等差數(shù)列典型例題及分析必看

1、第四章數(shù)列差數(shù)列的通項(xiàng)與求和 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué).數(shù)列：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第n項(xiàng)，.通項(xiàng)公式：一般地，如果數(shù)列 an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái) 表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.,.有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列 .無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）及相鄰兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間關(guān)系 可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，其關(guān)健是先求出ai,a 2,然后用遞推關(guān)系逐一寫出數(shù)

2、列中的項(xiàng).,.等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等 于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表木.等差中項(xiàng)：如果a, A, b這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么A= a.我們把A=- TOC o 1-5 h z 22叫做a和b的等差中項(xiàng).二、疑難知識(shí)導(dǎo)析.數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點(diǎn)：（1）數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相 同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；（2）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)；（3）數(shù)列看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集（1, 2, 3,，n）的函數(shù). 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通常不是唯一的.,S（n

3、1）3.數(shù)列an的刖n項(xiàng)的和Sn與an之間的關(guān)系：an右既適合&1 （n 2）.an（n2）,則an不用分段形式表布,切不可不求ai而直接求an.II4.從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an= a 1+（n-1）d=d - n+ a 1-d, a n是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（ n, an）均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定 TOC o 1-5 h z 一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列.,5、對(duì)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)之和公式的理解：等差數(shù)列的前 n項(xiàng)之和公式可變形為do ddd2Sn 一n （a1 一）n ,右令 A= ，B= ai,貝U Sn = An

4、 +Bn.22226、在解決等差數(shù)列問題時(shí)，如已知，a, an, d, Sn , n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知數(shù)列1, 4, 7, 10,，3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大 3. （1）指出這個(gè)數(shù)列的通 項(xiàng)公式；（2）指出1+4+ （3n5）是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和.錯(cuò)解：(1) an=3n+7;(2) 1+4+ + (3n5)是該數(shù)列的前 n項(xiàng)之和.錯(cuò)因：誤把最后一項(xiàng)(含n的代數(shù)式)看成了數(shù)列的通項(xiàng).(1)若令n=1,ai=10 1,顯然3n+7 不是它白通項(xiàng).正解：(1) an=3n 2;,(2) 1+4+ (3n5)是該數(shù)列的前 n-1項(xiàng)的和.,2.2例2已知數(shù)列an的

5、前n項(xiàng)之和為 Sn2n n Snn n 1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。錯(cuò)解： an 2n2 n 2(n 1)2 an n2 n 1 (n 1)2錯(cuò)因：在對(duì)數(shù)列概念的理解上，僅注意了(n 1) 4n 3I(n 1) 1 2n11an=SnSn-1與的關(guān)系，沒注意 a1=S.正解： 當(dāng)n 1時(shí)，a1 S11I當(dāng) n 2時(shí)，an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3 I I經(jīng)檢驗(yàn)n 1時(shí)a11也適合，an 4n 3I當(dāng)n 1時(shí)，a1 S13I當(dāng) n 2時(shí)，an n2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2nI3 (n 1)an2n (n 2)例3已知等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)之和記為Sw=10

6、, S30=70,則與。等于錯(cuò)解：&0= S10 , 2d.錯(cuò)因：將等差數(shù)列中d =30,S40= S30+d =100.,Sn, S 2m, S 3m成等差數(shù)列Sm, S 2m - Sm, S 3m Gm成等差數(shù)列誤解為正解：由題意:10al30al10 9, d230 29 , d210得a1705，d215、一40 39代入得 S40 = 40al40d 120。2例4等差數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Sn、Tn.若 STn7n 1a7(n N )，求；4n 27b7錯(cuò)解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令an=7n+1;b n=4n+27.a7b7104 7 2711S錯(cuò)因

7、：誤認(rèn)為STna nbn正解：包a7a7b7 b7b7S13T137 13 1924 13 2779例5已知一個(gè)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=25- 5n,求數(shù)列| an |的前n項(xiàng)和；錯(cuò)解：由an 0得n 5an前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù),$=才 +a2+a3+a4+a5=50(n5)當(dāng) n 6 時(shí)，S= I a6 I + I a7 I + I a I + I an(205 n )( n 5 )250Sn= (20 5n)(n 5)2錯(cuò)因：一、把n 5理解為n=5,二、把“前n項(xiàng)和“誤認(rèn)為“從正解：n(45 5n)2(20 5n)(n 5)2,n 550, n 6例6已知一個(gè)等差數(shù)列的前10

8、項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由此可以確定求其前 n項(xiàng)和的公式嗎？解：理由如下：由題設(shè)：S10 310S20 1220I I/口10al 45d 310 a1 4得：20al 190d 1220 d 6In(n 1)2Sn 4n6 3n n21 n例7已知：an 1024 lg2 (lg 2 0.3010) n N (1)問前多少項(xiàng)之和為最大？ ( 2)前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最小？an1024 (1n) lg2010241024解：(1) n 1024n 102413401 n 3403an 11024 nlg2 0 lg 2 lg 2 n 3402(2) Sn 1024n n(n 1

9、)( lg 2) 0211當(dāng)Sn 0或Sn近于0時(shí)其和絕對(duì)值最小一令：Sn0 即 1024+ 嗎 1)( lg2) 0得：n 2048 1 6804.99lg2n Nn 6805px q 0的兩根，求證此例8項(xiàng)數(shù)是2n的等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為an和an 1是方程x2數(shù)列J白W口 s2n是方程lg2x (lg n21g p2)1g x (lg n1g p)20的根。(S2n0 )證明：依題意an an 1 pad an a a d p1 2n n n 1 p2n(a1 a2n)np5.已知a,b,c依次成等差數(shù)列，求證:222a bc,b ac,cab依次成等差數(shù)列 lg2x (lg n2 lgp

10、2)lgx (lg n lg p)2 0I2一(lg x lg np) 0-1 x np S2n(狀證)。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1 .已知 a13且anSn 1 2n，求 an及 Sn。2.設(shè) an 1 22 33 4n(n 1) (n 1)2Jn(n 1),求證：an 。223.求和：(22 12)4.求和：(1002 992) (982 972)(42 32) TOC o 1-5 h z .在等差數(shù)列an中，a5 a1340 ,則a8 a9 a10()。A. 72B.60C.48D. 36.已知an是等差數(shù)列，且滿足 am n,anm(m n),則am n等于，一.1 一1113.已知數(shù)列 成等

11、差數(shù)列，且a3,a5q，求a8的值。an 267比數(shù)列的通項(xiàng)與求和 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué).等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)歹U,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比， 公比通常用字母q表示.等比中項(xiàng)：若a, G, b成等比數(shù)列，則稱G(q 1)n a1a an q(q 1).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：sna1(1 qn)q二、疑難知識(shí)導(dǎo)析.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0,因此q也不為0.對(duì)于公比q,要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列

12、不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說(shuō)此數(shù)列從.第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.,.在已知等比數(shù)列的 ai和q的前提下，利用通項(xiàng)公式an=aiqn-1,可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng).在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用an=anqn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).等比數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an=aiqn-1可改寫為an 曳qn.當(dāng)q0,且q 1時(shí)，y=qx q是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而y 亙qx是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列an q的圖象是函數(shù)y 電qx的圖象上的一群孤立的點(diǎn). q.在解決等比數(shù)列問題時(shí)，如已知，ab an, d

13、, Sn , n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。11三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)之和S=aqn ( a 0,q 1, q為非零常數(shù))，則an為()。11A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.錯(cuò)解：an 1 Sn 1 Sn aqn 1 aqn aqn(q 1)n 1 .anSn Sn1 aq (q 1)am q (常數(shù))an為等比數(shù)列,即Bo錯(cuò)因：忽略了 anSnSn中隱含條件n1.正解：當(dāng)n=1時(shí),ai=Si= aq;當(dāng)n1時(shí),anSnSn1aqn1(q 1)an 1a1既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選Co例2已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)

14、和記為S,So=10 , S30=70,則與0等于.錯(cuò)解：S30= S10 , q 2.S 40= S 30 q =錯(cuò)因：是將等比數(shù)列中Sm, S 2m - Sm, S 3m Gm成等比數(shù)列誤解為Sm, S 2m, S 3m成等比數(shù)列.正解：由題意:a(1 q10)1 q30a(1 q )10得70a11 q q10102或q103(舍去)9。= (11 qq40)200.例3求和：a+a2+a3+an.n23 n 1 a錯(cuò)解： a+a +a + +a =1 a錯(cuò)因：是（1）數(shù)列 an不一定是等比數(shù)列,不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（2）用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q是否等于1.正解：當(dāng)a

15、= 0時(shí),當(dāng)a=1時(shí),a+a2+a3+- +an= 0;a+a2+a3+an = n;當(dāng)a 1時(shí),a+a 2+a3+an=例4設(shè)a,b,c,d均為非零實(shí)數(shù)，a2b2 d2 2b a cd b2c2 0,證明:求證：a,b, c成等比數(shù)列且公比為 d 。證法一：關(guān)于d的二次方程 a2 b2 d 2 2b a c db2。有實(shí)根,4b2 a c4 a2 b2 (b2c2) 0b22ac 0則必有：b2 ac，非零實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列aq ，2 .、c aq代入22 2.2a a q d 2aq a2 , aq d2qd證法二：: a2 b2 d 2 2b ab2 c20a2d2 2abd b2

16、,2.2 b d2bcd c2022-1 ad b bd c a,b,c,d 非零，ba例5在等比數(shù)列bn中，b43 ,求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。解：bb2 b3b4b5b6b7bmb2b6 b3b5 b4b42b1b7b3 b5,2，刖七項(xiàng)之積3372187例6求數(shù)列n前n項(xiàng)和解：Sn2Sn1414181 3812n兩式相減:2Snc1Sn2(1 5聲）1_2n 1n2n11612n例7從盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 20%勺鹽水2kg的容器中倒出次都倒出1kg鹽水，然后再加入 1kg水，(n1)12n12n 12(1 日)n1 12n121kg鹽水，然后加入1kg水，以后每問：（1）第5次倒出的的1kg鹽水中

17、含鹽多kg?(2) 經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少 kg鹽？此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少?解：(1)每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為an,則:1 - ai 0.2(kg) ,a2 x 0.2由此可見：an ( l)n 1x0.2 (kg),2(kg) ,as ( 1 )2x 0.2 (kg)2a5 ( J)51* 0.2 ( 1 )4X 0.20.0125 22(kg)。1由(1)得an是等比數(shù)列a10.2 ,q-2“6、0.2(1 )S6 a(q 20.39375(kg)q 1 120.4 0.39375 0.00625(kg)0.00625 2 0.003125(kg)0.39

18、375kg答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg； 6次倒出后，一共倒出 鹽，此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.003125。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a1 2, a3 8a15,且 2an+1 3a3)a15,且與口 an TOC o 1-5 h z .在等比數(shù)列 an ,已知a1 5 , a9al0 100 ,求a18. 012n 1.已知無(wú)窮數(shù)列 105,105,105,10,求證：(1)這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列 1(2)這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的一，10(3)這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。 23n 1.設(shè)數(shù)列 an為1,2x,3x

19、 ,4x nx x 0求此數(shù)列刖n項(xiàng)的和。.已知數(shù)列an中，a1 2 且 an+1Si,求 an , Sn.是否存在數(shù)列an,其前項(xiàng)和 S組成的數(shù)列S也是等比數(shù)列，且公比相同?.在等比數(shù)列 an中，a1a3 36, a2 a460, Sn 400 ,求n的范圍。列的綜合應(yīng)用、知識(shí)導(dǎo)學(xué).數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利 用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.應(yīng)用題成為熱點(diǎn)題型，且有著繼續(xù)加熱的趨勢(shì)，因?yàn)閿?shù)列在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛，所以數(shù)列應(yīng)用題占有很重要的位置，解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟：（

20、1）閱讀理解材料，且對(duì)材料作適當(dāng)處理； （2）建立變量關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型；（3）討論變量性質(zhì)，挖掘題目的條件，分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列， 是求Sn還是求an. 一般情況下， 增或減的量是具體體量時(shí)，應(yīng)用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)用等比數(shù)列公式.若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則增或減的百分?jǐn)?shù)，加1就是公比q.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析.首項(xiàng)為正（或負(fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或最?。﹩栴}，轉(zhuǎn)化為解不等式 an 0或an 0 解決;an 1 0an 1 0n項(xiàng)和公a nam.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列前

21、式時(shí)，勿忘分類討論思想；.等差數(shù)列中，a m=an+ (n m)d, d am an ；等比數(shù)列中，an=amqn-m; qn m m n.當(dāng)m+n=p+q （m n、p、qC N ）時(shí)，對(duì)等差數(shù)列 an有：am+an=ap+aq;對(duì)等比數(shù)列an /f ： arr3n二apHq；.若an、bn是等差數(shù)列，則kan+bbn（k、b是非零常數(shù)）是等差數(shù)列；若an、bn 是等比數(shù)列,則 kan、a nbn等也是等比數(shù)列;.等差（或等比）數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如a1+a2+a3,a 4+a5+a6,a 7+a8+a9）仍是等差（或等比）數(shù)列；.對(duì)等差數(shù)列 an,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶6

22、奇=門;項(xiàng)數(shù)為2n1時(shí)，S奇一S偶=a中 （nC N ）;.若一階線性遞推數(shù)列 an=kan 1+b （kw 0,k w 1）,則總可以將其改寫變形成如下形式：a_b_ k（a 1 _bn 2）,于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；n k 1 n k 1三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.證明log1 Snlog 1 Sn 2即證：logNSn Sn2)log1S3由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證 （SnSn 2 ) logSn2只需證10gl Sn2log 1 Sn 222log Sn 1即證：log 1 (Sn2Sn 2 ) log 1 S2由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

23、，只需證（Sn Sn 2） S：1由已知數(shù)列 an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,q 0, a10 .則Sn1)a122Sn 2 - Sn 1 = na(n 2)a1 (n1,SnSn 2 - Sn 1a2(1n 1、2q )(1 q)2(1 q)22 na q02Sn Sn 2 V Sn 1原不等式成立.例2 一個(gè)球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回至原高度的一半落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng)過了多少米？（精確到1米）錯(cuò)解：因球每次著地后又跳回至原高度的一半，從而每次著地之間經(jīng)過的路程形，一 一，1 ,成了一公比為 的等比數(shù)列，又第一次著地時(shí)經(jīng)過了100米，故當(dāng)它第10次著地時(shí),2共經(jīng)過的路程

24、應(yīng)為前 10項(xiàng)之和.1001 （）10即 So 2=199 （米）1 12錯(cuò)因：忽視了球落地一次的路程有往有返的情況正解：“100了 2 -2=100 （米）因此到球第10次著地時(shí)共經(jīng)過的路程為100100100 100100(1=10022印100tF10021 1 2 答：共經(jīng)過300米。300 (米)球第一次著地時(shí)經(jīng)過了 100米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過例3 一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲(chǔ)蓄 a元一年定期，若年利率為 r保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲上大學(xué)時(shí)，將所有存款（含利息）

25、全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？錯(cuò)解：年利率不變，每年到期時(shí)的錢數(shù)形成一等比數(shù)列，那18年時(shí)取出的錢數(shù)應(yīng)為以 a為首項(xiàng)，公比為1+r的等比數(shù)列的第19項(xiàng)，即a19=a（1+r） 18.錯(cuò)因：只考慮了孩子出生時(shí)存入的a元到18年時(shí)的本息，而題目要求是每年都要存入 a元.正解：不妨從每年存入的為 a（1+r） 18,1歲生日時(shí)的a元到2歲生日時(shí)的a元到a元到18年時(shí)產(chǎn)生的本息1718夕時(shí)成為a(1+r),18歲時(shí)成為a(1+r) 16,入手考慮，出生時(shí)的 a元到18年時(shí)變17歲生日時(shí)的a元到18歲時(shí)成為a(1+r) ;a(1+r) 18+ a(1+r) 17+ a(1+r) 1a(1 r)1 (1 r)18 =1 (1 r)= a(1 r)19(1 r)r答：取出的錢的總數(shù)為 a(1 r)19 (1 r)。r111例 4求數(shù)列 1 1, 4 7 , 10,23a a a解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為 an,前n項(xiàng)和為Sn,則(3n 2),的前n項(xiàng)和。1an $ (3n 2) aSn(11時(shí),14 7(3n 2)Sn(13n 2)n23n2