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文檔簡介

1、第八章相關(guān)與回歸分析. 相關(guān)分析. 一元線性回歸分析. 相關(guān)分析. 相關(guān)分析的概念加拿大的一位科學(xué)家 ( ) 猜測: 嚴(yán)重暴力罪犯是否在生理結(jié)構(gòu)上就與正常人有區(qū)別? 之后, 他研究了監(jiān)獄內(nèi)幾十名嚴(yán)重暴力罪犯的血樣, 發(fā)現(xiàn)其中一種叫作 的物質(zhì)只相當(dāng)于正常人的 / , 而且暴力犯罪越嚴(yán)重, 含量越低。 西班牙的一位科學(xué)家對(duì)斗牛士進(jìn)行了相似的實(shí)驗(yàn), 也得到相似的結(jié)果。 同樣也對(duì)一些膽子很小、 “ 不惜一切, 避免任何風(fēng)險(xiǎn)” 的人進(jìn)行了相似的實(shí)驗(yàn), 發(fā)現(xiàn) 含量偏高。 于是, 他著手研制一種能夠降低某些膽小的人血液中的 含量的藥, 以使他們能與普通人同樣生活。 這是一種現(xiàn)象: 暴力傾向強(qiáng)的人, 同時(shí)血液

2、中 的含量也低; 相反, 膽子小的人, 含量高。 人們會(huì)很自然地猜測 是否決定了一個(gè)人的暴力傾向?下一頁返回. 相關(guān)分析諸如此類的情況, 都存在這樣的過程: 人們發(fā)現(xiàn)某種現(xiàn)象的變化經(jīng)常會(huì)引起另一現(xiàn)象的變化, 這可以被視為不太明確的規(guī)律; 人們?yōu)榱蓑?yàn)證、 利用這些規(guī)律, 會(huì)進(jìn)一步實(shí)驗(yàn), 篩選出最主要的變量, 再進(jìn)行理論論證, 直至形成一種比較穩(wěn)定的、 可控的操作模式。 這個(gè)過程用統(tǒng)計(jì)術(shù)語來表述就是: 通過大量觀察, 發(fā)現(xiàn)某兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系, 再對(duì)這兩個(gè)變量的一系列觀測值進(jìn)行有效的統(tǒng)計(jì)技術(shù)處理 ( 下面將要介紹的回歸分析方法是主要的手段) ,形成具有一定概率的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 如何驗(yàn)證或解釋統(tǒng)計(jì)規(guī)

3、律則是統(tǒng)計(jì)方法以外的事業(yè), 前述三個(gè)事例都屬于生物學(xué)、 生理學(xué)領(lǐng)域。 經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的 “ 恩格爾定律” 也有類似的情形。上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析“ 事物間是普遍聯(lián)系的” , 一種現(xiàn)象的變化總是依賴或影響著其他現(xiàn)象的變化, 運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法的目的之一就是從數(shù)量上測度事物之間的 “ 聯(lián)系及其程度” 。 事物之間存在依存關(guān)系, 從統(tǒng)計(jì)學(xué)的視角看, 可以把事物間的關(guān)系視為變量間的關(guān)系。 為了簡化討論, 假設(shè)相互聯(lián)系發(fā)生在兩個(gè)事物或兩個(gè)變量之間, 則兩者間關(guān)系的緊密程度即統(tǒng)計(jì)學(xué)要探索和度量的對(duì)象。例如, 一瓶純凈水價(jià)格為 元錢, 我們每多買一瓶, 就需要多花費(fèi) 元錢, 將購買數(shù)量(瓶) 記為 , 支付總額

4、記為 , 則 。 這種關(guān)系說明, 一個(gè)變量的變化完全能夠決定另一個(gè)變量的變化。 其他的類似情況很多, 其基本特點(diǎn)是: 當(dāng)自變量取某一個(gè)值時(shí), 因變量有確定的值與之對(duì)應(yīng), 這就是 “ 函數(shù)關(guān)系” 。 因此, 函數(shù)關(guān)系是指事物之間客觀存在的, 并且在數(shù)量關(guān)系上是嚴(yán)格的確定性的關(guān)聯(lián)。上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析然而, 現(xiàn)實(shí)世界中還有許多情況是現(xiàn)象之間存在著客觀聯(lián)系, 但在數(shù)量上表現(xiàn)為不確定的相互關(guān)系。 例如, 一般地, 一個(gè)人的身高越高, 他的體重也應(yīng)該越重, 但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有些身高為 米的人較身高為 米的人體重重; 又如, 單位生產(chǎn)成本的高低與利潤的多少的關(guān)系; 廣告費(fèi)支出與產(chǎn)品銷售量之間的關(guān)系等。

5、 類似的情況很多, 其基本特點(diǎn)是: 當(dāng)一種現(xiàn)象發(fā)生數(shù)量上的變化時(shí), 另一現(xiàn)象也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化, 但其變化是不確定的。 眾多現(xiàn)象所形成的復(fù)雜性和認(rèn)識(shí)的局限性, 或者實(shí)驗(yàn)誤差、 測量誤差等偶然因素, 使得當(dāng)一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí), 另一個(gè)變量與之對(duì)應(yīng)的數(shù)值變化會(huì)有多種可能, 或分布于平均值周圍, 或在一定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)波動(dòng)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中, 把這種現(xiàn)象之間在數(shù)量上非確定性的對(duì)應(yīng)關(guān)系叫作 “ 相關(guān)關(guān)系” 或 “ 統(tǒng)計(jì)關(guān)系” 。 因此, 我們把相關(guān)看作現(xiàn)象或變量之間的數(shù)量關(guān)聯(lián), 從而有() 完全確定的關(guān)聯(lián)函數(shù)關(guān)系。上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析從以上的分析可以看出, 探討現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系是發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)在相關(guān)性的一

6、種捷徑,有時(shí)甚至能夠指明研究方向的重要信息, 而且許多現(xiàn)象也證實(shí)了這種機(jī)制。 例如, 天花是一種毀壞性很強(qiáng)的傳染病, 但有人發(fā)現(xiàn), 牧場里擠牛奶的姑娘幾乎從來不染天花, 經(jīng)過多次的“ 試錯(cuò)” 活動(dòng), 牛痘誕生了, 天花不再肆虐, 以至于現(xiàn)在, 天花病毒在某些范圍內(nèi)成為瀕臨滅絕的需要保護(hù)的生物物種; 再如, 風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎是一種頑疾, 但人們發(fā)現(xiàn), 養(yǎng)蜂人幾乎不患關(guān)節(jié)炎, 與產(chǎn)生牛痘的艱難過程相似, 治療關(guān)節(jié)炎的 “ 蜂毒” 出現(xiàn)了。上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析. . 相關(guān)分析的分類感知某種事物的存在, 人們很自然地就要去理解、 解釋這種事物。 現(xiàn)象間存在著相關(guān)關(guān)系, 這些 “ 關(guān)系” 成為認(rèn)識(shí)的

7、對(duì)象, 我們不禁要問: 這些關(guān)系是怎樣的? 從科學(xué)方法的角度看, 對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愂潜匾摹,F(xiàn)象間的相關(guān)關(guān)系可以按照不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。() 按相關(guān)的程度劃分為完全相關(guān)、 不完全相關(guān)和不相關(guān)。 完全相關(guān)是指一個(gè)變量的變動(dòng)必然會(huì)引起另一個(gè)變量的確定性變動(dòng)的相關(guān)關(guān)系, 如圓的面積與其半徑的相關(guān)關(guān)系。 完全相關(guān)即函數(shù)關(guān)系。 不相關(guān)是指一個(gè)變量的變動(dòng)完全不受另一個(gè)變量數(shù)量變動(dòng)的影響, 彼此間相互獨(dú)立。 不完全相關(guān)是指一個(gè)變量發(fā)生有規(guī)律的變動(dòng), 能引起另一變量對(duì)應(yīng)的規(guī)律性變動(dòng), 但變動(dòng)關(guān)系不確定。上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析() 按相關(guān)的變化方向是否相同可以分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。 當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)量

8、變動(dòng)與另一個(gè)變量的數(shù)量變動(dòng)方向一致時(shí), 稱為正相關(guān)。 如政府財(cái)政收入增加, 則下?lián)芙o各預(yù)算單位的財(cái)政撥款也會(huì)隨之增加。 當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)量變動(dòng)與另一個(gè)變量的數(shù)量變動(dòng)方向相反時(shí),稱為負(fù)相關(guān)。 如勞動(dòng)生產(chǎn)率提高, 則單位產(chǎn)品所消耗的時(shí)間會(huì)減少。() 按相關(guān)關(guān)系中所涉及變量的多少可以分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)。 單相關(guān)又稱簡相關(guān),是指兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系, 即只有一個(gè)自變量和一個(gè)因變量之間的相關(guān), 如投入與產(chǎn)出之間的關(guān)系。 復(fù)相關(guān)又稱多元相關(guān), 是指三個(gè)或三個(gè)以上變量之間的相關(guān)關(guān)系, 如商品銷售額與居民人均可支配收入、 商品價(jià)格之間的相關(guān)關(guān)系。上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析() 按相關(guān)的表現(xiàn)形式不同可以分為直

9、線相關(guān)和曲線相關(guān)。 直線相關(guān)又稱線性相關(guān),是指當(dāng)一個(gè)變量變動(dòng)時(shí), 另一個(gè)變量隨之發(fā)生大致均等的變動(dòng)的相關(guān)關(guān)系。 曲線相關(guān)又稱非線性相關(guān), 是指當(dāng)一個(gè)變量變動(dòng)時(shí), 另一個(gè)變量也隨之發(fā)生變動(dòng), 但這種變動(dòng)不是均等的。在平面直角坐標(biāo)圖中, 前者是變量間變化所對(duì)應(yīng)數(shù)值的散點(diǎn)分布近似地表現(xiàn)為一條直線; 而后者對(duì)應(yīng)數(shù)值的散點(diǎn)分布近似地表現(xiàn)為一條曲線, 如拋物線、 指數(shù)曲線等。 如產(chǎn)品產(chǎn)量與單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本之間的關(guān)系, 當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量在合理范圍內(nèi)增加時(shí), 單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本會(huì)降低, 一旦產(chǎn)品增加超過經(jīng)濟(jì)規(guī)模, 則產(chǎn)量越多, 單位產(chǎn)品成本反而會(huì)上升。 這就是非線性相關(guān)關(guān)系。上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析. . 相

10、關(guān)關(guān)系的度量在研究現(xiàn)象間的相關(guān)關(guān)系時(shí), 常常采用統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)相關(guān)系數(shù)來表明變量之間的相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù) ( ) 是在直線相關(guān)的條件下, 用于表明兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。 變量 和 的相關(guān)系數(shù)定義為上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法有很多種, 實(shí)際應(yīng)用中常用積差法計(jì)算。 其中, ( , ) 常用 表示; ( , ) 是協(xié)方差; ( ) 和( ) 分別是變量 和 的方差。 相關(guān)系數(shù)( , ) 具有以下性質(zhì):()( , ) ,()( ,) 當(dāng)且僅當(dāng) 。相關(guān)系數(shù) ( , ) 的數(shù)值總是介于 與 之間。 若 ( , ) 為正數(shù)或負(fù)數(shù), 則表示兩變量為正相關(guān)或負(fù)相關(guān); (

11、, ) 的絕對(duì)值越接近 , 說明兩個(gè)變量間線性相關(guān)關(guān)系越密切; 反之, ( , ) 越接近 , 說明兩個(gè)變量間線性相關(guān)關(guān)系越弱, 但這并不表示兩變量間不存在其他形式的相關(guān)關(guān)系, 如曲線相關(guān); 特別地, 當(dāng) ( , ) 時(shí),稱 和 不相關(guān), 表示兩變量間無線性相關(guān)關(guān)系。 可見, 相關(guān)系數(shù)是判斷變量間線性關(guān)系的重要指標(biāo)。上一頁下一頁返回. 相關(guān)分析【例 】 對(duì)紅星公司生產(chǎn)的八種產(chǎn)品的銷售額和銷售利潤進(jìn)行調(diào)查, 將調(diào)查得到的原始數(shù)據(jù)按產(chǎn)品銷售額從小到大的順序排列后, 編制相關(guān)報(bào)表, 如表 所示?,F(xiàn)在利用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算, 將各數(shù)據(jù)代入公式求得相關(guān)系數(shù), 如表 所示。從求得的相關(guān)系數(shù)可知, 產(chǎn)品的

12、銷售額和銷售利潤之間存在高度正相關(guān)關(guān)系。上一頁返回. 一元線性回歸分析相關(guān)分析與回歸分析都是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。相關(guān)分析是確定變量相關(guān)關(guān)系的具體形式, 但無法從一個(gè)變量的變化來推測出另一個(gè)變量的變化情況。 因此, 相關(guān)分析需要利用回歸分析來表明現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系的具體形式, 回歸分析則應(yīng)該建立在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上。 回歸分析和相關(guān)分析是互相補(bǔ)充、 密切聯(lián)系的?;貧w分析是研究兩種或兩種以上變量之間相互依賴的定量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法, 在很多行業(yè)都有廣泛的應(yīng)用。 無論是銀行、 保險(xiǎn)、 電信等服務(wù)行業(yè)的業(yè)務(wù)分析人員在進(jìn)行數(shù)據(jù)庫營銷、 欺詐風(fēng)險(xiǎn)偵測, 還是半導(dǎo)體、 電子、 化工、 醫(yī)藥、 鋼鐵等

13、制造行業(yè)的研發(fā)技術(shù)人員在進(jìn)行新產(chǎn)品實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析、 流程優(yōu)化與過程監(jiān)控, 或者更廣義地說, 不同類型的企業(yè)在開展質(zhì)量管理和六項(xiàng)目時(shí), 都會(huì)用到回歸分析?;貧w分析可以幫助我們判斷哪些因素的影響是顯著的, 哪些因素的影響是不顯著的, 還可以利用求得的回歸方程進(jìn)行預(yù)測和控制。下一頁返回. 一元線性回歸分析相關(guān)分析與回歸分析的主要聯(lián)系是:() 研究有一定聯(lián)系的兩個(gè)變量之間是否存在直線關(guān)系以及如何求得直線回歸方程等問題, 需進(jìn)行直線相關(guān)和回歸分析。() 從研究目的來說, 若僅僅為了了解兩變量之間呈直線關(guān)系的密切程度和方向, 則宜選用線性相關(guān)分析; 若僅僅為了建立由自變量推算因變量的直線回歸方程, 則宜選

14、用直線回歸分析。() 作相關(guān)分析時(shí)要求兩變量都是隨機(jī)變量 ( 如人的身高與體重) ; 作回歸分析時(shí)要求因變量是隨機(jī)變量, 自變量可以是隨機(jī)的, 也可以是一般變量 ( 即可以事先指定變量的取值, 如用藥的劑量) 。() 在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)兩變量都是隨機(jī)變量時(shí), 常需同時(shí)給出這兩種方法分析的結(jié)果;另外, 若用計(jì)算器來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)分析, 則可用對(duì)相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)取代對(duì)回歸系數(shù)的檢驗(yàn), 以達(dá)到化繁為簡的目的。上一頁下一頁返回. 一元線性回歸分析相關(guān)分析與回歸分析的主要差別是:() 在回歸分析中, 被稱為因變量, 處在被解釋的特殊地位, 而在相關(guān)分析中, 與 處于平等的地位, 即研究 與 的密切程度和研究 與

15、 的密切程度是一致的。() 相關(guān)分析中, 與 都是隨機(jī)變量, 而在回歸分析中, 是隨機(jī)變量, 可以是隨機(jī)變量, 也可以是非隨機(jī)的。 通常在回歸模型中, 總是假定 是非隨機(jī)的。() 相關(guān)分析研究的主要是兩個(gè)變量之間的密切程度, 而回歸分析不僅可以揭示 對(duì) 的影響大小, 還可以由回歸方程進(jìn)行數(shù)量上的預(yù)測和控制。上一頁下一頁返回. 一元線性回歸分析. . 一元線性回歸分析的概念如果兩個(gè)變量呈現(xiàn)直線相關(guān)關(guān)系 ( 即兩變量的增長比率為常數(shù)) , 則其變動(dòng)的規(guī)律可用一條直線來說明, 即 。 基于兩變量之間的數(shù)量變化常常是采用近似于一條直線的方式變動(dòng), 因此, 回歸分析可以利用數(shù)學(xué)上的線性分析法, 即采用一

16、條直線進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,這條關(guān)于 與 的回歸直線稱為估計(jì)回歸線, 采用的回歸線的方程式稱為回歸方程式, 一元線性回歸方程式表示為: , 其中表示 的估計(jì)值, 表示直線在縱軸上的截距, 表示直線的斜率, 在回歸分析中稱為回歸系數(shù)。 當(dāng) 為正時(shí), 表明自變量和因變量按相同方向變動(dòng); 當(dāng) 為負(fù)時(shí), 表明自變量和因變量按相反方向變動(dòng)。 和 都叫待定參數(shù), 可根據(jù)實(shí)際資料求解其數(shù)值, 最后確定回歸直線方程式。回歸分析的主要步驟有:上一頁下一頁返回. 一元線性回歸分析() 確定相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 如果變量之間表現(xiàn)為直線相關(guān), 則采用直線方程的方法; 如果變量之間表現(xiàn)為曲線相關(guān), 則采用曲線方程的方法。 回

17、歸方程的構(gòu)建是進(jìn)行回歸預(yù)測和計(jì)算的依據(jù)。() 根據(jù)回歸方程, 利用自變量的數(shù)值對(duì)因變量的相應(yīng)值進(jìn)行估計(jì)。 假定變量在未來某一時(shí)間內(nèi)仍以回歸方程為規(guī)律進(jìn)行變化, 則根據(jù)直線方程或曲線方程可以得出自變量的若干數(shù)值, 代入回歸方程, 計(jì)算出因變量的估計(jì)值或預(yù)測值。() 確定應(yīng)變量估計(jì)值的誤差。 采用數(shù)學(xué)方程式來表達(dá)變量間的變化關(guān)系后, 根據(jù)此關(guān)系式可以用給定的自變量值計(jì)算出因變量的估計(jì)值。 因變量估計(jì)值與實(shí)際值誤差越大, 說明建立的數(shù)學(xué)方程式的代表性越小; 反之, 因變量估計(jì)值與實(shí)際值誤差越小, 則說明數(shù)學(xué)方程式的代表性越大。上一頁下一頁返回. 一元線性回歸分析. . 一元直線回歸模型的建立及應(yīng)用在

18、進(jìn)行相關(guān)分析時(shí), 如果自變量與因變量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)大致分布在一條直線周圍或計(jì)算出相關(guān)系數(shù)具有顯著的直線相關(guān)關(guān)系, 那么都可擬合一條回歸直線。 由于根據(jù)分布的散點(diǎn)可以連接成若干條直線, 其中每一條直線都能在一定程度上代表這些散點(diǎn), 且每一條直線都與這些散點(diǎn)之間存在不同程度的誤差, 因此, 對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行一元線性回歸分析的任務(wù)就是在分散的、 具有線性關(guān)系的相關(guān)點(diǎn)之間擬合一條最優(yōu)直線, 以表明兩變量之間的變動(dòng)關(guān)系。 一元線性回歸方程建立相關(guān)分析是以線性關(guān)系為樣板, 討論變量 和 的相關(guān)程度, 這一程度用相關(guān)系數(shù)表示。 我們不禁要問: 這個(gè)樣板是什么? 也就是把這個(gè)做樣板的線性表達(dá)式上一頁下一頁返回. 一元

19、線性回歸分析給出來, 即相當(dāng)于把系數(shù) 和 估計(jì)出來。 這樣, 變量 和 的關(guān)系就可以表示為式中, 為誤差, 是一個(gè)隨機(jī)變量。 顯然, 相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越大, 誤差 在表達(dá)式中占的比例就越小, 也就是線性部分占的比例越大, 這就有可能用線性表達(dá)式 ( ) 近似表達(dá)變量 和 的關(guān)系。 稱線性表達(dá)式 ( ) 為變量 對(duì)于 的一元線性回歸方程?;貧w分析的主要任務(wù)是回答:() 回歸方程 ( ) 能否近似代表變量 和 的關(guān)系。 這實(shí)際是對(duì)線性部分與誤差部分各占比例的估量。() 怎樣估計(jì)回歸方程 ( ) , 也就是怎樣估計(jì)參數(shù) 和 。 顯然, 在任務(wù) () 完成前, 任務(wù) () 無從開始。上一頁下一頁返回.

20、一元線性回歸分析 回歸的基本假設(shè)解決回歸分析的主要任務(wù)還是需要從樣本入手。 套用式 ( ) , 可將式 ( ) 寫成以下所有分析推導(dǎo)都從式 ( ) 出發(fā)。 顯然, 需要用到一些數(shù)學(xué)方法。 為此提出以下基本假設(shè):上一頁下一頁返回. 一元線性回歸分析 回歸系數(shù) 、 的最小二乘估計(jì)這一步驟實(shí)際是估計(jì)回歸方程。 作為變量 和 實(shí)際關(guān)系的近似, 自然要求回歸方程( ) 計(jì)算出的 值與樣本觀察值具有最小誤差, 即把 代入式 ( ) 計(jì)算出的 值與實(shí)際觀察到的 誤差最小。 為此, 取誤差的平方和在求 ( , ) 最小值過程中, 得到 、 的估計(jì)。 數(shù)學(xué)上把這一方法叫作最小二乘法。利用多元函數(shù)求極值方法, 令上一頁下一頁返回. 一元線

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