中考數(shù)學(xué) 專題05 阿氏圓求最小值（解析版）

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題-二次函數(shù)第5節(jié) 阿氏圓求最小值 內(nèi)容導(dǎo)航方法點撥點 P 在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；點 P 在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點 A、B，則所有滿 足 PA=kPB（k1）的點 P 的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖 1 所示，O 的半徑為 r，點 A、B 都在O 外，P 為O 上一動點，已知 r=kOB， 連接 PA、PB，則當“PA+kPB”的值最小時，P 點的位置如何確定？如圖2，在線段 OB 上截取 OC 使 OC=kr，則可說 明BPO 與PCO 相似，即 kPB

2、=PC。故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，其中與 A 與 C 為定點,P 為動點，故當 A、P、C 三點共線時， “PA+PC”值最小。如圖3所示：【破解策略詳細步驟解析】 例題演練例1如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2+4x的頂點為點A（1）求點A的坐標；（2）點B為拋物線上橫坐標等于6的點，點M為線段OB的中點，點P為直線OB下方拋物線上的一動點當POM的面積最大時，過點P作PCy軸于點C，若在坐標平面內(nèi)有一動點Q滿足PQ，求OQ+QC的最小值；【解答】解：（1）yx2+4x（x+2）24，A（2，4）；（2）如圖1，過P作PHx軸交OB于H，作PGB

3、C于G，過M作MDy軸交y軸于D，點B為拋物線上橫坐標等于6的點，B（6，12），直線AB解析式為y2x設(shè)P（m，m2+4m），則H（m，2m），PH2m（m2+4m）m26m點M為線段OB的中點，M（3，6），MD3PHy軸PHGMODPGBC MDy軸PGHMDOPGHMDO，即 PGMOPHMD3（m26m）3m218m，SPOMPGMO9m（m+3）2+0，當m3時，SPOM的值最大，此時P（3，3），在PC上取點T，使得PT，連接QT，OT，PC3，PQQPTCPQQPTCPQ，即TQQC，OQ+QCOQ+TQOTOTOQ+QC的最小值為； 練1.1如圖1，拋物線yax2+（a+3）

4、x+3（a0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0m4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PMAB于點M（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）設(shè)PMN的周長為C1，AEN的周長為C2，若，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE，旋轉(zhuǎn)角為（090），連接EA、EB，求EA+EB的最小值【解答】解：（1）令y0，則ax2+（a+3）x+30，（x+1）（ax+3）0，x1或，拋物線yax2+（a+3）x+3（a0）與x軸交于點A（4，0），4，aA（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解析式為

5、ykx+b，則，解得，直線AB解析式為yx+3 （2）如圖1中，PMAB，PEOA，PMNAEN，PNMANE，PNMANE，NEOB，AN（4m），拋物線解析式為yx2+x+3，PNm2+m+3（m+3）m2+3m，解得m2或4，經(jīng)檢驗x4是分式方程的增根，m2（3）如圖2中，在y軸上 取一點M使得OM，連接AM，在AM上取一點E使得OEOEOE2，OMOB34，OE2OMOB，BOEMOE，MOEEOB，MEBE，AE+BEAE+EMAM，此時AE+BE最小（兩點間線段最短，A、M、E共線時），最小值A(chǔ)M練1.2如圖1，拋物線yax26ax+6（a0）與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點

6、B，在x軸上有一動點E（m，0）（0m8），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PMAB于點M（1）分別求出直線AB和拋物線的函數(shù)表達式（2）設(shè)PMN的面積為S1，AEN的面積為S2，若S1：S236：25，求m的值（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE，旋轉(zhuǎn)角為（090），連接EA、EB在x軸上找一點Q，使OQEOEA，并求出Q點的坐標求BE+AE的最小值【解答】解：（1）把點A（8，0）代入拋物線yax26ax+6，得64a48a+60，16a6，a，yx2+x+6與y軸交點，令x0，得y6，B（0，6）設(shè)AB為ykx+b過A（8，0），B

7、（0，6），解得：，直線AB的解析式為yx+6（2）E（m，0），N（m，m+6），P（m，m2+m+6）PEOB，ANEABO，解得：ANPMAB，PMNNEA90又PNMANE，NMPNEA，PMAN12m又PMm2+m+66+mm2+3m，12mm2+3m，整理得：m212m+320，解得：m4或m80m8，m4（3）在（2）的條件下，m4，E（4，0），設(shè)Q（d，0）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OEOE4，若OQEOEA090，d0，解得：d2，Q（2，0）由可知，當Q為（2，0）時，OQEOEA，且相似比為，AEQE，BE+AEBE+QE，當E旋轉(zhuǎn)到BQ所在直線上時，BE+QE最小，即為BQ長度

8、，B（0，6），Q（2，0），BQ2，BE+AE的最小值為2練1.3如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yx2+x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，過點C作x軸的平行線交拋物線于點P連接AC（1）求點P的坐標及直線AC的解析式；（2）如圖2，過點P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OF，旋轉(zhuǎn)角為（090），連接FA、FC求AF+CF的最小值；【解答】解：（1）在拋物線yx2+x+3中，當x0時，y3，C（0，3），當y3時，x10，x22，P（2，3），當y0時，x14，x26，B（4，0），A（6，0），設(shè)直線AC的解析式為ykx+3，將A（6，

9、0）代入，得，k，yACx+3，點P坐標為P（2，3），直線AC的解析式為yACx+3； （2）在OC上取點H（0，），連接HF，AH，則OH，AH，且HOFFOC，HOFFOC，HFCF，AF+CFAF+HFAH，AF+CF的最小值為；練1.4如圖1，在平面直角坐標系中，直線y5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為B（1）求拋物線解析式及B點坐標；（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC，當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點是半徑為2的B上一動點

10、，連接PC、PA，當點P運動到某一位置時，PC+PA的值最小，請求出這個最小值，并說明理由【解答】解：（1）直線y5x+5，x0時，y5C（0，5）y5x+50時，解得：x1A（1，0）拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A，C兩點 解得：拋物線解析式為yx26x+5當yx26x+50時，解得：x11，x25B（5，0） （2）如圖1，過點M作MHx軸于點HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5SABCABOC4510點M為x軸下方拋物線上的點設(shè)M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S四邊形

11、AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18當m3，即M（3，4）時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18（可以直接利用點M是拋物線的頂點時，面積最大求解） （3）如圖2，在x軸上取點D（4，0），連接PD、CDBD541AB4，BP2PBDABPPBDABP，PDAPPC+PAPC+PD當點C、P、D在同一直線上時，PC+PAPC+PDCD最小CDPC+PA的最小值為練1.5如圖，拋物線yax2+bx+c與x軸交于A（，0），B兩點（點B在點A的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB3OAOC，OAC的平分線AD交y軸于點D，過點A且垂直于AD的直線l交y軸于點E，點P是x

12、軸下方拋物線上的一個動點，過點P作PFx軸，垂足為F，交直線AD于點H（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點P的橫坐標為m，當FHHP時，求m的值；（3）當直線PF為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，HC為半徑作H，點Q為H上的一個動點，求AQ+EQ的最小值【解答】解：（1）由題意A（，0），B（3，0），C（0，3），設(shè)拋物線的解析式為ya（x+3）（x），把C（0，3）代入得到a故拋物線的解析式為yx2+x3 （2）在RtAOC中，tanOAC，OAC60，AD平分OAC，OAD30，ODOAtan301，D（0，1），直線AD的解析式為yx1，由題意P（m，m2+m3），H（m，m1），F(xiàn)（m，0），F(xiàn)HPH，1mm1（m2+