北京市朝陽陳經(jīng)綸2022年高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）A5BCD-52ABC中，AB3，AC4，則ABC的面積是（ ）ABC3D3趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時，介紹

2、了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖（1），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形，設(shè)，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率為（ ）ABCD4若，點C在AB上，且，設(shè)，則的值為（ ）ABCD5已知集合，若，則（ ）ABCD6已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數(shù)的值為（ ）ABCD7已知向量，則向量在向量上的投影是（ ）ABCD8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最大值為( )A7B15C31D639已知函數(shù)

3、，則（ ）A1B2C3D410某大學(xué)計算機學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別，數(shù)據(jù)分析、機器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（ ）A480種B360種C240種D120種11九章算術(shù)中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（ ）A4B8CD12執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則輸入的值為( )ABC3或D或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的

4、所有可能值之和為_.14已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，若三棱錐P-ABC的外接球表面積恰為414，則此時點P構(gòu)成的圖形面積為_.15已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別為，的中點，則球O的體積為_.16九章算術(shù)是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中方田一章給出了弧田面積的計算公式如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長為4，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長是_，弧田的面積是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最

5、小值18（12分）已知集合，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當(dāng)時，求的值；利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，都有.19（12分）已知函數(shù)（），不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，且，求的最大值.20（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，已知（1）求的值；（2）若，求的面積21（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前n項和，對于任意的滿足關(guān)系式.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項公式是，前n項和為，求證：對于任意的正數(shù)n，總有.22（10分）如圖，在直角梯形中，為的中點，沿將折起，使得點到點位置，且，

6、為的中點，是上的動點（與點，不重合）.（）證明：平面平面垂直；（）是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【詳解】由（1+i）z|3+4i|，得z，z的虛部為故選C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題2A【解析】由余弦定理求出角，再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得：，又，所以得，故ABC的面積.故選：A【點睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形

7、的面積公式，考查了學(xué)生的運算求解能力.3D【解析】設(shè)，則，小正六邊形的邊長為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為，再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，則，即小正六邊形的邊長為，所以，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點取自小正六邊形的概率.故選：D.【點睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題4B【解析】利用向量的數(shù)量積運算即可算出【詳解】解：，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用5A【解析】由

8、，得，代入集合B即可得.【詳解】，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應(yīng)用，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7A【解析】先利用向量坐標(biāo)運算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運算和向量投影的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.8B【解析】試題分析：由程序框圖可知：，；，；，；，；，. 第步

9、后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程序框圖.9C【解析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10B【解析】將人臉識別方向的人數(shù)分成：有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識別方向有2人時，有種，當(dāng)人臉識別方向有1人時，有種，共有360種.故選：B【點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.11B【解析】由三視圖判斷出原圖，將幾何體補形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進(jìn)而求得球的表

10、面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長為2且與底面垂直，因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.12D【解析】根據(jù)逆運算，倒推回求x的值，根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當(dāng)，解得，所以3是輸入的x的值；當(dāng)時，解得，所以是輸入的x的值，所以輸入的x的值為或3，故選：D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，

11、每小題5分，共20分。13【解析】由分段函數(shù)可得不滿足題意；時，可得，即有，解方程可得，4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，時，時，當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為，可得不成立，時，時，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個交點綜上可得的所有值的和為1故答案為：1【點睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查化簡運算能力，屬于中檔題14.【解析】設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O，分別取AC、A1C1的中點O、O1，先確定球心O在線段AC和A1C1中點的連線上，先求出球O的半徑R的值，然

12、后利用勾股定理求出OO的值，于是得出OO1=OO1-OO，再利用勾股定理求出點P在上底面軌跡圓的半徑長，最后利用圓的面積公式可求出答案【詳解】如圖所示，設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O，分別取AC、A1C1的中點O、O1，則點O在線段OO1上，由于正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則ABC的外接圓的半徑為OA=2，設(shè)球O的半徑為R，則4R2=414，解得R=414.所以，OO=R2-OA2=34，則OO1=OO1-OO=2-34=54而點P在上底面A1B1C1D1所形成的軌跡是以O(shè)1為圓心的圓，由于OP=R=414，所以O(shè)1P=R2-OO12=1，因此，點P所構(gòu)成的圖形的面積為O1P

13、2=.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點的軌跡，屬于中檔題.15【解析】可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得.【詳解】解：，因為為的中點，所以為的外心，因為，所以點在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題166 129 【解析】過作，交于，先求得圓心角的弧度數(shù)，然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積，求得弧田的面積.【詳解】如圖，弧田

14、的弧AB長為4，弧所在的圓的半徑為6，過作，交于，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分.AOB，可得AOD，OA6，AB2AD2OAsin26，弧田的面積SS扇形OABSOAB46129故答案為：6，129【點睛】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計算，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）或（2）最小值為【解析】（1）討論，三種情況，分別計算得到答案.（2）計算得到，再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，由，解得所以所求不等式的解集為或（2）根據(jù)函數(shù)圖像知：當(dāng)時，所以因為，由，可知，所以

15、，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立所以的最小值為【點睛】本題考查了解絕對值不等式，函數(shù)最值，均值不等式，意在考查學(xué)生對于不等式，函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.18；證明見解析.【解析】當(dāng)時，集合共有個子集，即可求出結(jié)果；分類討論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當(dāng)時，集合共有個子集，所以；當(dāng)時，由可知，此時令，滿足對任意，都有，且；假設(shè)當(dāng)時，存在有序集合組滿足題意，且，則當(dāng)時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題.19（1）（2）32【解析】利用絕對值不等式的解法求出不等式的解集,得到關(guān)于

16、的方程,求出的值即可;由知可得,，利用三個正數(shù)的基本不等式,構(gòu)造和是定值即可求出的最大值.【詳解】（1），所以不等式的解集為,即為不等式的解集為，的解集為,即不等式的解集為，化簡可得,不等式的解集為，所以,即.（2），.又，當(dāng)且僅當(dāng),等號成立,即，時，等號成立，的最大值為32.【點睛】本題主要考查含有兩個絕對值不等式的解法和三個正數(shù)的基本不等式的靈活運用;其中利用構(gòu)造出和為定值即為定值是求解本題的關(guān)鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯點;屬于中檔題.20（1）；（2）.【解析】（1）由，利用余弦定理可得,結(jié)合可得結(jié)果；（2）由正弦定理，, 利用三角形內(nèi)角和定理可得，由三角形面

17、積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，得. , ， .（2），由正弦定理，可得. ab，, . .【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.21（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)公式得到，計算得到答案.（2），根據(jù)裂項求和法計算得到，得到證明.【詳解】（1）由已知得時，故.故數(shù)列為等比數(shù)列，且公比.又當(dāng)時，.（2）.【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式和證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.22（）見解析 （）存在，此時為的中點.【解析】（）證明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.（）假設(shè)存在點