反常積分的概念演示文稿

1、反常積分的概念演示文稿第一頁(yè)，共二十頁(yè)。（優(yōu)選）反常積分的概念第二頁(yè)，共二十頁(yè)。二、兩類反常積分的定義第一節(jié)一、問題的提出反常積分的概念 第八章 第三頁(yè)，共二十頁(yè)。一、問題的提出引例1. 曲線和直線及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 第四頁(yè)，共二十頁(yè)。引例2:曲線所圍成的與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 第五頁(yè)，共二十頁(yè)。定義1. 設(shè)若存在 ,則稱此極限為 f (x) 的無(wú)窮限反常積分, 記作這時(shí)稱反常積分收斂 ;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散 .類似地 , 若則定義二、兩類反常積分的定義第六頁(yè)，共二十頁(yè)。則定義( c 為任意取定的常

2、數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱發(fā)散 .無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分. 并非不定型 ,說明: 上述定義中若出現(xiàn) 它表明該反常積分發(fā)散 .第七頁(yè)，共二十頁(yè)。引入記號(hào)則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :第八頁(yè)，共二十頁(yè)。例1. 計(jì)算反常積分解:思考: 分析:原積分發(fā)散 !注意: 對(duì)反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .第九頁(yè)，共二十頁(yè)。例2. 證明第一類 p 積分證:當(dāng) p =1 時(shí)有 當(dāng) p 1 時(shí)有 當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為當(dāng) p1 時(shí), 反常積分發(fā)散 . 第十頁(yè)，共二十頁(yè)。例

3、3. 計(jì)算反常積分解:第十一頁(yè)，共二十頁(yè)。定義2. 設(shè)而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在 ,這時(shí)稱反常積分收斂 ;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散 .類似地 , 若而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 則定義則稱此極限為函 記作第十二頁(yè)，共二十頁(yè)。若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 說明: 而在點(diǎn) c 的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界 ,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)) .例如,間斷點(diǎn),而不是反常積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 則定義第十三頁(yè)，共二十頁(yè)。注意: 若瑕點(diǎn)計(jì)算表達(dá)式 : 則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn), 則若 a 為瑕點(diǎn)

4、, 則若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則則可相消嗎?第十四頁(yè)，共二十頁(yè)。下述解法是否正確: , 積分收斂例4. 計(jì)算反常積分解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以原式例5. 討論反常積分的收斂性 . 解:所以反常積分發(fā)散 .第十五頁(yè)，共二十頁(yè)。例6. 證明反常積分證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散 .當(dāng) q1 時(shí)所以當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .第十六頁(yè)，共二十頁(yè)。例7.解：求的無(wú)窮間斷點(diǎn),故 I 為反常積分.第十七頁(yè)，共二十頁(yè)。內(nèi)容小結(jié) 1. 反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限 2. 兩個(gè)重要的反常積分第十八頁(yè)，共二十頁(yè)。說明: (1) 有時(shí)通過換元 , 反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化 .例如 ,(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.第十九頁(yè)，共二十頁(yè)