拋物線簡單幾何性質(zhì)典型例題

1、 . . 12/12典型例題一例1 過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，通過點P和拋物線頂點的直線交準線于點M，如何證明直線MQ平行于拋物線的對稱軸？解：思路一：求出M、Q的縱坐標并進行比較，如果相等，則MQ/x軸，為此，將方程聯(lián)立，解出直線OP的方程為即令，得M點縱坐標得證由此可見，按這一思路去證，運算較為繁瑣思路二：利用命題“如果過拋物線的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩上交點的縱坐標為、，那么”來證設、，并從與中消去x，得到，則有結論，即又直線OP的方程為，得因為在拋物線上，所以從而這一證法運算較小思路三：直線MQ的方程為的充要條件是將直線MO的方程和直線QF的方程聯(lián)立，它的解（

2、x ,y）就是點P的坐標，消去的充要條件是點P在拋物線上，得證這一證法巧用了充要條件來進行逆向思維，運算量也較小說明：本題中過拋物線焦點的直線與x軸垂直時（即斜率不存在），容易證明成立典型例題二例2 已知過拋物線的焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，點R是含拋物線頂點O的弧AB上一點，求RAB的最大面積分析：求RAB的最大面積，因過焦點且斜率為1的弦長為定值，故可以為三角形的底，只要確定高的最大值即可解：設AB所在的直線方程為將其代入拋物線方程，消去x得當過R的直線l平行于AB且與拋物線相切時，RAB的面積有最大值設直線l方程為代入拋物線方程得由得，這時它到AB的距離為RAB的最大面積為

3、典型例題三例3 直線過點，與拋物線交于、兩點，P是線段的中點，直線過P和拋物線的焦點F，設直線的斜率為k（1）將直線的斜率與直線的斜率之比表示為k的函數(shù)；（2）求出的定義域與單調(diào)區(qū)間分析：過點P與F，利用兩點的斜率公式，可將的斜率用k表示出來，從而寫出，由函數(shù)的特點求得其定義域與單調(diào)區(qū)間解：（1）設的方程為：，將它代入方程，得設，則將代入得：，即P點坐標為由，知焦點，直線的斜率函數(shù)（2）與拋物線有兩上交點，且解得或函數(shù)的定義域為當時，為增函數(shù)典型例題四例4 如圖所示：直線l過拋物線的焦點，并且與這拋物線相交于A、B兩點，求證：對于這拋物線的任何給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線分析：

4、本題所要證的命題結論是否定形式，一方面可根據(jù)垂直且平分列方程得矛盾結論；別一方面也可以根據(jù)l上任一點到C、D距離相等來得矛盾結論證法一：假設直線l是拋物線的弦CD的垂直平方線，因為直線l與拋物線交于A、B兩點，所以直線l的斜率存在，且不為零；直線CD的斜率存在，且不為0設C、D的坐標分別為與則l的方程為直線l平分弦CDCD的中點在直線l上，即，化簡得：由知得到矛盾，所以直線l不可能是拋物線的弦CD的垂直平分線證法二：假設直線l是弦CD的垂直平分線焦點F在直線l上，由拋物線定義，到拋物線的準線的距離相等，CD的垂直平分線l：與直線l和拋物線有兩上交點矛盾，下略典型例題五例5 設過拋物線的頂點O的

5、兩弦OA、OB互相垂直，求拋物線頂點O在AB上射影N的軌跡方程分析：求與拋物線有關的軌跡方程，可先把N看成定點；待求得的關系后再用動點坐標來表示，也可結合幾何知識，通過巧妙替換，簡化運算解法一：設則：，即，把N點看作定點，則AB所在的直線方程為：顯然代入化簡整理得：，由、得：，化簡得用x、y分別表示得：解法二：點N在以OA、OB為直徑的兩圓的交點（非原點）的軌跡上，設，則以OA為直徑的圓方程為：設，OAOB，則在求以OB為直徑的圓方程時以代，可得由得：典型例題六例6如圖所示，直線和相交于點M，點，以A、B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點N的距離相等，若AMN為銳角三角形，且，建立適當?shù)?/p>

6、坐標系，求曲線段C的方程分析：因為曲線段C上的任一點是以點N為焦點，以為準線的拋物線的一段，所以本題關鍵是建立適當坐標系，確定C所滿足的拋物線方程解：以為x軸，MN的中點為坐標原點O，建立直角坐標系由題意，曲線段C是N為焦點，以為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩端點設曲線段C滿足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標令則，由兩點間的距離公式，得方程組：解得或AMN為銳角三角形，則，又B在曲線段C上，則曲線段C的方程為典型例題七例7如圖所示，設拋物線與圓在x軸上方的交點為A、B，與圓在x由上方的交點為C、D，P為AB中點，Q為CD的中點（1）求（2）求ABQ面積的最大值分析：由于P

7、、Q均為弦AB、CD的中點，故可用韋達定理表示出P、Q兩點坐標，由兩點距離公式即可求出解：（1）設由得：，由得，同類似，則，（2），當時，取最大值典型例題八例8已知直線過原點，拋物線的頂點在原點，焦點在軸的正半軸上，且點和點關于直線的對稱點都在上，求直線和拋物線的方程分析：設出直線和拋物線的方程，由點、關于直線對稱，求出對稱點的坐標，分別代入拋物線方程或設，利用對稱的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)知識求解解法一：設拋物線的方程為，直線的方程為，則有點，點關于直線的對稱點為、，則有解得解得如圖，、在拋物線上兩式相除，消去，整理，得，故，由，得把代入，得直線的方程為，拋物線的方程為解法二：設點、關于的對稱點為

8、、，又設，依題意，有，故，由，知，又，故為第一象限的角、將、的坐標代入拋物線方程，得，即從而，得拋物線的方程為又直線平分，得的傾斜角為直線的方程為說明：(1)本題屬于點關于直線的對稱問題解法一是解對稱點問題的基本方法，它的思路明確，但運算量大，若不仔細、沉著，難于解得正確結果解法二是利用對稱圖形的性質(zhì)來解，它的技巧性較強，一時難于想到(2)本題是用待定系數(shù)法求直線的方程和拋物線方程在已知曲線的類型求曲線方程時，這種方法是最常規(guī)方法，需要重點掌握典型例題九例9如圖，正方形的邊在直線上，、兩點在拋物線上，求正方形的面積分析：本題考查拋物線的概念與其位置關系，方程和方程組的解法和數(shù)形結合的思想方法，

9、以與分析問題、解決問題的能力解：直線，設的方程為，且、由方程組，消去，得，于是，(其中)由已知，為正方形，可視為平行直線與間的距離，則有，于是得兩邊平方后，整理得，或當時，正方形的面積當時，正方形的面積正方形的面積為18或50說明：運用方程（組）的思想和方法求某些幾何量的值是解析幾何中最基本的、貫穿始終的方法，本題應充分考慮正方形這一條件典型例題十例10設有一顆彗星圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于拋物線軌道的焦點處，當此彗星離地球為時，經(jīng)過地球與彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，求這彗星與地球的最短距離分析：利用拋物線有關性質(zhì)求解解：如圖，設彗星軌道方程為，焦點為，彗星位于點處直線的方程

10、為解方程組得，故故，得由于頂點為拋物線上到焦點距離最近的點，所以頂點是拋物線上到焦點距離最近的點焦點到拋物線頂點的距離為，所以彗星與地球的最短距離為或，（點在點的左邊與右邊時，所求距離取不同的值）說明：(1)此題結論有兩個，不要漏解；(2)本題用到拋物線一個重要結論：頂點為拋物線上的點到焦點距離最近的點，其證明如下：設為拋物線上一點，焦點為，準線方程為，依拋物線定義，有，當時，最小，故拋物線上到焦點距離最近的點是拋物線的頂點典型例題十一例11如圖，拋物線頂點在原點，圓的圓心是拋物線的焦點，直線過拋物線的焦點，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、四點，求的值分析：本題考查拋物線的定義，圓的概念和性質(zhì)，以與分析問題與解決問題的能力，本題的關鍵是把轉(zhuǎn)化為直線被圓錐曲線所截得的弦長