中考數(shù)學(xué) 專題05 阿氏圓求最小值（解析版）

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題-二次函數(shù)第5節(jié) 阿氏圓求最小值 內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥點(diǎn) P 在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問(wèn)題；點(diǎn) P 在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問(wèn)題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn) A、B，則所有滿 足 PA=kPB（k1）的點(diǎn) P 的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖 1 所示，O 的半徑為 r，點(diǎn) A、B 都在O 外，P 為O 上一動(dòng)點(diǎn)，已知 r=kOB， 連接 PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P 點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段 OB 上截取 OC 使 OC=kr，則可說(shuō) 明BPO 與PCO 相似，即 kPB

2、=PC。故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，其中與 A 與 C 為定點(diǎn),P 為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng) A、P、C 三點(diǎn)共線時(shí)， “PA+PC”值最小。如圖3所示：【破解策略詳細(xì)步驟解析】 例題演練例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2+4x的頂點(diǎn)為點(diǎn)A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)B為拋物線上橫坐標(biāo)等于6的點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線OB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)POM的面積最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PCy軸于點(diǎn)C，若在坐標(biāo)平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足PQ，求OQ+QC的最小值；【解答】解：（1）yx2+4x（x+2）24，A（2，4）；（2）如圖1，過(guò)P作PHx軸交OB于H，作PGB

3、C于G，過(guò)M作MDy軸交y軸于D，點(diǎn)B為拋物線上橫坐標(biāo)等于6的點(diǎn)，B（6，12），直線AB解析式為y2x設(shè)P（m，m2+4m），則H（m，2m），PH2m（m2+4m）m26m點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，M（3，6），MD3PHy軸PHGMODPGBC MDy軸PGHMDOPGHMDO，即 PGMOPHMD3（m26m）3m218m，SPOMPGMO9m（m+3）2+0，當(dāng)m3時(shí)，SPOM的值最大，此時(shí)P（3，3），在PC上取點(diǎn)T，使得PT，連接QT，OT，PC3，PQQPTCPQQPTCPQ，即TQQC，OQ+QCOQ+TQOTOTOQ+QC的最小值為； 練1.1如圖1，拋物線yax2+（a+3）

4、x+3（a0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0m4），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PMAB于點(diǎn)M（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)PMN的周長(zhǎng)為C1，AEN的周長(zhǎng)為C2，若，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE，旋轉(zhuǎn)角為（090），連接EA、EB，求EA+EB的最小值【解答】解：（1）令y0，則ax2+（a+3）x+30，（x+1）（ax+3）0，x1或，拋物線yax2+（a+3）x+3（a0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），4，aA（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解析式為

5、ykx+b，則，解得，直線AB解析式為yx+3 （2）如圖1中，PMAB，PEOA，PMNAEN，PNMANE，PNMANE，NEOB，AN（4m），拋物線解析式為yx2+x+3，PNm2+m+3（m+3）m2+3m，解得m2或4，經(jīng)檢驗(yàn)x4是分式方程的增根，m2（3）如圖2中，在y軸上 取一點(diǎn)M使得OM，連接AM，在AM上取一點(diǎn)E使得OEOEOE2，OMOB34，OE2OMOB，BOEMOE，MOEEOB，MEBE，AE+BEAE+EMAM，此時(shí)AE+BE最小（兩點(diǎn)間線段最短，A、M、E共線時(shí)），最小值A(chǔ)M練1.2如圖1，拋物線yax26ax+6（a0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于點(diǎn)

6、B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0m8），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PMAB于點(diǎn)M（1）分別求出直線AB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）設(shè)PMN的面積為S1，AEN的面積為S2，若S1：S236：25，求m的值（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE，旋轉(zhuǎn)角為（090），連接EA、EB在x軸上找一點(diǎn)Q，使OQEOEA，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)求BE+AE的最小值【解答】解：（1）把點(diǎn)A（8，0）代入拋物線yax26ax+6，得64a48a+60，16a6，a，yx2+x+6與y軸交點(diǎn)，令x0，得y6，B（0，6）設(shè)AB為ykx+b過(guò)A（8，0），B

7、（0，6），解得：，直線AB的解析式為yx+6（2）E（m，0），N（m，m+6），P（m，m2+m+6）PEOB，ANEABO，解得：ANPMAB，PMNNEA90又PNMANE，NMPNEA，PMAN12m又PMm2+m+66+mm2+3m，12mm2+3m，整理得：m212m+320，解得：m4或m80m8，m4（3）在（2）的條件下，m4，E（4，0），設(shè)Q（d，0）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OEOE4，若OQEOEA090，d0，解得：d2，Q（2，0）由可知，當(dāng)Q為（2，0）時(shí)，OQEOEA，且相似比為，AEQE，BE+AEBE+QE，當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到BQ所在直線上時(shí)，BE+QE最小，即為BQ長(zhǎng)度

8、，B（0，6），Q（2，0），BQ2，BE+AE的最小值為2練1.3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2+x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P連接AC（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AC的解析式；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OF，旋轉(zhuǎn)角為（090），連接FA、FC求AF+CF的最小值；【解答】解：（1）在拋物線yx2+x+3中，當(dāng)x0時(shí)，y3，C（0，3），當(dāng)y3時(shí)，x10，x22，P（2，3），當(dāng)y0時(shí)，x14，x26，B（4，0），A（6，0），設(shè)直線AC的解析式為ykx+3，將A（6，

9、0）代入，得，k，yACx+3，點(diǎn)P坐標(biāo)為P（2，3），直線AC的解析式為yACx+3； （2）在OC上取點(diǎn)H（0，），連接HF，AH，則OH，AH，且HOFFOC，HOFFOC，HFCF，AF+CFAF+HFAH，AF+CF的最小值為；練1.4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的B上一動(dòng)點(diǎn)

10、，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由【解答】解：（1）直線y5x+5，x0時(shí)，y5C（0，5）y5x+50時(shí)，解得：x1A（1，0）拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn) 解得：拋物線解析式為yx26x+5當(dāng)yx26x+50時(shí)，解得：x11，x25B（5，0） （2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MHx軸于點(diǎn)HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5SABCABOC4510點(diǎn)M為x軸下方拋物線上的點(diǎn)設(shè)M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S四邊形

11、AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18當(dāng)m3，即M（3，4）時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18（可以直接利用點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，面積最大求解） （3）如圖2，在x軸上取點(diǎn)D（4，0），連接PD、CDBD541AB4，BP2PBDABPPBDABP，PDAPPC+PAPC+PD當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+PAPC+PDCD最小CDPC+PA的最小值為練1.5如圖，拋物線yax2+bx+c與x軸交于A（，0），B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB3OAOC，OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x

12、軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PFx軸，垂足為F，交直線AD于點(diǎn)H（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FHHP時(shí)，求m的值；（3）當(dāng)直線PF為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，HC為半徑作H，點(diǎn)Q為H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AQ+EQ的最小值【解答】解：（1）由題意A（，0），B（3，0），C（0，3），設(shè)拋物線的解析式為ya（x+3）（x），把C（0，3）代入得到a故拋物線的解析式為yx2+x3 （2）在RtAOC中，tanOAC，OAC60，AD平分OAC，OAD30，ODOAtan301，D（0，1），直線AD的解析式為yx1，由題意P（m，m2+m3），H（m，m1），F(xiàn)（m，0），F(xiàn)HPH，1mm1（m2+