新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊 1.2　集合間的基本關(guān)系 學(xué)案

1、1.2集合間的基本關(guān)系核心知識目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集、真子集.2.在具體情境中,了解空集的含義.3.會判斷集合間的基本關(guān)系.4.能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系.1.通過對集合間基本關(guān)系的學(xué)習(xí),達(dá)成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2.通過Venn圖的應(yīng)用,發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng).1.子集的概念問題1 下面給出的兩對集合,集合A中的元素都是集合B中的元素嗎?(1)A=0,1,2,B=0,1,2,3;(2)A=x|x-1,B=x|x1.提示:是的.梳理1子集(1)定義:一般地,對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素

2、,稱集合A為集合B的子集.(2)符號表示:AB(或BA).讀作“A包含于B”(或“B包含A”).(3)Venn圖表示:(4)性質(zhì)任何一個集合都是它本身的子集,即AA.對于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.2.集合的相等實例 觀察下面兩個例子:(1)設(shè)C=x|x是兩條邊相等的三角形,D=x|x是等腰三角形;(2)C=1,5,6,D=6,5,1.問題2-1 你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關(guān)系嗎?提示:(1)(2)中集合C,D的元素相同,即集合C中任何一個元素都是集合D中的元素,同時,集合D中任何一個元素也都是集合C中的元素.問題2-2 與實數(shù)中的結(jié)論“若ab,且ba,則a=b”相類比,在集合中

3、,你能得出什么結(jié)論?提示:若兩個集合互為子集,則這兩個集合相等.梳理2集合相等(1)定義:一般地,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等.也就是說,若AB,且BA,則A=B.(2)符號表示:A=B.(3)Venn圖表示:(4)性質(zhì):對于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.3.真子集的概念問題3 對于問題1中給出的兩對集合,集合B中的元素都是集合A中的元素嗎?提示:不全是.梳理3真子集(1)定義:如果集合AB,但存在元素xB,且xA,則稱集合A是集合B的真子集.(2)符號表示:AB(或BA)讀作“A真包含于B”(或

4、“B真包含A”).(3)Venn圖表示:(4)性質(zhì):對于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.4.空集問題4 集合A=x|x3中有多少個元素?提示:0個.梳理4空集(1)定義:不含任何元素的集合,叫做空集.(2)符號表示:.(3)規(guī)定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.1.下列關(guān)于的說法正確的是(D)(A)0(B)0(C)0(D)0解析:是不含任何元素的集合,所以0,0,故選D.2.集合x|x=1的子集有個.答案:23.(人教A教材P8練習(xí)T2改編)用“”“”“”“”或“=”填空:(1)55;(2)a,b,ca,c;(3)1,2,33,2,1;(4)0.答案:(1)(2)(3

5、)=(4)4.集合A=x|x=3m-1,mN和B=x|x=3m+2,mN之間的關(guān)系是.解析:由A=-1,2,5,8,B=2,5,8,知BA.答案:BA子集與真子集的概念探究角度1子集的列舉、子集個數(shù)例1 已知集合M=x|x2且xN,N=x|-2x2且xZ.(1)寫出集合M的子集、真子集;(2)求集合N的子集數(shù)、真子集數(shù)和非空真子集數(shù).解:M=x|x2且xN=0,1,N=x|-2x2,且xZ=-1,0,1.(1)所以M的子集為,0,1,0,1;其中真子集為,0,1.(2)N的子集為,-1,0,1,-1,0,-1,1,0,1,-1,0,1.所以N的子集數(shù)為8,真子集數(shù)為7,非空真子集數(shù)為6.即時訓(xùn)

6、練1-1:已知集合M滿足1,2M1,2,3,4,5,寫出集合M所有的可能情況.解:由題意可以確定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一個,因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下:含有3個元素:1,2,3,1,2,4,1,2,5;含有4個元素:1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5;含有5個元素:1,2,3,4,5.故滿足條件的集合M為1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5.(1)寫一個集合的子集時,可按子集中元素的個數(shù)多少分類寫出,注意要做到不重不漏.(2)n個元素的集合,其子集、真子集的個數(shù)討論:的子集只有1個

7、.a的子集有2個.a,b的子集有4個.a,b,c的子集有8個.含有n個元素的集合M有2n個子集,有(2n-1)個非空子集,有(2n-1)個真子集,有(2n-2)個非空真子集.寫一個集合的子集時,不要忘記和其本身.探究角度2集合間關(guān)系的判斷例2 寫出下列各對集合之間的關(guān)系:(1)A=x|-1x4,B=x|x-50;(2)A=x|x=2n,nZ,B=y|y=k+2,kZ;(3)A=x|x=k+12,kZ,B=x|x=2k+12,kZ.解:(1)集合B=x|x5,用數(shù)軸表示集合A,B如圖所示,由圖可知AB.(2)當(dāng)k,n取整數(shù)時,A=,-4,-2,0,2,4,6,B=,-5,-4,-3,-2,-1,

8、0,1,2,3,4,5,6,故AB.(3)集合A中,x=k+12=2k+12(kZ),因此kZ時,2k+1是奇數(shù);集合B中,x=2k+12=4k+12(kZ),因此kZ時,4k+1只表示部分奇數(shù),故BA.即時訓(xùn)練2-1:寫出下列每對集合之間的關(guān)系:(1)A=1,2,3,4,5,B=1,3,5;(2)C=x|x2=1,D=x|x|=1;(3)E=-1,1,F=(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1);(4)G=等腰三角形,H=等邊三角形.解:(1)因為B的每個元素都屬于A,而4A且4B,所以BA.(2)因為C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D.(3)集合E的代表元素是數(shù),集合F

9、的代表元素是實數(shù)對,因此兩集合之間無包含關(guān)系.(4)由于等邊三角形是三邊相等的三角形,等腰三角形是兩邊相等的三角形,故GH.判斷兩個集合間的關(guān)系時,首先要明確集合的元素特征,分析集合的元素之間的關(guān)系,然后根據(jù)以下方法判斷:(1)直接法:首先判斷一個集合A中的任意一個元素是否屬于另一個集合B.若是,則AB,否則A不是B的子集.其次通過判斷另一個集合B中的任意一個元素是否屬于集合A來判斷它們之間的真子集關(guān)系.(2)對于用列舉法表示的集合,只需要觀察其元素即可知道它們之間的關(guān)系.(3)對于用描述法表示的集合,要從所含元素的特征來分析;若集合之間可以統(tǒng)一形式,則需要統(tǒng)一形式后判斷.(4)而對于不等式表

10、示的數(shù)集,可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素,直觀地進(jìn)行判斷,但要注意端點值的取舍.集合相等例3 已知A=1,x,2x,B=1,y,y2,若AB,且AB,求實數(shù)x和y的值.解:由AB,且AB知,A=B.由集合相等的概念可得x=y,2x=y2,或x=y2,2x=y.解方程組得x=0,y=0,或x=2,y=2,或x=14,y=12.當(dāng)x=0,y=0時,A=1,0,0,B=1,0,0不符合集合中元素的互異性,舍去.所以x=2,y=2或x=14,y=12.即時訓(xùn)練3-1:設(shè)集合A=x,y,B=0,x2,若A=B,求實數(shù)x,y的值.解:因為集合A,B相等,所以x=0或y=0.(1)當(dāng)x=0時,x2=0,則B=0,

11、0,不滿足集合中元素的互異性,故舍去.(2)當(dāng)y=0時,x=x2,解得x=0或x=1.由(1)知x=0應(yīng)舍去.綜上知,x=1,y=0.根據(jù)集合相等求參數(shù),首先分析一個集合中元素與另一集合中哪個元素相等,分幾種情況進(jìn)行討論,然后通過列方程(組)求解.當(dāng)集合中的未知元素不止一個時,情況會更復(fù)雜,需要多次討論.求出參數(shù)后要根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行檢驗,排除不合要求的解.根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值或取值范圍探究角度1求參數(shù)值例4 集合A=x|x2=4,xR,集合B=x|kx=4,xR,若BA,則實數(shù)k=.解析:A=x|x2=4,xR=-2,2.因為BA,所以B=,B=2,B=-2,B=-2,2.因為方

12、程kx=4最多有一個實數(shù)根或無根,因此分類討論如下:當(dāng)B=時,方程kx=4無實根,所以k=0;當(dāng)B=2時,則2是方程kx=4的實根,故2k=4k=2;當(dāng)B=-2時,則-2是方程kx=4的實根,故-2k=4k=-2.綜上可知實數(shù)k=0,2,-2.答案:0,2,-2即時訓(xùn)練4-1:已知集合A=1,3,m,B=1,m,BA,則m等于()(A)0或3(B)0或3(C)1或3(D)1或3解析:因為BA,所以m=3或m=m.若m=3,則A=1,3,3,B=1,3,滿足BA.若m=m,解得m=0或m=1.若m=0,則A=1,3,0,B=1,0,滿足BA;若m=1,則A,B不滿足集合中元素的互異性,舍去.綜上

13、,m=0或m=3,故選B.對于兩個集合是用列舉法或描述法(元素個數(shù)有限)表示的集合間的關(guān)系,常轉(zhuǎn)化為方程(組)求解,注意所求參數(shù)要滿足集合中元素互異性,若含參數(shù)的集合是一個給定集合的子集時,還要注意空集是任何集合子集的特殊情況,如本例中k=0,若忽視,則丟解.探究角度2求參數(shù)范圍例5 已知集合A=x|x4,B=x|2axa+3,若BA,求實數(shù)a的取值范圍.解:當(dāng)B=時,只需2aa+3,有a3;當(dāng)B時,根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸,可得a+32a,a+34,解得a-4,或2a3.綜上可得,實數(shù)a的取值范圍為a|a2.變式訓(xùn)練5-1 把集合A換成“A=x|-1x2”,集合B不變,求AB時,實數(shù)a的取

14、值范圍.解:因為A=x|-1x2,B=x|2axa+3.若AB,如圖,所以2a-1,a+32,所以實數(shù)a的取值范圍為a|-1a-12.變式訓(xùn)練5-2 本例中,若將B改為B=x|2ax2a,a+3-1,或a+32a,2a4.解得a-4或2a3.綜上,可得實數(shù)a的取值范圍為a|a-4或a2.即時訓(xùn)練5-1:已知A=x|x3,B=x|xa.(1)若BA,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若AB,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)因為BA,B是A的子集,由圖(1)得a3.(2)因為AB,A是B的子集,由圖(2)得a3.由含參數(shù)的連續(xù)數(shù)集之間的子集、真子集關(guān)系求參數(shù)取值范圍時常利用數(shù)軸法求解,若含參數(shù)的集合是確定集

15、合的子集或真子集時,應(yīng)考慮該集合為空集的特殊情況,并且要注意驗證參數(shù)的端點值是否滿足題意.例1 (多選題)下列各組中的兩個集合相等的有()(A)P=x|x=2n,nZ,Q=x|x=2(n+1),nZ(B)P=x|x=2n-1,nN+,Q=x|x=2n+1,nN+(C)P=x|x2-x=0,Q=x|x=1+(-1)n2,nZ(D)P=x|y=x+1,Q=(x,y)|y=x+1解析:A中集合P,Q都表示所有偶數(shù)組成的集合,有P=Q;B中P是由1,3,5,所有正奇數(shù)組成的集合,Q是由3,5,7,所有大于1的正奇數(shù)組成的集合,1Q,所以PQ.C中P=0,1,當(dāng)n為奇數(shù)時,x=1+(-1)n2=0,當(dāng)n

16、為偶數(shù)時,x=1+(-1)n2=1,所以Q=0,1,P=Q.D中集合P表示直線y=x+1上點的橫坐標(biāo)表示的集合,而集合Q則表示直線y=x+1上點的坐標(biāo)構(gòu)成的集合,所以PQ.故選AC.例2 已知A=x|x=2n,nN,B=x|x=4n,nN.分別列出這兩個集合中最小的3個元素,并證明BA.解:A中最小的3個元素是0,2,4,B中最小的3個元素是0,4,8.證明:對任意xB,存在nN,使x=4n.因為4n=2(2n),而2nN,所以xA.所以BA,又2A且2B,故BA.例3 若A=x|x2-2mx+m2-m+2=0,B=x|x2-3x+2=0,且AB,求實數(shù)m的取值范圍.解:由x2-3x+2=0可得(x-1)(x-2)=0,因此B=1,2.又因為由x2-2mx+m2-m+2=0可得(x-m)2=m-2,因此:(1)當(dāng)m-20,即m2時,A=,滿足題意;(2)當(dāng)m-20,即m2時,A,由AB可知1A或2A:當(dāng)1A時,由1-2m+m2-m+2=0可知m2-3m+3=0,該方程無實數(shù)解,不成立;當(dāng)2A時,由4-4m+m2-m+2=0可知m2-5m+6=0,解得m=2或m=3,而且m=2時,A=2,滿足題意,m=3時,A=2,4,不滿足題意.綜上可知,m的取值范圍是m|m2. 1.已知全集U=R,則能表示集合M=-1