研究生矩陣論課后習(xí)題答案習(xí)題二

1、百度文庫讓每個人平等地提升自我 習(xí)題二.化下列矩陣為Smith標(biāo)準(zhǔn)型: TOC o 1-5 h z 1-222AAA%；1 + A222-A2(2)000A2-200(f 200 A2A2-A 000003紀(jì) + 2”3(3) 422+32-5 A2+A-422-1 2z+22-332-2 22+3A-4 ;2 2A 12/142(4)02-13/1 33032 + 6062202-11 A 2A 214A + 2 2%22000解：（1）對矩陣作初等變換2222-20 -2(2 + 1)u%Io00 2-20 0 -2(2 + 1)-1 000 200 0 A(2 +1)_儼-i）則該矩陣為

2、Smith標(biāo)準(zhǔn)型為（2）矩陣的各階行列式因子為D4(A) = 24(2 一 1咒。式=22U - 1尸,Q(2) = A(2 - 1), D/2) = 1,從而不變因子為4(4) = 1，4(幻= 2(2 1),4(，)= 44 1),，/4(m= A2(A -I)2故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為100002(A-1)0000A(A 1)000022(2-1)2(3)對矩陣作初等變換2A-1 A2 + 22-332-2 A2+3/l-4A 2A 122-132-2 2-222-222-213萬+24-3422+32-522+2-4-23 + 222+42-52-1A-2-24+722-6一A2-

3、ln-(x-2)A22-2-A4+722-6 -23 + 222+42-5q-d-2心22-l2-1q-5-2心 7000012-10010 o-j0A-l 002-10100-A3 + 22-2-l0-23-22-2 + l0一萬 + 2萬+44 5 000 (2-1)2(2 + 1)故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為12-1(2-I)2 (2 + 1)(4)對矩陣作初等變換2242302-132-3。產(chǎn)3q門+2” 、30I22 + 604 + 2226a222002-1001-A22-200 00010002 + ：002224 10A 1001-A00000 10/p>

4、-1000001-2000鄉(xiāng)式中，可求得行列式因子Q-3G%- 22 0 0 0_一000% 1 32-3弓一2/j、0012002 + 2 2A0222002-1001-2 22-2 000001A000A00022201000001-/1000000022000020000A-100001-A7一在最后的開70 -000D5(2) =一 I)?, OK%) = 2(2 . 1), 2(4) = 2(= (2) = 1,于是不變因子為4 (%) = 4(丸)=/3(“)= 1，4(4)= = 2(2 1), J5(2) = 2(A 1)。3(4)|(兒)故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為000幾(

5、4 1)00000九 (X 1)-1 0 00 1 00 0 10 0 00 0 02 ,求下列幾-矩陣的不變因子:2-2-1002-2-100A-2(1)(2)A + a-p00PA + a0010A + a-P(3)2005-12040一12300-14 + 2(4)0012 + 2012 + 2012 + 200A + 2000解：（1）該2-矩陣的右上角的2階子式為1,故。3（團(tuán)=（2一2）3,所以該2-矩陣的不變因子為4(=4(%) = 1，4(團(tuán)=(幾一 2)2;(2)當(dāng)夕=0時,由于Z)4(2) = (2 + 0 10 0故A的初等因子為從而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為-1 1 00

6、 1 10 0 1(3)設(shè)該矩陣為A ,則-1 00花一4- 0 100 0 (2-1)(22+1)故A的初等因子為4 l,A + i,A-/,從而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為1 0 0-00 ;0 0 i_(4)設(shè)該矩陣為A,則1 0 0-花Af 0 2 0, 0 0 A2_故A的初等因子為人外，從而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為0 0 0-0 0 1；0 0 0(5)設(shè)該矩陣為A ,則1 00AE-A 0 100 0 2(A + 1)故A的初等因子為4(% +1)2,從而4的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 TOC o 1-5 h z 0 000-11;0 0 -1(6)設(shè)該矩陣為A ,則-A-1-2-3-4-

7、01-2一3AE-A=,002-1-20002-1該4-矩陣的各階行列式因子為R W = D2(A) = QU) = 1，2(=(% -1)，則不變因子為dx(2) = d2(2) = d3(A) = 1, /4(2) = (2-I)4,故初等因子為則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為-1 1 0 0-0 1100 0 1110 0 0 15.設(shè)矩陣-1 42 -A= 0 -3 -4 ,0 43求解：矩陣A的特征多項式為/.(/l) = |2/-A| = (2-l)(2-5)2,故A的特征值為4=L4=4=5.屬于特征值4 =1的特征向量為7 =(1，0,。)，屬于4 = 4 = 5的特征向量為7力=(

8、21,21,小=(1，-2,2 11 0 01 -2,A =0 5 02 10 0 51尸=7，小，小=0 0則A =0AP 一二故 4x54 3x5-1 /l5 = PA5?-1 = 0 -3 x 544 x 540 4 x 543 x 546.設(shè)矩陣 2 -i -rA= 2 -1 -2 ,-1 12求A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J,并求相似變換矩陣P,解:(1)求4的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J .2-2AI-A= -211 1 12 + 12-0-i 2-2J l02-1000(If故其初等因子為故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形1 0 0J= 0 1 10 0 1求相似變換矩陣P. 考慮方程組-1 1(/一4

9、/=0,即 一2 21 -1解之，得X1=。,x?I其通解為kX+k2X2 =其中公，院為任意常數(shù).考慮方程組-1 1 1-2 221 -1 -11 1 kx0 0 2k1 + kj1 10 0 2k匕I 工故當(dāng)2勺一七=0時,方程組有解.取勺=1/2 =2,解此方程組，得，0、x3= 0 .則相似變換矩陣-1 0 0P = X,X2,X3= 0 1 01 -1 17.設(shè)矩陣-1 0 2A= 0 -1 1 ,0 1 0試計算 2As -3A +A4+A2-4I.解：矩陣A的特征多項式為力(=0/_ 止;13_24 + 1,由于228 - 325 + 24 + A2 - 4 = (23 - 22

10、 + 1)/(Z) + (24220 - 372 + 10),其中 /(義)=225 +423-522+92-14.且A3-2A + I=O,故-3 48 -26-2AS - 3A5 + A4 + A2-4/= 24A2 -37/1 + 107= 095 -61 .0 -61 34.證明：任意可逆矩陣A的逆矩陣A”可以表示為A的多項式.證明:設(shè)矩陣A的特征多項式為fA = 一 A| =儲 + a/T + ,y”-2 + 4,則A + % A”I+ a2A-2 + + q1A + 4/ = O,即A(A-l + q A + / Ai + a_1I) = -anl,因為A可逆，故為 =(-l)M|

11、/l| WO,則A-1=-(An + a.A2 + a.A3 + + . 1I) % .設(shè)矩陣2 -1 A =,1 3_試計算(A4 - 5 A3 + 6A2 + 6A - 8/尸.解：矩陣A的特征多項式為74(2) = |27-A| = 22-52+7,則424 + 7=。，而24 - 523 + 622 + 62 - 8 = (22 - 5A+7)(22 -1) + A -1,故43，,1M2 1(A4 -5A3 + 6A2 + 6A - 8Z)-1 = (A - /), =？=10.已知3階矩陣A的三個特征值為1, -1, 2,試將A?表示為A的二次式.解：矩陣A的特征多項式為fA (2

12、) = |2Z-A| = (2-1)(A+1)(2 - 2), 則設(shè)%2 = /(4)g(2)+。人2 +bA + c,由/(1) = 0 J(-1) = 0 J=0,得a + b + c = , a b c = 1, 4a + 21)+ c = 22n.解之，得a = -(22n-l),/ = 0,c = -l(22n -4),因此 TOC o 1-5 h z A2n = aA2 + bA + cl = - (22/I-l)A2 一 1 (22/r - 4)7.33U.求下列矩陣的最小多項式：-3 1 -ll r 4 -2 2 (1) 020； (2) -57 -5；111-67-4（3） 階單位陣乙：（4） 階方陣A,其元素均為1：3 1 -1解:設(shè)A=。2 0 ，則1 1 100M-2)2故該矩陣的最小多項式為(X-2)2.4 -2 2-(2)設(shè) A=-5 7 5 ,則-6 7-4A1 - A| = (2 -2)(22 -52+11),故該矩陣有三個不同的