概率論與隨機(jī)過(guò)程課件 1.3

1、1.3 條件概率1.3.1 條件概率與乘法公式 直觀上，用來(lái)表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)，稱(chēng)為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。記為P(A|B).例 設(shè)有100件的某一批產(chǎn)品，其中有5件不合格品，而5件產(chǎn)品中又有了3件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)任意在100件產(chǎn)品中抽取一件，求 1）抽得的是廢品的概率； 2）已知抽得的是不合格品,它是廢品的概率。1解：令A(yù)表示“抽得的是廢品”這一事件，B表示“抽得的是不合格品”這一事件按古典概率計(jì)算易得： 由此看到P（A） P（A|B） 本例中條件概率P（A|B）是根據(jù)條件概率的直觀意義計(jì)算出來(lái)的，但一般地，條件概率如何定義呢？ 通過(guò)

2、簡(jiǎn)單的運(yùn)算得： 2上述關(guān)系具有普遍意義：(1) 從古典概率看：(2) 從頻率的穩(wěn)定性上看：設(shè)實(shí)驗(yàn)E做了n次，令：nA,nB,nAB分別表示事件A,B及AB在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，那么nAB/nB表示在B發(fā)生的那些結(jié)果中，A又出現(xiàn)的頻率，即：已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的條件頻率fn(A|B)。 如果n足夠大， fn(AB)接近P(AB),fn(B)接近P(B),則nAB/nB接近P(A|B),因此，在統(tǒng)計(jì)概率中上式亦成立。31定義: 設(shè)A，B是兩事件，且P(B)0，稱(chēng)為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.注 （1）若P(A)0，同樣可定義（2）條件概率P（|B）滿(mǎn)足概率定義的三條公理，即1

3、. 對(duì)于每一事件A，有P（A/B）0;42. P（|B）=13. 設(shè)A1，A2兩兩不相容，則有5 P（|B）=0 P（A|B）=1P（A|B） P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)P(A1A2|B)等等概率所證明的重要結(jié)果都適用于條件概率，例如：(3) P（A）與條件概率P（A|B）的關(guān)系： P(A)P(A|B)， P(A)0，則P(AB)=P(A|B)P(B) 若P(A)0,則P(AB)=P(B|A)P(A) 上述公式可推廣到任意有窮多個(gè)事件時(shí)的情形，例如，設(shè)A，B，C為事件，且P(AB)0，則 P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB) 這里，注意到由假設(shè)P(AB)0

4、可推得P(A)P(AB)0.一般，設(shè)A1,A2,An為n個(gè)事件，n2,且P(A1A2An-1)0，則有: P(A1A2An )= P(A1)P(A2|A1) P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1)10例1.盒中5個(gè)白球，2個(gè)黑球，連續(xù)不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。 解：設(shè)Ai表示第 i 次取到黑球在利用條件概率求無(wú)條件P時(shí)，條件P往往用古典概型計(jì)算。11例2. 設(shè)某同學(xué)眼鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10，試求透鏡落下三次而未打破的概率。 解：Ai(i=1

5、,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”， 以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”。因?yàn)锽=123 ，故有 P(B)=P(123)= P(1)P(2|1)P(3|12) = (1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/20012 法二，按題意B=A11A212A3而A1，1A2，12A3 是兩兩互不相容的事件，故有 P(B)=P(A1)+P(1A2)+ P(12A3) 13例3: 設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球，每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。 解: 以Ai(i=1,2,

6、3,4)表示事件“第i次取到紅球”，則3，4 分別表示事件第三、四次取到白球。則所求概率為： P(A1A234)=P(4|A1A23)P(3|A1A2)P(A2|A1)P(A1) 14 將復(fù)雜問(wèn)題適當(dāng)?shù)姆纸鉃槿舾珊?jiǎn)單問(wèn)題，從而逐一解決，是常用的工作方法。 全概率公式就是這種方法在概率論上的體現(xiàn)。15先介紹樣本空間的劃分的定義。定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,Bn為E的一組事件，若 （1） BiBj=,ij , i , j =1,2,n;（2） B1B2Bn=S，則稱(chēng)B1，B2，,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分。 例如，設(shè)試驗(yàn)E為“擲一顆骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”。它的樣本空間為=1，2，3，4，5

7、，6。E的一組事件B1=1，2，3，B2=4，5，B3=6是的一個(gè)劃分，而事件組C1=1，2，3，C2=3，4，C3=5，6不是S的劃分。 任意試驗(yàn)的基本事件組構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。16 定理1.3.2 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，Bn為S的一個(gè)劃分，且P(Bi)0(i=1,2，n)則 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn) 稱(chēng)為全概率公式。 證：因?yàn)锳=AS=A（B1B2Bn）=AB1AB2ABn由假設(shè)P(Bi)0(i=1,2，n)，且 (ABi)(ABj )=，ij，于是 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB

8、n) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn)1.3.2 全概率公式和貝葉斯公式17例 一箱同類(lèi)型的產(chǎn)品,由三家工廠生產(chǎn),其中1/2由甲廠生產(chǎn),乙丙廠各生產(chǎn)1/4,又甲乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品均有2%的次品率,丙廠有4%的次品率,求任取一產(chǎn)品是次品的概率P(A); 任取一產(chǎn)品是次品且恰是由甲廠生產(chǎn)的概率P(AB1);任取一產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品,問(wèn)它是由甲廠生產(chǎn)的概率P(B1|A) 甲B1乙B2丙B3解: S=箱中的全部產(chǎn)品A:任取一產(chǎn)品是次品,Bi:取到的產(chǎn)品分別是由甲,乙,丙廠生產(chǎn)的.由題意: P(B1)=1/2, P(B2)= P(B3)=1/4,18P(A|B1)=

9、 P(A|B2)=2/100; P(A|B3)=4/100且BiBj=,ij , i , j =1,2,3. B1B2B3=S由全概率公式 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =0.025.2)由乘法公式 P(A B1)=P(A|B1)P(B1) =0.01.3) P(B1|A)=P(B1A)/ P(A), 由上面計(jì)算為0.4. 19小結(jié):利用全概率公式求P(A)時(shí),關(guān)鍵是1) 找到S的一個(gè)劃分B1，B2，Bn , A總隨著B(niǎo)i出 現(xiàn),而 P(A|Bi)及P(Bi)容易求出.2) 這個(gè)公式還可以從另外一個(gè)角度去理解，把Bi看成導(dǎo)致事件A發(fā)生的

10、一種可能途徑。對(duì)于不同的途徑，A發(fā)生的概率即條件概率P（A|Bi）各不同，而采取哪個(gè)途徑卻是隨機(jī)的。直觀上易理解，在這種機(jī)制下，A的綜合概率P（A）應(yīng)在最小的P（A|Bi）和最大的P（A|Bi）之間，它也不一定是所有P（A|Bi）的算術(shù)平均，因?yàn)楦魍緩奖皇褂玫臋C(jī)會(huì)P（Bi）各不同，正確的答案就是諸P（A|Bi） I=1,2, n為權(quán)的加權(quán)平均值。 20B1B2Bn原因A結(jié)果P（Bi）全概公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn) 加權(quán)平均值21例 盒中12個(gè)乒乓球，9個(gè)沒(méi)用過(guò)，第一次比賽從盒中任取3個(gè)球，用后放回，第二次比賽再?gòu)暮兄腥稳?個(gè)球，求

11、：第二次比賽時(shí)所取的3個(gè)球都是沒(méi)用過(guò)的概率。解：設(shè)A:第二次比賽時(shí)所取的3個(gè)球都是沒(méi)用過(guò)的; Bi:第一次比賽時(shí)所取的3個(gè)球恰有i個(gè)是沒(méi)用過(guò)的。則A的發(fā)生依賴(lài)于Bi的情況，Bi構(gòu)成了任取3個(gè)球這一試驗(yàn)的樣本空間的一個(gè)劃分。22于是23定理1.3.3 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的事件，B1，B2，Bn為S的一個(gè)劃分，且P（A）0，P（Bi）0（i=1，2，n），則 i=1，2，n.稱(chēng)為貝葉斯（Bayes）公式。證：由條件概率的定義及全概率公式有i=1，2，n貝葉斯公式24 例1:某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)。元件制造廠次品率及提供晶體管的份

12、額 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志（1）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管求它是次品的概率。（2）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管，若已知取到的是次品，求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少。 25解: 設(shè)A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”，易知，B1，B2，B3是樣本空間S的一個(gè)劃分，且有P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05，P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03（1）由全概率公式 P(A

13、)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =0.0125（2）由貝葉斯公式 P（B2|A）=0.64，P（B3|A）=0.1226例2: 對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%，試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？先驗(yàn)概率后驗(yàn)概率 解: 設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，所需求的概率為P(B|A)，由貝葉斯公式_27例3: 據(jù)調(diào)查

14、某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004，若記“該地區(qū)居民患肝癌”為事件B1并記B2=B1,則 P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996 現(xiàn)用甲胎蛋白法檢查肝癌，若呈陰性，表明不患肝癌，若呈陽(yáng)性，表明患肝癌，由于技術(shù)和操作不完善以及種種特殊原因，是肝癌者還未必檢出陽(yáng)性，不是患者也有可能檢出呈陽(yáng)性，據(jù)多次實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)這二者錯(cuò)誤發(fā)生的概率為： P（A|B1）=0.99,P（A|B2）=0.05 其中事件A表示“陽(yáng)性”，現(xiàn)設(shè)某人已檢出呈陽(yáng)性，問(wèn)他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？解：28 在實(shí)際中，醫(yī)生常用另一些簡(jiǎn)單易行的輔助方法先進(jìn)行初查，排除大量明顯不是肝癌的人，當(dāng)醫(yī)生懷疑某人有可能患肝癌時(shí)，才建議用甲胎蛋白法檢驗(yàn)。這時(shí)在被懷疑的對(duì)象中，肝癌的發(fā)病率已顯著提高了，比如說(shuō)P（B1）=0.4，這時(shí)再用貝葉斯公式進(jìn)行計(jì)算，可得這樣就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率了。29 全概率公式還可以從另外一個(gè)角度去理解，B1B2Bn原因A結(jié)果P（Bi）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+