變換法定理:任給二次型L)=xTAx,總有正交變換x = Qy使f化為JL ZTT標(biāo)準(zhǔn)形:f =人苦+ X矣+L + 吁(其中、,人2,L ,人是對稱矩陣 A的特征根)例: 求一個正交變換

7、x = py ,化二次型f = - 2x| - 2%2 - 4氣有 + 4氣 + 8% 為標(biāo)準(zhǔn)形。2則原二次型f = xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)形:f = y-2y-5yj2二次型中不含平方項例:用配方法化二次型f (氣,&X3) = X1 x2 +氣X3 + x2X3為標(biāo)準(zhǔn)形,并求出 JL 4。JL 4JL 。4。所用的滿秩線性變換。x1=七+%解:令 x = y - y,則原二次型化為:f = y2 - y2 + 2yy, TOC o 1-5 h z 匕匕J.匕J. 3x = yl 33再按前例的方法有:f = y2 - y2 + 2 y yj ./1*213=y+ 2 y1 y3 + y; - y

8、; - y;=(y + y )2 - y2 - y2q = yq = yi 令k廣 z=3+ y3y2,則原二次型化為:f = z2-z;-z;匕123y3其中的滿秩變換為兩變換的合成,即:x1=y1+y2(X、一110 -f y1、由第一次變換1X2 = y1y2 得:x2=1-10y / 2x =3y3xv X3 _ 001 _1 y3JZ1 = y1+ y3y1、一10-f z由第二次變換1Z2 =y2得:y2=010zIZ3 =y3 (v ),則稱f為正(負)定二次型,并稱對稱矩陣A為正(負)定矩陣,記作A 0(v0)。定義:若對任意不全為零的實數(shù)氣,L , xn ,總有f (x) =

9、 xTAx 0( 0, 11“21a12a22 0,La11,Ma n1LLa1nMann 0 o定理:若A是n階實對陣矩陣,則下列命題等價:f (x) = xTAx是負定二次型(或A是負定矩陣);(2)A的n個特征值全為負;(3)f的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為負;f的負慣性指數(shù)為n ;(5) A與負單位矩陣-E合同(或-E為A的規(guī)范形);存在可逆矩陣P,使得A = -PTP;A的各階順序主子式中,奇數(shù)階順序主子式為負,偶數(shù)階順序主子式a 11為正,即(-1) Ma r1a1rMaa 11為正,即(-1) Ma r1a1rMarr 0(r = 1,2,L , n)。1、判定實二次型 f (% , %

10、 , % ) = %2 + 2xx + 2xx + 2x2 + 6xx + 6x2 是12 3,11 21 322 33否正定。解:1 1 1A =12 3,因1 0,1 3 6所以實二次型f是正定的。1111 1 0 A =123=1 01 2,1362、設(shè)二次型 f (% , % , % ) = %2 + 2%2 + 3%2 + 2tx x 一 2% % + 4x x/ J 1 2 3,1231 21 32 3,試問t為何值時,該二次型是正定的?解:1因二次型的矩陣為:a = t-1t -12 2,為使所給二次型正定,A的各階2 31 t順序主子式應(yīng)大于零,從而有:d1 = 1 0,d2

11、= t 2 = 2 -12 0,1 t -1d = t 2 2 =-(312 + 4t)0 ,3 -1 2 32-t20由得:T t 0312 + 4t 03所以當(dāng)- 4 t 0時,所給實二次型是正定的3、二次型 f (x , x , x ) = x2 + 3x2 + x2 + 2x x + 2x x + 2x x 則 f 的 八 1 2 3,1231 21 32 3 ,則,日正慣性指數(shù)為?4、三階的實對稱矩陣A的特征值為%=七1,人3 = 2,則二次型f (x , x , x ) = X T AX的規(guī)范形為分析 實對稱矩陣A可經(jīng)過正交變換化為對角矩陣,相應(yīng)的二次型f (x) = X T AX

12、就化為標(biāo)準(zhǔn)形.解 由已知條件 二次型f (x)的標(biāo)準(zhǔn)形為y2 + y2 + 2y2 ,故其規(guī)范形為 12z 2 + z 2 + z 2 .1235、任何一個n階滿秩矩陣必定與n階單位矩陣().(A)合同(B)相似(C)等價(D)以上都不對解 任一個n階滿秩矩陣都可以經(jīng)過有限次的初等變換化為n階單位矩陣,故n階滿秩矩陣都與n階單位矩陣等價.只有單位矩陣與單位矩陣相似.只有正定矩陣與單位矩陣合同.6、設(shè) A =1111111111116、設(shè) A =11111111111111114 0 00000000000000,則A與B()(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同

13、且不相似.解 選(A). A為實對稱矩陣且且不相似.解 選(A). A為實對稱矩陣且A的特征值為4,0,0,0.(2 -1 -11(1 0 01-1 2 -1,B =0 1 0廠 1 -1 0 /0 0/,則()7、A =(A)A與B即合同又相似(A)A與B即合同又相似(B)A與B合同而不相似(C)A與B不合同而相似(D)A與B即不合同也不相似解:(B)B的特征值解:(B)B的特征值1,1,0it t 11-1 -1 -1-1 -1 -1J+ 3E = -B + 3E,特征值為-人B + 3,即 3, 3, 0A與B特征值不相同,但正、負性都一樣。8、A =21V2 17則在實數(shù)域上與 A合同

14、的是()(A)12V 18、A =21V2 17則在實數(shù)域上與 A合同的是()(A)12V 1_12 2 7(B)(C)2 2V1 2 7(D)(1V-217解:(D)2 17(2 2、V227特征值為-1,(-21、 1 1、1勺=| | -3E,特征值為-3, -1V 1- 2 7V1 17(2-(2-1、12V-1 2 7(-1 1、V-1 - J 3e,特征值為(21 、 (1 1、1勺=I I + E,特征值為1,3V1 - 2 7 V1 17(-12 -1V 21 7(-12 -1V 21 7+ 3E,特征值為3, -1V- 2 - 279、已知實二次型 f (x ,x ,x ) = a(x2 + %2 + %2)+ 4XX + 4x x + 4x x 經(jīng)正交變換 1231231 21 32 3x=Py可化標(biāo)準(zhǔn)型f = 6y2,則a =【詳解】二次型f (x ,x ,x ) = a(x2 + x2 + x2) + 4x x + 4x x + 4x x 1231231 21 32 3-a22一所對應(yīng)矩陣為A=2a222a標(biāo)準(zhǔn)型f = 6 y 2所對應(yīng)矩陣為B = 0 0根據(jù)題設(shè)知A,B為相似矩陣,根據(jù)題設(shè)知A,B為相似矩陣,所以

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