高考數(shù)學選填靜電題型匯編：題型12 雙元類不等式能成立、恒成立問題

1、題型12 雙元類不等式能成立、恒成立問題【方法點撥】1.x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立,則f(x)min g(x)max； x1D, x2E, 使得f(x1) g(x2)成立,則f(x)min g(x) min；x1D, x2E, 使得f(x1) g(x2)成立,則f(x) max g(x) min.記憶方法：都任意，大小小大（即對于兩個變量都是“任意”的，不等式中較大者的最小值大于不等式中較小者的最大值），存在換任意，大小應互換.2.雙元型不等式恒成立、能成立問題一般應遵循“雙元化一元，逐一處理”的策略，即選擇主次元的方法，一般應”先獨立后分參”,即先處置獨立變量（所謂”

2、獨立變量”是指與所求參數(shù)無關的變量），再處置另一變量,而解題過程中往往采取分參方法.【典型題示例】例1 已知函數(shù)，若對，總，使得，則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】【分析】即.當時，故只需，所以即對恒成立，分參得，令，故；當時，故只需，所以，且，即對恒成立，分參得，令，故；綜上，實數(shù)的取值范圍.例2 已知函數(shù)，若對任意，都存在使成立，則實數(shù)b的取值范圍是 .【解析】由條件可知因為，且、在1，2上單調遞增所以函數(shù)在1，2上單調遞增，所以，即在恒成立，即在恒成立，記，易證在1,2上單調遞增，所以，從而只需，即.點評： 為避免求函數(shù)最小值時的含參討論，逆向轉化為在上恒成立，再利用分離參數(shù)求解.此種處理手

3、段太重要，意味深長！例3 已知函數(shù)，若(0，)，1，0，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是 【答案】【解析】雙變量問題，逐一突破，這里先處理不含參部分由題意得，當時，令，則，即在上為減函數(shù)，故所以，所以恒成立，即恒成立， 又，當且僅當時取等號，所以實數(shù)的取值范圍為 點評：存在性和恒成立混合問題注意理解題意，不等關系轉化為最值的關系.例4 若對任意，存在，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】【解析一】先視為以“”為主元的二次不等式的恒成立，即不等式在上恒成立，所以，即，存在，使不等式成立，再視為以“”為元的二次不等式的存在性問題，即能成立，設，則只需或，即或，所以實數(shù)的取值范圍為.【解析二】

4、先視為以“”為主元的二次不等式的恒成立，即不等式在上恒成立，所以，即，存在，使不等式成立，再視為以“”為元的二次不等式的存在性問題，即能成立，即在能成立分離變量得設，則在區(qū)間上單增，所以，故，即所以實數(shù)的取值范圍為.點評：二元存在性、恒成立問題應考慮“主次元”思想；解法二用到了“分離參數(shù)”構造函數(shù)的方法，一般來說，求參變量范圍問題，應盡量做到“能分則分”，以避免參數(shù)參與運算帶來的分類討論等不必要的麻煩.例5 設a0，函數(shù)f (x)xeq f(a2,x)，g(x)xln x4，若對任意的x11，e，存在x21，e，都有f (x1)g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍為_【答案】eq blcrc)(

5、avs4alco1(f(5,2)，)【分析】問題可轉化為f (x)ming(x)min，函數(shù)g(x)不含參，易求得g(x)ming(1)5，接下來的思路有二，一是直接分類討論求f (x)min，二是將f (x)ming(x)mi轉化為f (x)xeq f(a2,x)5恒成立，通過分離參數(shù)再解決【解析】 問題可轉化為f (x)ming(x)min.當x1，e時，g(x)1eq f(1,x)0，故g(x)在1，e上單調遞增，則g(x)ming(1)5.思路一：又f (x)1eq f(a2,x2)eq f(x2a2,x2)，令f (x)0，易知xa是函數(shù)f (x)的極小值當a1時，f (x)min1

6、a2，則1a25，不成立；當1e時，f (x)minf (e)eeq f(a2,e)5顯然成立，得a25ee2，所以ae.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為eq blcrc)(avs4alco1(f(5,2)，).思路二：故有f (x)min5，即f (x)xeq f(a2,x)5恒成立，分離參數(shù)得a2x（5 x），易得x（5 x）max=254，又a0，故aeq f(5,2)所以實數(shù)a的取值范圍為eq blcrc)(avs4alco1(f(5,2)，)例6 已知函數(shù)f (x)x22ax1，g(x)eq f(a,x)，其中a0，x0.對任意的x1,2，都有f (x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

7、；【解析】由題意知，f (x)g(x)0對x1,2恒成立，即x22ax1eq f(a,x)0對x1,2恒成立，即a0，故(x)在x1,2上是增函數(shù)，(x)min(1)eq f(2,3)，所以a的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2,3).(2) 對任意的x11,2，存在x21,2，使得f (x1)g(x2)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【解析】 由題意知x22ax1eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,x)mineq f(a,2)，即a0對x1,2恒成立，則(x)在1,2上是增函數(shù)，(x)min(1)eq f(4,5)，所以a的取值范圍是eq blc(rc)(

8、avs4alco1(0，f(4,5).點評：防止誤將xD，均有f(x) g(x)恒成立，轉化為f(x)min g(x)max，一般應作差構造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，轉化為F(x) min0恒成立.【鞏固訓練】1已知函數(shù)f(x)x22x3，g(x)log2xm，對任意的x1，x21,4有f(x1)g(x2)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_2已知函數(shù)f(x)ln(x21)，g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xm，若對x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是_3. 已知函數(shù)f(x)xeq f(4,x)，g(x)2xa，若x1eq blc

9、rc(avs4alco1(f(1,2)，1)，x22,3，使得f(x1)g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是_4.函數(shù)f(x)x312x3，g(x)3xm，若對x11,5，x20,2，f(x1)g(x2)，則實數(shù)m的最小值是_5.已知函數(shù)f(x)x22x3a，g(x) eq f(2,x1) .若對任意的x10，3，總存在x22，3，使得|f(x1)|g(x2)成立，則實數(shù)a的值為_6.已知函數(shù)f(x) eq sdo1(f(1,2)x2x，g(x)ln(x1)a，若存在x1，x20，2，使得f(x1)g(x2) ，則實數(shù)a的取值范圍是 .7. 已知函數(shù)f(x)xeq f(4,x)，g(x)2xa，若

10、x1eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)，x22,3，使得f(x1)g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是_8.若對于，不等式都成立，則的取值范圍是_.9. 若關于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是_.10.關于的一元二次方程有兩個根，且滿足，則實數(shù)的值是（ ）.A2； B3； C4； D5. 【答案與提示】1【答案】(，0)【解析】f(x)x22x3(x1)22，當x1,4時，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m，則f(x)ming(x)max，即22m，解得mg(x)min，易得f(x)max=4，g(x)min=a，由f(x) max g(x) min得：4a，故a4即為所求.點評：理解量詞的含