23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、2.3等差數(shù)列的前n1學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過程；2、初步掌握公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，難點(diǎn)是獲得推導(dǎo)公式的思路?？朔y點(diǎn)的關(guān)鍵 是通過具體例子發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律2前提檢測(cè):(1)什么叫等差數(shù)列?(2)數(shù)列“1,2,3,n,”是等差數(shù)列嗎?為什么?(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.其形式化表示為:an=a1+(n-1)d3一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的引入：、引例：1+2+3+100=?2、高斯的算法： 首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+100=101, 第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：

2、2+99=101, 第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3+98=101, 第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50+51=101. 于是所求的和為：高斯，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家。43、上述求解過程帶給我們什么啟示？(1)所求的和可以用首項(xiàng)、末項(xiàng)及公差來表示；(2)任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和。解法2:設(shè)：S= 1+2+3+4+97+98+99+100 , S=100+99+98+97+4+3+2+1 ,2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ (97+4)+(98+3) +(99+2)+(100+1) =100101 s=100(1+100)/2S=5050注：此法稱倒序求和

3、（屬代數(shù)法）5二、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn an=a1+n(n-1)d6設(shè):Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an , Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+ +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 )? 2Sn=n(a1+an) sn=n(a1+an)/27解決疑難問題定理 ：數(shù)列an是等差數(shù)列，m,n,p,q分別為自然數(shù) 若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.證明：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d,則am+an=a1+(m-1)d+a1+(

4、n-1 )d =2a1+(m+n-2)dap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d = 2a1+(p+q-2)d m+n=p+q, m+n-2=p+q-2 am+an=ap+aq82.公式記憶 用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式，這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列前 項(xiàng)和的兩個(gè)公式.910三、應(yīng)用舉例：、一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支。這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？解：由題意可知，這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列，將其記為an，則有a1=1, a120=120.根據(jù)等差數(shù)

5、列前n項(xiàng)和的公式：答：V形架上共放著7260支鉛筆。11三、應(yīng)用舉例：、等差數(shù)列10，6，2，2，前多少項(xiàng)和是54？解：將題中的等差數(shù)列記為an，sn代表該數(shù)列 的前n項(xiàng)和，則有a1=10, d=6(10)=4 設(shè)該數(shù)列前n 項(xiàng)和為54 根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：解得n1=9, n=3(舍去)因此等差數(shù)列10,6,2,2，前9項(xiàng)的和是54.12四、隨堂練習(xí)、根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的sn(1)a=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=322、(1)求正整數(shù)列中前n個(gè)數(shù)的和； (2)求正整數(shù)列中前n個(gè)偶數(shù)的和。3、等差數(shù)列5,4,3,2,1,前多少項(xiàng)的和是30？前15項(xiàng)13小結(jié) 一、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 Sn=na1+n(n-1)d/2 Sn=na1+ an /2 二、運(yùn)用和應(yīng)用 （1）函數(shù)思想 （2）方程思想 （3）