數(shù)學 旋轉(zhuǎn)的專項 培優(yōu)練習題及答案

1、一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點0(0,0),點人(5,0),點B(0,3).以點&為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點O,B,C的對應(yīng)點分別為DE,F.如圖，當點D落在BC邊上時，求點D的坐標：如圖，當點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H.求證ADBAOB；求點H的坐標.圖圖【答案】(1)D(1記K為矩形AO3C對角線的交點，S為AKDE的面枳，求S的取值范闈(直接寫出結(jié)果即可)3)；(2)詳見解析；H(丁，3)；(3)30-3網(wǎng)今30+3網(wǎng)4_4【解析】【分析】如圖，在RtAACD中求出CD即可解決問題；根據(jù)HL

2、證明即可；，設(shè)AH=BH=m,則HC=BC-BH=5-m,在RtAAHC中，根據(jù)AH2=HC2+AC2,構(gòu)建方程求出m即可解決問題；如圖中，當點D在線段BK上時，ADEK的面積最小，當點D在BA的延長線上時，ADEK的面積最大，求出面積的最小值以及最人值即可解決問題：【詳解】(1)如圖中，圖A(5,0),B(0,3),0A=5,08=3,四邊形AOBC是矩形，/.AC=0B=3t0A=BC=5,Z0BC=Z090,T矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到,.-AD=A0=5,在RtAADC中，CD=J&2_ac2=4,BD二BCCD=1,D(1,3)(2)如圖中，囹由四邊形ADEF是矩形，得到Z

3、ADE=90點D在線段BF上，Z408=90%由(1)可知，AD=AO.5LAB=AB.Z408=90,RtADBR仏AOB(HL)如圖中，由ZkADB空“AOB,得到ZBAD=ABAO9又在矩形AOBC中,OAIIBC9ZC弘二ZOAB,ZBAD二ZCBA9BH二AH,設(shè)AH二BH二m,則HC=BC-BH=5-m9在RtAAHC中,AH2=HC2-AC29/.m2=32+(5-m)2,17m=,廠317BH=，17H(,3).5(3)如圖中，當點D在線段BK上時，NDEK的面積最小，最小值=DEDK=1x3x22zcV34、30-3/3424當點D在弘的延長線上時，DFK的面積最人，最大面積

4、=-xDfE,xKD,=x3x22亟）0+3何24綜上所述，30-33430.373444【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.2.兩塊等腰直角三角板AABC和DEC如圖擺放,其中ZACB=ZDCE=90,F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點.（1）如圖1，若點D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系為:（2）如圖2,若將三角板ADEC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時，其余條件均不變，則（1）中的猜想

5、是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由;（3）如圖3,將圖1中的ADEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖3,（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明.【答案】（1）相等，垂直.（2）成立，證明見解析；（3）成立，結(jié)論是FH=FG,FH丄FG【解析】試題分析：證AD=BE,根據(jù)三角形的中位線推出FH=-AD,FHIIAD,FG二丄BE,22FGIIBE,即可推出答案;證AACD聖BCE,推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案：連接BE、AD,根據(jù)全等推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案.試題解析：解:/CE=CD,AC=BC,ZECA=ZDCB=90BE二A

6、D,IF是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，11FH=-AD,FHIIAD,FG二一BE,FGIIBE,22FH=FG,AD丄BE,FH丄FG,故答案為相等，垂直.答：成立，證明：TCE二CD,ZECD=ZACD=90%AC=BC,ACD空BCEAD二BE,11由(1)知：FH=-AD,FHIIAD,FG=-BE,FGIIBE,22/.FH=FG,FH丄FG,(1)中的猜想還成立.EFD(3)答：成立，結(jié)論是FH=FG,FH丄FG.連接AD,BE,兩線交于乙AD交BC于X,同(1)可證FH=-AD,FHIIAD,FG二一BE,FGIIBE,22三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，/

7、.CE=CD,AC=BC,ZECD二ZACB二90。，ZACD=ZBCE,在厶ACD和厶BCE中AC=BCBC）,使AB與DC重合，得到折痕EF,把紙片展平；沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處，再折出PB、PC,最后用筆畫出APBCX圖1）.圧I)11W（1）求證：圖1中的Apbc是正三角形：（2）如圖2,小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.求證：IH=IJ請求出NJ的長；（3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm,當另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同.請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖（作

8、圖工具不限，能說明問題即可），并直接寫出對應(yīng)的a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析：（2）證明見解析；12-6石（3）339【解析】分析：（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可；（2）利用HL證RtAIHMRtAIJN即可得；IJ上取一點Q，使QI=QN,由RtAIHMRtAUN知ZHIM=ZJIN=15繼而可得ZNQJ=30,設(shè)NJ=x,貝ljIQ=QN=2x.QJ=/3x,根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得：（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進行計算，畫出圖形即可.（1）證明：（!）對折矩形紙片ABCD（ABBC）,使AB

9、與DC重合，得到折痕EF/.PB=PCV沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處PB=BCPB=PC=BCPBC是正三角形：（2）證明：如圖矩形AHIJZH=ZJ=90MNJ是等邊三角形MI=NI在RtAMHI和RtAJNI中MH=NJRtAMH僅RtAJNI(HL)HI=IJ在線段IJ上取點Cb使IQ二NQRtAIHM雯RtAIJN,ZHIM=ZJIN,ZHIJ=90ZMIN=60,ZHIM=ZJIN=15,由QI二QN知ZJIN=ZQNI=15,ZNQJ=30,設(shè)NJ=x,貝lJlQ=QN=2x,尸=/Jx，TJ=6cm,2x+5/3x=6,x=126JI,即N(cm).(3)分三種情

10、況:如圖:設(shè)等邊三角形的邊長為b,則0Vbs6,如圖6cm當DF與DC重合時,DF=DE=6,a=sin60 xDE=,2當DE與DA重合時，a=S1116Oy/j3*a4/3點睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大.5.在平面直角坐標系中，0為原點，點A(8,0)，點B(0,6),把AABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得A8O,，點A、0旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為/V、0記旋轉(zhuǎn)角為a.如圖1，若=90,則AB=,并求AA的長；如圖2,若a=120,求點O的坐標；在(2)的條件下，邊OA上

11、的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為匕當CP+BP取得最小值時，直接寫出點P的坐標.圖1圖2【答案】10,10/2；(2)(3侖，9)；(3)【解析】試題分析：(1)、如圖，先利用勾股定理計算出AB=5,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BAZABA仝90。，則可判定AABA，為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA，的長；(2)、作OH丄y軸于H,如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得B0=B0=3,ZOBO=120%則ZHBO=60再在RtABHO中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出BH和OH的長，然后利用坐標的表示方法寫出O點的坐標；(3)、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP則OP+BP=OP+BP,作B點關(guān)于x軸

12、的對稱點C,連結(jié)OC交x軸于P點，如圖，易得OzP+BP=Or,利用兩點之間線段最短可判斷此時CP+BP的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線O，C的解析式為y色魚x-3,從而得到P(舉，0),則OP=OP=羋，作3:55PD丄OH于D,然后確定/DPO=30。后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出PD和DO,的長，從而可得到P點的坐標.試題解析:、如圖，I點A(4,0),點B(0,3),/.OA=4,OB=3,AB=5,ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得ABO,/.BA=BAZABA=90,ABA為等腰直角三角形，AA=BA=5a/2:(2)、作OH丄y軸于H,如圖,ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)

13、120。,得ABO,B0=B0=3,ZOBO=120/.ZHBO=60,在RtABHO中，TZBOH=90。-ZHBO=30%越2)2,2(3)ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120%得厶ABO，點P的對應(yīng)點為P,/.BP=BPO，P+BPJO，P+BP,作B點關(guān)于x軸的對稱點C,連結(jié)CC交x軸于P點，如圖，則CTP+BP9P+PC9C,此時OP+BP的值最小，.點C與點B關(guān)于x軸對稱,/.C(0,3),設(shè)直線OC的解析式為y=kx+b,把c(李2直線O，c的解析式為y里3x-3,當尸0時，卑3x-3=0,解得x=亜,則P3:3:5(2,0),5心半W普作PD丄OH于D,/ZBOzA=ZBOA=90,Z

14、BOH=30。，/.ZDPfO=30%0，D=l0，p-F_LDi/和DH9H-0,3V3迥亞點的坐標為(包3ZL,)6.已知：一次函數(shù)y=-|x+4的圖彖與X軸、y軸的交點分別為A、B,以B為旋轉(zhuǎn)中心，將厶BOA逆時針旋轉(zhuǎn)，得厶BCD(其中0與C、A與D是對應(yīng)的頂點).（2）當ZBAD=45。時，求D點的坐標;（3）當點C在線段AB時，求直線BD的關(guān)系式.【答案】（1）5；(2)D(4,7)或(41)；(3)7y=24x+4【解析】試題分析：（1）先分別求得一次函數(shù)y=+4的圖彖與x軸、y軸的交點坐標，再根據(jù)勾股定理求解即町；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合BOA的特征求解即可：（3）先根據(jù)點C在線

15、段AB上判斷出點D的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法列方程組求解即可.(1)在y=-x+斗時,當p=時，x=3AB=5；（2）由題意得D（4,7）或（-4,1）；（2）由題意得D點坐標為（4,L）6設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b圖象過點B(0,4),D(4,)66=4“L17,解得,仏+b=6直線BD的關(guān)系式為7考點：動點的綜合題點評：此類問題綜合性強，難度較人，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型.7.在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點0；在RtAPMN中，ZMPN=90.（1）如圖1，若點P與點0重合且PM丄AD、PN丄AB,分別交AD、AB于點E、F,請直接寫出PE與PF的數(shù)量

16、關(guān)系；(2)將圖1中的RtAPMN繞點0順時針旋轉(zhuǎn)角度a(0a45).如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中(1)中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，當ZD0M=15時，連接EF,若正方形的邊長為2,請直接寫出線段EF的長；如圖3,旋轉(zhuǎn)后，若RtAPMN的頂點P在線段OB上移動(不與點0、B重合),當BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當BD=m-BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)PE=PF；(2)成立，理由參見解析；3；PE=2PF,理由參見解析；PE=(m-1)PF.【解析】試題分析：(1)可利用角平分線性質(zhì)定理得到PE=

17、PF；(2)成立，可用角邊角定理判定厶AOF雯DOE,從而得到PE=PF；要想求出EF的長，關(guān)鍵要求出0E的長，由ZD0M=15。可得ZAEO=45+15=605,作OH丄AD于H,若正方形的邊長為2,則OH=1,1yp可算出EH=,/.0E=,EOF是等腰直角三角形，.EF即可求出；構(gòu)建相似三角形，過P點作PH丄AB,PK丄AD,垂足為H、K,則四邊形AHPK為矩形，PHB和PKD都是等腰直角三角形，是相似的，VBD=3BP,A可算出HP:PK的值，然后通過FHP-PKE得到PE與PF的關(guān)系.由前面的思路可得出當BD=mBP時，BD:PD=(m-1):1，PE:PF=(m-1):1,從而確定

18、PE與PF的數(shù)量關(guān)系.試題解析：(1)V四邊形ABCD是正方形,ZOAF=ZOAE=45e,又TPM丄AD、PN丄AB,/.PE=PF：(2)成立，PE仍等于PF,.四邊形ABCD是正方形，/.ZOAF=ZODE=455,OA=OD,又TZAOF和ZDOE都是ZAOE的余角，ZAOF=ZDOE,AOF竺DOE(ASA),/.OE=OF,即PE=PF：作OH丄AD于H,由ZD0M=15?？傻肸AEO=45+15=605,ZHOE=30,若正方形的邊長為2,則OH=1,在RtAHEO中，可算出EH=3,/.OE=3,VaEOF是等腰直角三角形，2護2、比EF=V20E=V2x3=3；構(gòu)建相似三角形

19、，過P點作PH丄AB,PK丄AD,垂足為H、K,則四邊形AHPK為矩形，/ZPHB=ZPKD=90ZPBH=ZPDK=45,PH_BPPH_BP1.PHB-PKD,PKDP,BD=3BP,/.DP=2,ZHPF+ZFPK=90ZKPE+ZFPK=90,/.ZHPF=ZKPE,又TZPHF=ZPKE=90,PF_PH1PHFPKE,/.PEPK=2,g卩pe=”2PF:當BD=m-BP時，BD:PD=(m-1):PHF-PKE,PE:PF=BD:PD=(m-1):1,/.PE=(m-1)-PF.考點：1.正方形性質(zhì)；2.三角形相似的判定；3.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)；4.探索線段的數(shù)量關(guān)系規(guī)律.&已知AABC是

20、邊長為4的等邊三角形，邊在射線OM上，且OA=6,點D是射線OM上的動點，當點D不與點人重合時，將ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BCF,連接DE.（1）如圖1，求證：ACDE是等邊三角形.（2）設(shè)OD=r,當6t10時，ABDE的周長是否存在最小值？若存在，求出XDE周長的最小值；若不存在，請說明理由.求r為何值時，DEB是直角三角形（直接寫出結(jié)果即可）.【答案】見解析;見解析;十=2或14.【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZDCE=60,DC=EC,即可得到結(jié)論;（2）當6t10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當CD丄AB時，ABDE的周長最小，于是得到結(jié)論；存在，當點D與點B重合時，D,B,E不能構(gòu)成三角形；當0t6時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZABE=60%ZBDEV60。，求得ZBED=90,根據(jù)等邊