案例1.變式教學(xué)

1、“關(guān)注書本習(xí)題，1說題流程：解法背景題目感悟說 題功能2說題流程：解法背景題目感悟說 題功能3（一）說背景如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。浙教版八年級上冊數(shù)學(xué)第二章特殊三角形的第七節(jié)直角三角形全等的判定課后作業(yè)題第2題(第47頁)4（一）說背景如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。（3）掌握了直角三角形全等的判定。（1）學(xué)會了全等三角形的判定和性質(zhì)；（2）認(rèn)識了直角三角形及它的性質(zhì)；5說題流程：解法背景題目感悟說 題功能6（二）說題目如圖，ABBD于點(diǎn)B

2、，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。知識點(diǎn)涉及：（1）垂直的意義；（2）同角的余角相等；（3）三角形外角的性質(zhì)；（4）三角形全等的判定.7（二）說題目如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。（1）三個垂直；（2）一組邊相等.已知條件：8（二）說題目如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。(3)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.隱含條件：(1)BPD=1800；(2)三角形的內(nèi)角和等于1800；9（二）說

3、題目如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。是一道幾何證明題。證明ABPPDC，目標(biāo)：10說題流程：解法背景題目感悟說 題功能11（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。 都說思維起點(diǎn)的選擇是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，當(dāng)思維起點(diǎn)合理、準(zhǔn)確時，就能得心應(yīng)手，當(dāng)思維起點(diǎn)偏離時，就容易誤入歧途。12（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。思維的起點(diǎn)： 尋找判定三角形全等的方法.13（三）說解

4、法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。學(xué)習(xí)方式： 獨(dú)立思考14（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。教師引導(dǎo)：（1）題目當(dāng)中有哪些已知量？需要你求解的問題是什么？用筆劃出關(guān)鍵詞，并在圖上做標(biāo)記15教師引導(dǎo)：（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。（2）你所知道的可以判定三角形全等的方法有哪些？學(xué)生回答，教師板書羅列HL; SSS; SAS; AAS; ASA.16（三）

5、說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。教師引導(dǎo)：（3）題目當(dāng)中的已知量夠你用來判定三角形全等了嗎？HL; SSS; SAS; AAS; ASA.17教師引導(dǎo)：（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。（4）請估測哪個方法更合理一些？HL; SSS; SAS; AAS; ASA.AAS; ASA.（5）如果選用“AAS”方法證明，那么還需要什么條件？需要一組相等的對應(yīng)角18（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=P

6、C，APPC，則ABPPDC，請說明理由。AAS; ASA.教師引導(dǎo)：（6）請尋找第二組對應(yīng)角，并說明它們相等；對應(yīng)角：APB和C， A和CPD.19（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。AAS; ASA.教師引導(dǎo)：（6）請尋找第二組對應(yīng)角，并說明它們相等；對應(yīng)角：APB和C，A和CPD.該如何說明它們相等呢？20（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。AAS; ASA.教師引導(dǎo)： 要說明APB=C，必須借助其他的角.（7）你可以借助哪個

7、角？CPD21（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。AAS; ASA.由題意可得： C與CPD互余， APB與CPD互余，根據(jù)同角的余角相等，故而APB=C.22（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。AAS; ASA.同理可得： A=CPD. 請寫出該題的解答過程.23（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。ABBD,B=900，根據(jù)三角和的內(nèi)角和是1800，

8、A+APB=900，同理D=900，C+CPD=900，APPC，APB+CPD=900，根據(jù)等量代換，APB=C，在ABP和PDC中，APB=C，B=D，AP=CD，ABPPDC（AAS）.方法一：AAS.24（三）說解法如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。ABBD,根據(jù)三角和的內(nèi)角和是1800，A+APB=900，同理C+CPD=900，APPC，APB+CPD=900，根據(jù)等量代換，APB=C，A=CPD，在ABP和PDC中，APB=C，AP=CD，A=CPD，ABPPDC（ASA）.方法二：ASA.25（三）說解法如

9、圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。習(xí)題小結(jié)：提問：除了利用同角的余角相等來說明對應(yīng)角相等外，有沒有其他方法說明對應(yīng)角相等？ 在已經(jīng)知道三個直角的情況下，可以利用同角的余角相等來說明對應(yīng)角相等.26說題流程：解法背景題目感悟說 題功能27（四）說功能數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合；知識功能：（1）鞏固“四基”，通過解題使學(xué)生獲得系統(tǒng)的三角形全等判定的數(shù)學(xué)知識，形成必要的解決幾何題的技能技巧；能力培養(yǎng)：培養(yǎng)學(xué)生的探索、分析問題的能力，考查學(xué)生的觀察與歸納能力；（2）建立起新舊知識間的聯(lián)系，引起學(xué)生的思考，讓學(xué)生明白，并不是所有的直角三角

10、形全等的判定都是用“HL”的，而是應(yīng)該靈活應(yīng)用所學(xué)知識，正確選擇解題方法。28（四）說功能變式一（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D=600，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC能否類比前一題的解題方法？（1）三個600的角；（2）一組邊相等.已知條件：發(fā)現(xiàn)：無法用同角的余角相等來說明對應(yīng)角相等.29（四）說功能變式一（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D=600，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC教師引導(dǎo)：（1）該用什么方法說明對應(yīng)角相等呢？學(xué)習(xí)方式：獨(dú)立思考，自主探索；小組合

11、作學(xué)習(xí)30（四）說功能變式一（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D=600，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC學(xué)生很快會得到要說明APB=C，可以借助三角形的內(nèi)角和等于1800.由題意可得， C+CPD=1200，APB+CPD=1200，APB=C.31（四）說功能變式一（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D=600，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC學(xué)生很快會得到要說明APB=C，也可以直接借助三角形外角的性質(zhì).APB+APC=BPC， C+D=BPC， APC=D，APB=

12、C.32（四）說功能變式一（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D=600，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC教師巡視，個別指導(dǎo)個別展示33（四）說功能變式一（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D=600，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC發(fā)現(xiàn)兩種解題思路：（1）利用三角形的內(nèi)角和等于1800；習(xí)題小結(jié)： （2）直接利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.34（四）說功能變式一（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D=600，AP=PC，那么A

13、BP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC提問：既然該題有兩種解題思路，那么前一題，是否也可以用這兩種解題思路解答呢？習(xí)題小結(jié)：35如圖，ABBD于點(diǎn)B，CDBD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，APPC，則ABPPDC，請說明理由。發(fā)現(xiàn)：之前的解答，就是利用了三角形的內(nèi)角和.而該題同樣可以利用三角形的外角的性質(zhì)來解答.（四）說功能36（四）說功能變式一（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D=600，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC 強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想：類比，從特殊到一般，從一般到特殊.變式功能：37（四）說功能變式二（弱化條件）如圖

14、，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC能否類比前一題的解題方法？（1）三個相等的角；（2）一組邊相等.已知條件：發(fā)現(xiàn)：可以類比.38（四）說功能變式二（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC 在已經(jīng)知道三個角相等，一組邊相等的情況下，就可以說明兩個三角形全等。習(xí)題小結(jié)：39（四）說功能變式二（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC 提煉

15、模型，從特殊到一般，升華學(xué)生對該模型的理解與掌握。變式功能：40（四）說功能變式三（弱化條件）如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D，AP=PC，那么ABP和PDC是否全等？請說明理由。ABPDC如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D， 那么ABP和PDC是否全等？如果全等，請說明理由；如果不全等，那么它們是什么關(guān)系？通過類比，學(xué)生可以得到，在一組對應(yīng)邊相等這個條件被弱化的前提下，兩個三角形已經(jīng)不全等了，而是相似.41（四）說功能變式三（弱化條件）ABPDC如圖，ABP和PDC中，點(diǎn)P在線段BD上，B=APC=D， 那么ABP和PDC是否全等？如果全等，請說

16、明理由；如果不全等，那么它們是什么關(guān)系？進(jìn)一步提煉模型，三個角相等，可得兩個三角形相似.變式功能：42（四）說功能鏈接中考（2012年湖北）在ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作MDN=B.（1）如左圖，當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時，DM交邊AC于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與ADE相似的三角形；（2）如右圖，MDN繞點(diǎn)D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論；43說題流程：解法背景題目感悟說 題功能44（五）說感悟 這一組變式題，始終圍繞三角形全等的判定，三角形相似的判定而展開，由易到難，由特殊到一般，得到“三個相等的角，一組相等的對應(yīng)邊，則兩個三角形全等