第二章標量衍射理論2013

1、作業(yè) 2.12.22.92.52.32. 82.102022-6-261第二章第二章 標量衍射理論標量衍射理論 衍射的中心問題是衍射的衍射的中心問題是衍射的光強分布光強分布。要精確解決這個問題，。要精確解決這個問題，必須把光波場考慮成必須把光波場考慮成矢量場矢量場。但由于用矢量波的方法求解衍。但由于用矢量波的方法求解衍射問題，其數(shù)學運算相當復雜，至今用這種方法能嚴格求解射問題，其數(shù)學運算相當復雜，至今用這種方法能嚴格求解的例子不多，而標量衍射理論是把光波場的例子不多，而標量衍射理論是把光波場 當作當作標量場標量場 來處理，來處理，即只考慮電場的一個橫向分量的標量振幅，而假定任何別的即只考慮電場

2、的一個橫向分量的標量振幅，而假定任何別的分量都可以用同樣的方法分量都可以用同樣的方法獨立獨立處理，從而忽略電矢量和磁矢處理，從而忽略電矢量和磁矢量的各個分量按麥克斯韋方程組的耦合關系。量的各個分量按麥克斯韋方程組的耦合關系。 光在傳播過程中光在傳播過程中, ,除反射、折射外，偏離直線傳播的現(xiàn)象，除反射、折射外，偏離直線傳播的現(xiàn)象，稱為光的稱為光的衍射衍射。從光廣義上說，。從光廣義上說，偏離幾何光學直線傳播規(guī)律偏離幾何光學直線傳播規(guī)律的現(xiàn)象統(tǒng)稱為衍射的現(xiàn)象統(tǒng)稱為衍射，它是光的波動性的主要標志之一。，它是光的波動性的主要標志之一。2022-6-262 實踐證明：用這種近似的處理方法在我們所涉及的光

3、學系實踐證明：用這種近似的處理方法在我們所涉及的光學系統(tǒng)中，當衍射孔徑比照明波長大得多，而且觀察點離衍射孔統(tǒng)中，當衍射孔徑比照明波長大得多，而且觀察點離衍射孔徑不太近時，所得結果是很精確的徑不太近時，所得結果是很精確的。2022-6-2632.1 2.1 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論 光學設計中要計算光波通過光學系統(tǒng)的衍射像分布。光光學設計中要計算光波通過光學系統(tǒng)的衍射像分布。光學制造和檢驗中需要通過對衍射圖形的觀察來確定光學元件學制造和檢驗中需要通過對衍射圖形的觀察來確定光學元件或系統(tǒng)的像差或缺陷?；蛳到y(tǒng)的像差或缺陷。X射線晶體學研究中可以通過衍射圖射線晶體學研究中可以通過衍射圖形來確定

4、晶體的晶格結構。形來確定晶體的晶格結構。1690年，惠更斯在其著作年，惠更斯在其著作論光論光中提出假設：中提出假設：“波前上的每一個面元都可以看作是一個次級波前上的每一個面元都可以看作是一個次級擾動中心，它們能產生球面子波，并且，后一時刻的波前位擾動中心，它們能產生球面子波，并且，后一時刻的波前位置是所有這些子波前的包絡面置是所有這些子波前的包絡面”。2022-6-2642022-6-265古斯塔夫羅伯特基爾霍夫 基爾霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，18241887），德國物理學家。他提出了穩(wěn)恒電路網(wǎng)絡中電流、電壓、電阻關系的兩條電路定律，即著名的基爾霍夫電流定律（KCL

5、）和基爾霍夫電壓定律（KVL），解決了電器設計中電路方面的難題。2022-6-266光學理論 給出了惠更斯-菲涅耳原理的更嚴格的數(shù)學形式，對德國的理論物理學的發(fā)展有重大影響。著有數(shù)學物理學講義4卷。 他還討論了電報信號沿圓形截面導線的擾動。2022-6-2672.1.1 2.1.1 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理dsdsP P1 1 Q rnP P2 2S S2.1 2.1 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論P P0 0 當光波照明一開孔衍射屏當光波照明一開孔衍射屏P1時，根據(jù)惠時，根據(jù)惠-菲原理可以建立菲原理可以建立衍射屏衍射屏P1 和觀察屏和觀察屏P2上光場分布之間的關系。屏上光場分布之

6、間的關系。屏P1上面積為上面積為 的開孔被一單色光照明，此時的開孔被一單色光照明，此時 面一般不是照明光波的波陣面，面一般不是照明光波的波陣面，故稱為故稱為“廣義波面廣義波面”。若廣義波前上的振幅和位相分布確定，。若廣義波前上的振幅和位相分布確定，就可以知道照明光源的亮度、位置和形狀。就可以知道照明光源的亮度、位置和形狀。2.1.1 2.1.1 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理是在惠更斯子波的假設與楊氏干涉原菲涅耳原理是在惠更斯子波的假設與楊氏干涉原理的基礎上提出的，它是描述光傳播過程的基本原理。理的基礎上提出的，它是描述光傳播過程的基本原理。 該原理指出：光場中任

7、一給定的該原理指出：光場中任一給定的隔開隔開波源與場點的曲面上波源與場點的曲面上的的各面元各面元可以看做是可以看做是子波源（子波源（dsds），如果這些子波是相干的，如果這些子波是相干的（例如單色光），則在波傳播的空間上的任一點（例如單色光），則在波傳播的空間上的任一點（QQ）處的光）處的光振動，都可以看做是這些子波源各自發(fā)出的子波在該點相干疊振動，都可以看做是這些子波源各自發(fā)出的子波在該點相干疊加的結果。加的結果。dsdsP P1 1 Q rnP P2 2S S2.1 2.1 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論P P0 02022-6-2682022-6-269dsdsP P Q P P0 0

8、rn設設 面上位于面上位于P點的復振幅為點的復振幅為U（P），），P點處的小面元點處的小面元ds發(fā)出的發(fā)出的球面子波在觀察場中任一點球面子波在觀察場中任一點P的的復振幅與傳播距離復振幅與傳播距離r，傳播方向與，傳播方向與面元面元ds法線法線n之間的夾角之間的夾角 有關有關dserKPcUQdUjkr1)()()(整個波前整個波前 各面元在各面元在QQ點點的的復振幅的數(shù)學表達式為復振幅的數(shù)學表達式為SrekPUCQUjkrd)()()(0 dsdsP P Q P P0 0rn)(0PU波面上任一點的復振幅波面上任一點的復振幅 隔開波源與場點的曲面隔開波源與場點的曲面)( K 傾斜因子，體現(xiàn)子波在

9、傾斜因子，體現(xiàn)子波在不同的方向上有不同的作用不同的方向上有不同的作用rejkr子波源發(fā)出的球面波子波源發(fā)出的球面波C比例系數(shù)比例系數(shù) 面不一定是照明面不一定是照明光波的波陣面，光波的波陣面，故稱為廣義波面。故稱為廣義波面。Q點的點的復振幅復振幅這是幾經修正和推廣后的惠更這是幾經修正和推廣后的惠更斯斯-菲涅爾原理的數(shù)學描述。菲涅爾原理的數(shù)學描述。2022-6-2610 衍射基本論要解決的問題是：分析由光源衍射基本論要解決的問題是：分析由光源 S S 發(fā)出的光波，發(fā)出的光波，受到衍射物體受到衍射物體 的限制后，在觀察屏（平面）的限制后，在觀察屏（平面）Q Q 上形成的復振上形成的復振幅分布或輻照度

10、分布。幅分布或輻照度分布。 惠更斯惠更斯- -菲涅爾原理可以表述為：菲涅爾原理可以表述為：“波前上任一個未受阻檔波前上任一個未受阻檔的面元，可看作是一個子波源，發(fā)射頻率與入射波相同的波面的面元，可看作是一個子波源，發(fā)射頻率與入射波相同的波面子波。在其后任意點的光振動，是所有的子波疊加的結果。子波。在其后任意點的光振動，是所有的子波疊加的結果。 菲涅爾的新貢獻：菲涅爾的新貢獻：他認識到子波和入射波前頻率（或波他認識到子波和入射波前頻率（或波長）相同，各子波是相干光波。長）相同，各子波是相干光波。引入了干涉疊加原理，而拋引入了干涉疊加原理，而拋棄了比較模糊的棄了比較模糊的“包絡包絡”概念。概念。2

11、022-6-2611由電磁場理論可知，電磁波在無源點上應滿足如下波動方程由電磁場理論可知，電磁波在無源點上應滿足如下波動方程0222 tEtEE 進一步，無損耗介質中進一步，無損耗介質中0222 tEE 0222 tEExx 0222 tEEyy 0222 tEEzz 令令),(),(tQutQEx )(2exp()(Re),(QtjQatQu 1 v2022-6-26120)(1)(2222 teQUveQUtjtj 0)(1)(222 tjtjeQUveQU 0)()(222 QUvQU vk 0)()(22 QUkQU上式方程是一個二階線性偏微分方程，稱為上式方程是一個二階線性偏微分方程

12、，稱為亥姆霍茲亥姆霍茲(Helmhotz) (Helmhotz) 方程，是方程，是無源場中單色擾動無源場中單色擾動復振幅應滿足的方程。復振幅應滿足的方程。 )2exp()(Re),(tQUtQu )()()(QjeQaQU 2022-6-26132022-6-2614亥姆霍茲 德國生物物理學家、數(shù)學家。“能量守恒定律”的創(chuàng)立者。在生理學、光學、電動力學、數(shù)學、熱力學等領域中均有重大貢獻。研究了眼的光學結構，發(fā)展了梯揚格韻色覺理論，即揚格亥姆霍茲理論；對肌肉活動的研究使他豐富了早些時候朱利葉斯邁耶和詹姆斯焦爾的理論，創(chuàng)立了能量守恒學說。2022-6-26152022-6-2616復習：復習：格林

13、（格林（Green）定理）定理 設設U(P)和和G(P)是空間位置坐標的兩個復函數(shù)，是空間位置坐標的兩個復函數(shù)，S是是包圍體積包圍體積V的封閉曲面。若在曲面的封閉曲面。若在曲面S上和上和S面內面內U和和G為單值連續(xù)，并且有一階和二階的單值連續(xù)偏導數(shù)。為單值連續(xù)，并且有一階和二階的單值連續(xù)偏導數(shù)。則則SdGUUGdVGUUGSV )()(22上式等號左邊表示對封閉曲面上式等號左邊表示對封閉曲面S所包圍的所包圍的體積體積V的積分，右端的積分，右端是對封閉曲面是對封閉曲面S的面積積分的面積積分。 在曲面在曲面S上各點沿向上各點沿向外法線上的偏導數(shù)，稱為法向導數(shù)。其中外法線上的偏導數(shù)，稱為法向導數(shù)。其

14、中U可理解為可理解為光場光場的的復振幅，輔助函數(shù)復振幅，輔助函數(shù)G稱為格林函數(shù)稱為格林函數(shù)，并使，并使G與與U一樣地滿足亥一樣地滿足亥姆赫茲方程。姆赫茲方程。表示n2022-6-2617這樣就能夠利用格林定理和亥姆霍茲方程將空間任一點的這樣就能夠利用格林定理和亥姆霍茲方程將空間任一點的復振幅復振幅U(P)用包圍該點的用包圍該點的任一封閉曲面任一封閉曲面上的上的U及及 表示。表示。n若在若在S S內和內和S S上，上，U U（P P）和）和 G G（P P）均單值連續(xù)，并且具有單均單值連續(xù)，并且具有單值連續(xù)的一階導數(shù)和二階偏導數(shù)，則有值連續(xù)的一階導數(shù)和二階偏導數(shù)，則有SdGUUGdVGUUGSV

15、 )()(22S SV V其中其中dSnSd n是是dsds上的指向上的指向S S外的單位矢量外的單位矢量SdU dSnU dSnU SdG dSnG dSnG 這一關系稱為這一關系稱為格林定理格林定理2 2、格林（、格林（GreenGreen）定理）定理n2022-6-2618SdGUUGdVGUUGSV )()(22S SV VSdU dSnU dSnU SdG dSnG dSnG n 式中式中是外法向導數(shù)。是外法向導數(shù)。利用上式，格林定理可寫為利用上式，格林定理可寫為dSnGUnUGdVGUUGSV )()(22上式是標量衍射理論的主要基礎，但是，上式是標量衍射理論的主要基礎，但是，只有

16、合適地選取格林只有合適地選取格林函函G G和封閉曲面和封閉曲面S S后后，才能將理論直接應用到衍射問題上來。，才能將理論直接應用到衍射問題上來。2022-6-26193 3、亥姆霍茲、亥姆霍茲- -基爾霍夫積分定理基爾霍夫積分定理基爾霍夫衍射理論建立在一個積分定理的基礎上，基爾霍夫衍射理論建立在一個積分定理的基礎上，此積分定此積分定理把齊次波動方程在任一點的解，用包圍這一點的任意封閉理把齊次波動方程在任一點的解，用包圍這一點的任意封閉面上方程的解及其一階微商之值表示。面上方程的解及其一階微商之值表示。如圖，令觀察點為如圖，令觀察點為P P0 0，S S為包圍為包圍P P0 0點的任一封點的任一

17、封閉曲面。我們的問題是要用封閉面上的波動閉曲面。我們的問題是要用封閉面上的波動的值來表示的值來表示P P0 0點的振動值。為此，需對格林點的振動值。為此，需對格林公式公式進行簡化進行簡化。)(Re),(tjePUtPu )(Re),(tjePGtPg 設設0)()(22 PUkPU0)()(22 PGkPGS SV V0P2022-6-26200)()(22 PUkPU0)()(22 PGkPG022 UGkUG022 UGkGU上面兩相減得上面兩相減得022 GUUGdSnGUnUGdVGUUGSV )()(22代入下式代入下式0)( dSnGUnUGS上式是同頻率的兩個光振動在無源點上必須

18、滿足的關系式，上式是同頻率的兩個光振動在無源點上必須滿足的關系式，即簡化后的即簡化后的格林定理格林定理。SV0P2022-6-2621格林函數(shù)的選擇格林函數(shù)的選擇選格林函數(shù)為由選格林函數(shù)為由P P0 0點向外發(fā)散的球面波，點向外發(fā)散的球面波，于是曲面于是曲面S S上任一點上任一點P P1 1處的處的格林函數(shù)格林函數(shù)為為)(1PG0101rejkr S SV V0P01r1P S這樣選取格林函數(shù)，這樣選取格林函數(shù)，P P0 0點就成了有源點，此時，點就成了有源點，此時，G G在在P P0 0點處出現(xiàn)點處出現(xiàn)不連續(xù)的情況，而格林定理是要求不連續(xù)的情況，而格林定理是要求G G在體積在體積V V內必須

19、是連續(xù)的。內必須是連續(xù)的。因此，為了排除在因此，為了排除在P P0 0點函數(shù)的不連續(xù)性，我們以點函數(shù)的不連續(xù)性，我們以P P0 0為球心，作為球心，作一半徑為一半徑為 的小球面的小球面 S，格林定理中的積分體積為介于，格林定理中的積分體積為介于S S和和 S之間的空間之間的空間, ,而積分面則是復合曲面而積分面則是復合曲面 S+S+ SS 0)( dSnGUnUGS由由得得n2022-6-26220)()()( dSnGUnUGdSnGUnUGdSnGUnUGSSS S SV V0P01r1P S)(1PG0101rejkr 對式對式求導求導),cos(0101rnrGnG ),cos()1(

20、01010101rnrerjkjkr 對對 S面有面有 01r1),cos(01 rn jkePG )(1因此有因此有 nG jkejk)1( 因為因為U U及其法向導數(shù)在及其法向導數(shù)在P P0 0點連續(xù)，所以當點連續(xù)，所以當0 ，U U和和nU nn2022-6-2623都可以用都可以用P P0 0點的點的U U（P P）值和）值和0PnU 值代替，即對于確定的值代替，即對于確定的P P0 0點，它們都是常量。同時點，它們都是常量。同時24 S0 01PP 200041)()(0limlim PjkjkSejkPUnUedSnGUnUG S SV V0P01r1P S)(40PU 0)()(

21、 dSnGUnUGdSnGUnUGSS 由下式由下式dSnGUnUGS )(41 )(0PUdSrenUnUreSjkrjkr 0101010141 上式稱為亥姆霍茲上式稱為亥姆霍茲- -基爾霍夫積分定理基爾霍夫積分定理n2022-6-2624 )(0PUdSrenUnUreSjkrjkr 0101010141 上式的物理意義是：衍射場中任意點上式的物理意義是：衍射場中任意點P P0 0的復振幅的復振幅U U（P P0 0）可用）可用包圍包圍P P0 0點的任意封閉曲面點的任意封閉曲面S S上各點的波動邊值上各點的波動邊值U U和和nU 通過積分求得。這一定理在標量衍射理論中起著重要的作用。通

22、過積分求得。這一定理在標量衍射理論中起著重要的作用。4 4、平面衍射屏基爾霍夫衍射公式、平面衍射屏基爾霍夫衍射公式如圖，在無限大不透明屏如圖，在無限大不透明屏D D上有一任意形狀開孔上有一任意形狀開孔 單色平面光波從左面投射到單色平面光波從左面投射到D D上和開上和開孔上，試計算衍射屏后面任一點孔上，試計算衍射屏后面任一點P P0 0的光場的復振幅。的光場的復振幅。2022-6-2625 D P0為了求出為了求出P P0 0點的復振幅，需選擇一個合適的積分面。我們選點的復振幅，需選擇一個合適的積分面。我們選如圖兩個部分：一部分以如圖兩個部分：一部分以P P0 0為中心，為中心，R R為半徑的球

23、面為半徑的球面S S2 2；另；另一部分是緊靠屏后的平面一部分是緊靠屏后的平面S S1 1，整個封閉面是，整個封閉面是S S1 1+S+S2 22S1S nD )(0PUR0PdSnGUnUGS )(41 dSnGUnUGS 1)(41 dSnGUnUGS 2)(41 在在S S2 2面上面上ReGjkR 可見，隨著可見，隨著R R的增大，的增大，G G趨于零。同時，趨于零。同時，U U也因為遠離光源區(qū)也因為遠離光源區(qū)域而無限減小。但是積分面積卻按域而無限減小。但是積分面積卻按R R2 2增大。因而上式中第二增大。因而上式中第二項積分在項積分在R R無限增大時無限增大時是否為零是否為零，還需作

24、進一步的分析。，還需作進一步的分析。2022-6-26262S1S nDR0P進一步分析表明，只要對進一步分析表明，只要對S S2 2面各點都滿足下式面各點都滿足下式0)(lim jkUnURR0)(412 dSnGUnUGS 在上式條件下，可得在上式條件下，可得P P0 0點的復振幅為點的復振幅為索末菲輻射條件索末菲輻射條件 )(0PUdSnGUnUGS 1)(41 基爾霍夫邊界條件的兩個假設：基爾霍夫邊界條件的兩個假設：（1 1）在開孔）在開孔 上的場分布與沒有屏時相同上的場分布與沒有屏時相同（2 2）在）在S S1 1上，除了上，除了 以外，其它各點的場分布以外，其它各點的場分布U U與

25、與nU 恒為零。恒為零。2022-6-2627即：實際U擾動本身衰減要和球面波衰減一樣快2022-6-2628趙立竹趙立竹. 索末菲輻射條件的物理圖象索末菲輻射條件的物理圖象J.吉林師范大學學報吉林師范大學學報(自然科學版自然科學版), 1987, (2) 顯然，這兩條假說是不嚴格的。首先，屏幕的存在必然會在一顯然，這兩條假說是不嚴格的。首先，屏幕的存在必然會在一定的程度上干擾屏上的場，其次屏上的場總是要擴展到屏后幾定的程度上干擾屏上的場，其次屏上的場總是要擴展到屏后幾個波長的距離。但在孔的線度比波長大得多、且觀察點離孔徑個波長的距離。但在孔的線度比波長大得多、且觀察點離孔徑較遠時，利用上述邊

26、界條件得出的結果與實驗符合得很好。較遠時，利用上述邊界條件得出的結果與實驗符合得很好。在基爾霍夫邊界條件的兩個假設下，屏上的復振幅完全由照在基爾霍夫邊界條件的兩個假設下，屏上的復振幅完全由照明光波決定，進而，衍射場中任一點明光波決定，進而，衍射場中任一點P P0 0的復振幅的復振幅U U（P P0 0）完）完全由屏上各點的全由屏上各點的U U和和nU 決定。決定。這樣這樣P P0 0點的復振幅進一步簡化為點的復振幅進一步簡化為 )(0PUdSnGUnUG )(41 上式稱為基爾霍夫衍射公式上式稱為基爾霍夫衍射公式屏上的光場與照明光源有關，下面討論單色點光源照明開孔時屏上的光場與照明光源有關，下

27、面討論單色點光源照明開孔時的衍射規(guī)律。的衍射規(guī)律。2022-6-2629 n0P01r21r2P1P如圖如圖P P2 2為照明光源，為照明光源，P P1 1 為屏上一點為屏上一點 上光振動與方向導數(shù)為上光振動與方向導數(shù)為 )(1PU2121rAejkr nPU)(1),cos()1(21212121rnrAerjkjkr 上格林函數(shù)與方向導數(shù)為上格林函數(shù)與方向導數(shù)為 )(1PG0101rejkr nPG)(1),cos()1(01010101rnrAerjkjkr 將上兩式代入將上兩式代入 基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式 )(0PUdSnGUnUG )(41 krr 01211,1注意注意2

28、022-6-2630 )(0PUdSrnrnrrejArrjk 2),cos(),cos(21012101)(1201 dSrnrePUjjkr 21),cos()(10101101 若對照明光源取若對照明光源取近軸近似近軸近似，即，即1),cos(21 rn )(0PU推廣：對于一般光源照明，上式也是成立的，這時推廣：對于一般光源照明，上式也是成立的，這時U U（P P1 1）泛指屏上的復振幅。泛指屏上的復振幅。 n0P01r21r2P1P 2022-6-2631SrekPUCQUjkrd)()()(0 nQrP 采用書上的符號，采用書上的符號，基爾霍夫衍射公式和基爾霍夫衍射公式和惠更斯惠更

29、斯菲涅耳原理的菲涅耳原理的數(shù)學式可重寫于下數(shù)學式可重寫于下dSrnrePUjjkr 21),cos()(10 )(QU比較兩式可得常數(shù)和傾斜因子分別為比較兩式可得常數(shù)和傾斜因子分別為 jC1 2cos12),cos(1)( rnK由基爾霍夫邊界條件的兩個假設可知，屏外的光場由基爾霍夫邊界條件的兩個假設可知，屏外的光場U U0 0（P P）為零，所以積分限可以擴展到無窮，從而有為零，所以積分限可以擴展到無窮，從而有SrekPCUQUjkrd)()()(0 2022-6-26322022-6-2633可以看出：可以看出：第一、惠更斯第一、惠更斯-菲涅爾公式中的傾斜因子菲涅爾公式中的傾斜因子K( )

30、有了具體形式。有了具體形式。第二、由于公式中出現(xiàn)了第二、由于公式中出現(xiàn)了1/j，因而表明惠更斯，因而表明惠更斯-菲涅爾原理菲涅爾原理須假定波面須假定波面 上任一點的子波波源的振動相位超前于光源直上任一點的子波波源的振動相位超前于光源直接傳到接傳到Q點的振動相位點的振動相位 /2，但，但1/j或或1/ 不會影響衍射花樣的不會影響衍射花樣的相對強度分布，故理論與實驗結果一致。相對強度分布，故理論與實驗結果一致。 jC1 21jejj2.1.2 2.1.2 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理與疊加積分菲涅耳原理與疊加積分SrekPUjQUjkrd)()(1)(0 rekjQPhjkr)(1),( 設設SQPh

31、PUd),()(0 )(QdUdSQPhPUQdU),()()(0 上式表示屏上上式表示屏上P P點處的小面元對觀察點點處的小面元對觀察點QQ的貢獻。的貢獻。1)(0 dSPU單位振幅（脈沖）單位振幅（脈沖）則則),()(QPhQdU P P點處的單位脈沖在點處的單位脈沖在QQ點產生的復振幅分布點產生的復振幅分布),(QPh單位脈沖響應或單位脈沖響應或點擴散函數(shù)點擴散函數(shù)令令2022-6-2634由上式疊加積分可得，觀察點由上式疊加積分可得，觀察點Q的復振幅是的復振幅是 上所有面元的光上所有面元的光振動振動在在QQ點引起的復振幅的相干疊加。點引起的復振幅的相干疊加。注：如果把衍射過程看作是一種

32、變換，則上式便是將函數(shù)注：如果把衍射過程看作是一種變換，則上式便是將函數(shù)U U0 0（P P）變換成）變換成U U（QQ）的變換式。按系統(tǒng)的觀點，）的變換式。按系統(tǒng)的觀點，衍射過程衍射過程或或傳播過程也可以看做為一種線性系統(tǒng)的傳播過程也可以看做為一種線性系統(tǒng)的線性變換線性變換。h(P,Q)h(P,Q)代代表了這個系統(tǒng)的全部特性。表了這個系統(tǒng)的全部特性。SQPhPUQUd),()()(0 2022-6-26352.1.3 2.1.3 相干光場在自由空間傳播的平移不變性相干光場在自由空間傳播的平移不變性當點光源當點光源P P0 0足夠遠，而且入射光在孔徑平面上各點的入射角足夠遠，而且入射光在孔徑平

33、面上各點的入射角都不太大時，有都不太大時，有1)( K此外，如果觀察平面在與孔徑平面的距離此外，如果觀察平面在與孔徑平面的距離Z Z遠大于孔徑，而遠大于孔徑，而且觀察面上只考慮一個對孔上各點張角不大的范圍，即在且觀察面上只考慮一個對孔上各點張角不大的范圍，即在傍軸條件下，又有傍軸條件下，又有此時此時zejQPhjkr 1),( 2022-6-2636 n0P01r21r2P1P 1)r ,ncos(011)r ,ncos(21此時此時zejQPhjkr 1),( 0 x0y0 xy0QzzPr 2020200)()(exp)1),;,(yyxxzjkjzyxyxh ),(00yyxxh 脈沖響

34、應具有空不變形式脈沖響應具有空不變形式2022-6-2637即無論孔徑平面上子波源的位置如何，所產生的球面子波即無論孔徑平面上子波源的位置如何，所產生的球面子波的形式都是一樣的。上式疊加式可以寫為的形式都是一樣的。上式疊加式可以寫為0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU 上式表明孔徑平面上透射光場上式表明孔徑平面上透射光場U U（x x0 0,y,y0 0) )和觀察平面上的和觀察平面上的光場光場U(x,y)U(x,y)之間存在著一個之間存在著一個卷積積分卷積積分所描述的關系。所描述的關系。光波在衍射孔徑后的傳播現(xiàn)象看成是光波在衍射孔徑后的傳播現(xiàn)象看成是線性不變系統(tǒng)線性

35、不變系統(tǒng)。系統(tǒng)。系統(tǒng)在空間域的特性唯一地由其空間不變的單位脈沖響應在空間域的特性唯一地由其空間不變的單位脈沖響應h h所所確定。這一響應就是位于孔徑平面的確定。這一響應就是位于孔徑平面的子波源所發(fā)出的球面子波源所發(fā)出的球面子波在觀察平面產生的復振幅分布子波在觀察平面產生的復振幅分布。00000),(dydxyxU可看作不同位置的子波源所賦予球面子可看作不同位置的子波源所賦予球面子波的權波的權重因子。所有球面子波的相干疊加，就可以得到觀重因子。所有球面子波的相干疊加，就可以得到觀察平面的光場分布。察平面的光場分布。2022-6-26382.2 2.2 衍射的角譜理論衍射的角譜理論1 1、角譜的傳

36、播、角譜的傳播由前面的討論，我們知道，孔徑平面和觀察平面上的光場都可由前面的討論，我們知道，孔徑平面和觀察平面上的光場都可以看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合。每一以看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合。每一平面波分量的振幅和相位取決于相應的角譜平面波分量的振幅和相位取決于相應的角譜)cos,cos(0 A和和)cos,cos( A dd)(2exp),(),(yxjAzyxU )cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos()0 ,(000000 yxjAyxU)cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos(),( yxjAzyxU2

37、022-6-2639如果我們知道了如果我們知道了)cos,cos(0 A和和)cos,cos( A之間的關系，就知道了每一平面波分量在傳播過程中之間的關系，就知道了每一平面波分量在傳播過程中振幅和相振幅和相位位發(fā)生的變化，自然就可以確定整個光場由孔徑平面?zhèn)鞑サ接^發(fā)生的變化，自然就可以確定整個光場由孔徑平面?zhèn)鞑サ接^察平面所發(fā)生的變化。察平面所發(fā)生的變化。討論角譜傳播規(guī)律的基礎仍舊是標量波動方程。對于單色光場，討論角譜傳播規(guī)律的基礎仍舊是標量波動方程。對于單色光場，著眼點是復振幅這一物理量。它滿足亥姆霍茲方程著眼點是復振幅這一物理量。它滿足亥姆霍茲方程0),(),(22 yxUkyxU0)cosc

38、os1()cos,cos()cos,cos(22222 kAAdzd對每一平面波分量，也應滿足上式方程，注意對每一平面波分量，也應滿足上式方程，注意A A僅是僅是z z的函數(shù)的函數(shù)0)coscos(2exp)cos,cos()(22 yxjAk 解這個微分方程得解這個微分方程得2022-6-2640)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(22 jkzCAz=0z=0)cos,cos()cos,cos(0 CA )coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA上式就是上式就是角譜傳播角譜傳播的規(guī)律，知道了的規(guī)律，知道了z=0z=0平面上的角譜就可

39、以平面上的角譜就可以求出觀察平面上的角譜，然后通過傅里葉逆變換就能求出觀求出觀察平面上的角譜，然后通過傅里葉逆變換就能求出觀察平面上的復振幅分布。上式具有和基爾霍夫衍射公式等同察平面上的復振幅分布。上式具有和基爾霍夫衍射公式等同的價值。的價值。2022-6-2641)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA討論：（討論：（1 1）當方向余弦滿足下面關系式時）當方向余弦滿足下面關系式時1coscos22 各平面波傳播一定距離各平面波傳播一定距離z z僅是引入一定的相移，而振幅不變。由僅是引入一定的相移，而振幅不變。由于不同方向上傳播的平面波分量在到達觀察平面時

40、走過的距離于不同方向上傳播的平面波分量在到達觀察平面時走過的距離各不相同，因而產生的相移與傳播方向有關。各不相同，因而產生的相移與傳播方向有關。1coscos22 （2 2）)exp()cos,cos()cos,cos(0 zAA 2022-6-26421coscos22 （2 2）)exp()cos,cos()cos,cos(0 zAA 01coscos22 k所以對一切滿足所以對一切滿足1coscos22 的波動分量，將隨著的波動分量，將隨著z z的增的增加而按指數(shù)加而按指數(shù))exp( z 衰減。在幾個波長距離內幾乎衰減為零衰減。在幾個波長距離內幾乎衰減為零對應于這些傳播方向波動分量稱為對

41、應于這些傳播方向波動分量稱為倏倏(shu)(shu)逝波逝波。在通常情況下。在通常情況下不計。不計。1coscos22 （3 3）0cos 90 該波動分量的傳播方向垂直于該波動分量的傳播方向垂直于z z軸，因此，沿軸，因此，沿z z方向實際上沒有方向實際上沒有能量傳播。能量傳播。2022-6-2643)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA（4 4）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)),(),(),(0 HAA )coscos1exp(),(),(),(220 jkzAAH22)()(1exp( jkz當觀察平面與孔徑平面之間的距離大于幾個波長時，倏逝波就當

42、觀察平面與孔徑平面之間的距離大于幾個波長時，倏逝波就衰減到極小，可以忽略，所以傳遞函數(shù)就可以表示為衰減到極小，可以忽略，所以傳遞函數(shù)就可以表示為 ),( H22)()(1exp( jkz02221 其它其它 ),( H1 1 12022-6-2644 ),( H22)()(1exp( jkz02221 其它其它公式表明，可以把光波的傳播看作是一個空間濾波器。它具公式表明，可以把光波的傳播看作是一個空間濾波器。它具有有限空間帶寬，在頻率平面上半徑為有有限空間帶寬，在頻率平面上半徑為 /1的圓形區(qū)域內，的圓形區(qū)域內，傳遞函數(shù)的模為傳遞函數(shù)的模為1 1，對各頻率分量的振幅沒有影響。但引入了，對各頻率

43、分量的振幅沒有影響。但引入了與頻率有關的相移。在這一圓形區(qū)域之外，傳遞函數(shù)為零。與頻率有關的相移。在這一圓形區(qū)域之外，傳遞函數(shù)為零。這一結論告訴我們，對于孔徑中這一結論告訴我們，對于孔徑中比波長還小的精細結構比波長還小的精細結構，或，或者說空間頻率大于者說空間頻率大于 /1的信息，在單色光波照明下不能沿的信息，在單色光波照明下不能沿z z方向傳遞。方向傳遞。2022-6-2645 ),( H22)()(1exp( jkz02221 其它其它以上就是衍射的角譜理論。如果把描述球面子波相干迭加的以上就是衍射的角譜理論。如果把描述球面子波相干迭加的基爾霍夫衍射的理論稱為衍射的基爾霍夫衍射的理論稱為衍

44、射的球面波理論球面波理論，角譜理論則可角譜理論則可以稱為衍射的以稱為衍射的平面波理論平面波理論。它描述孔徑平面不同方向傳播的。它描述孔徑平面不同方向傳播的平面波分量在傳播距離平面波分量在傳播距離Z Z后后，各自引入與各自引入與頻率有關的相移頻率有關的相移。然。然后再線性疊加，可得觀察平面上的場分布后再線性疊加，可得觀察平面上的場分布。2022-6-2646 基爾霍夫衍射理論與角譜理論完全是統(tǒng)一的。它們都證明基爾霍夫衍射理論與角譜理論完全是統(tǒng)一的。它們都證明了光的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)。了光的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)。 基爾霍夫理論是在基爾霍夫理論是在空域空域討論光的傳播，是把孔徑平面光場

45、討論光的傳播，是把孔徑平面光場看作是看作是點源的集合點源的集合，觀察平面上的場分布則等于它們所發(fā)出的，觀察平面上的場分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同帶有不同權重因子權重因子的球面子波的相干迭加。球面子波在觀察平的球面子波的相干迭加。球面子波在觀察平面上的復振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應。面上的復振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應。 角譜理論是在角譜理論是在頻率域頻率域討論光的傳播，是把孔徑平面場分布討論光的傳播，是把孔徑平面場分布看作許多不同方向傳播的平面波分量的的線性組合。觀察平面看作許多不同方向傳播的平面波分量的的線性組合。觀察平面上的場分布仍舊是這些平面波分量的相干迭加，但每個平面波上的場分布仍舊是這

46、些平面波分量的相干迭加，但每個平面波分量引入分量引入相移相移。相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)。相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)的的脈沖響應脈沖響應的傅里葉變換。的傅里葉變換。2022-6-2647010203 dd)(2exp),(),(yxjAzyxU ),(),(),(0 HAA 0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU ),( ddG),( ddG),( ddG),(權重權重權重權重權重權重2022-6-26482.2.32.2.3孔徑對角譜的影響孔徑對角譜的影響前面提到的孔徑平面的光場分布前面提到的孔徑平面的光場分布U U（x x0 0,y,y0

47、 0) )實際上是指緊靠孔實際上是指緊靠孔徑平面后方的透向射光場的分布。徑平面后方的透向射光場的分布。因因此，我們前面實際上只此，我們前面實際上只討論了光波在討論了光波在自由空間自由空間傳播時光場及其角譜發(fā)生的變化?，F(xiàn)傳播時光場及其角譜發(fā)生的變化?，F(xiàn)在我們要討論的是在我們要討論的是照明孔徑照明孔徑的入射光場與透射光場之間的關的入射光場與透射光場之間的關系，特別是角譜之間的關系。系，特別是角譜之間的關系。2022-6-2649 孔徑對入射效應是展寬了光擾動的角譜，孔徑越小，衍孔徑對入射效應是展寬了光擾動的角譜，孔徑越小，衍射效應越顯著，也就是孔徑或的角譜越寬射效應越顯著，也就是孔徑或的角譜越寬。

48、 ),(00yxUi),(000yxU),(00yxt如圖如圖 ),(00yxt),(),(00000yxUyxUi復振幅透過復振幅透過率率)cos,cos( iA)cos,cos(0 A)cos,cos( T),(00yxt),(),(),(0000000yxUyxtyxUi 利用傅里葉變換利用傅里葉變換卷積定理卷積定理可得角可得角譜之間的關系如下：譜之間的關系如下： )cos,cos(0 A)cos,cos()cos,cos( TAi )cos,cos( T是孔徑透過率的是孔徑透過率的傅里葉變換傅里葉變換為了理解衍射孔徑對于入射光場角譜的效為了理解衍射孔徑對于入射光場角譜的效應，我們以矩形

49、孔徑為例說明。應，我們以矩形孔徑為例說明。)()(),(0000byrectaxrectyxt 2022-6-2650),(00yxt ),(00yxUi),(000yxU)cos,cos( iA)cos,cos(0 A)cos,cos( T),(00yxt采用單位振幅平面波垂直照明孔采用單位振幅平面波垂直照明孔徑，入射場為徑，入射場為1),(00 yxUi其角譜為其角譜為)cos,cos()cos,cos( iA由于由于 函數(shù)只有當函數(shù)只有當0cos 0cos 時才不為零，所以照明光波的角譜只有一時才不為零，所以照明光波的角譜只有一個，它代表沿衍射屏法向傳播的平面波。個，它代表沿衍射屏法向傳

50、播的平面波。當此光波通過此孔徑后，衍射光場的角譜為當此光波通過此孔徑后，衍射光場的角譜為 )cos,cos(0 A)cos,cos()cos,cos( T )cos,cos( T 2022-6-2651 )cos,cos(0 A)cos,cos( T)cos(sin)cos(sin bcacab 顯然顯然)cos,cos(0 A較之入射光場角譜包含的角譜分量大大增加了。較之入射光場角譜包含的角譜分量大大增加了。因此，從空間域來看，孔徑的作用是因此，從空間域來看，孔徑的作用是限制限制了入射波面的大小范了入射波面的大小范圍，而從頻域來看，則是圍，而從頻域來看，則是展寬展寬了入射光場的角譜。而且孔徑

51、越了入射光場的角譜。而且孔徑越小，透射光場的角譜就愈寬，或者說包含的高頻成分就愈多。小，透射光場的角譜就愈寬，或者說包含的高頻成分就愈多。 cos)cos(sin aca1a1 2022-6-26522.3 2.3 菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射0 x0y0 xy0QzzPr一、菲涅耳衍射公式一、菲涅耳衍射公式基爾霍夫衍射公式是一般的，直接用它來計算比較困難，具基爾霍夫衍射公式是一般的，直接用它來計算比較困難，具有實用意義的是對這個普遍理論作某些近似，用近似公式計有實用意義的是對這個普遍理論作某些近似，用近似公式計算一定范圍內的衍射場分布，按照近似程度不同，分為菲涅算一定范圍

52、內的衍射場分布，按照近似程度不同，分為菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射。耳衍射和夫瑯和費衍射。2022-6-26530000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU zejyyxxhjkr 1),(00 由前面知道由前面知道22020)()(zyyxxr 220220)(21)(211zyyzxxz當當z z大于某一值時大于某一值時0 x0y0 xy0QzzPr2022-6-2654 202000)()(2exp)exp(1),(yyxxzkjjkzjzyyxxh 由上式可知，菲涅耳近似的實質是用由上式可知，菲涅耳近似的實質是用二次曲面二次曲面來代替球面的惠更來代替球面的惠更斯子波。上式

53、代入基爾霍夫衍射公式就得菲涅耳衍射公式。斯子波。上式代入基爾霍夫衍射公式就得菲涅耳衍射公式。 002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU 上面是從空域對上面是從空域對h h作出近似，導出了菲涅耳衍射公式，這是傳作出近似，導出了菲涅耳衍射公式，這是傳統(tǒng)的物理光學教材中采用的方法。下面我們從衍射的角譜理論統(tǒng)的物理光學教材中采用的方法。下面我們從衍射的角譜理論出發(fā)，出發(fā)，即從頻域考慮即從頻域考慮，對描述光波傳播的傳遞函數(shù)作出近似，對描述光波傳播的傳遞函數(shù)作出近似，來導出菲涅耳衍射公式，并給出菲涅耳衍射公式成立的條件。來導出菲涅耳衍射公式，并

54、給出菲涅耳衍射公式成立的條件。2022-6-2655上面是從空域對上面是從空域對h h作出近似，導出了菲涅耳衍射公式，這是傳作出近似，導出了菲涅耳衍射公式，這是傳統(tǒng)的物理光學教材中采用的方法。下面我們從衍射的角譜理論統(tǒng)的物理光學教材中采用的方法。下面我們從衍射的角譜理論出發(fā)，出發(fā)，即從頻域考慮即從頻域考慮，對描述光波傳播的傳遞函數(shù)作出近似，對描述光波傳播的傳遞函數(shù)作出近似，來導出菲涅耳衍射公式，并給出菲涅耳衍射公式成立的條件。來導出菲涅耳衍射公式，并給出菲涅耳衍射公式成立的條件。)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA)coscos1exp()cos,co

55、s(22 jkzH當當1coscos22 對相位因子中的根式作二項式展開對相位因子中的根式作二項式展開)cos(cos122 22222)cos(cos81)cos(cos211 2022-6-2656假定展開式中第三項所貢獻的相位變化遠小于假定展開式中第三項所貢獻的相位變化遠小于1rad1rad，則上式中，則上式中二次方以上的項都可以忽略，即二次方以上的項都可以忽略，即z z應滿足下式應滿足下式1)cos(cos8max222 kzkzjyyixxr )()(000 x0y0 xy0QzzPr )(cos0 xxrir zxxrxx)()(cos00 zyyryy)()(cos00 代入上式

56、代入上式2022-6-26572022-6-2658討論討論1：這個近似成立的區(qū)域稱為菲涅爾衍射區(qū)。作菲涅爾這個近似成立的區(qū)域稱為菲涅爾衍射區(qū)。作菲涅爾近似處理時，對衍射近似處理時，對衍射孔徑孔徑大小，觀察區(qū)域大小，觀察區(qū)域范圍范圍和兩屏之間的和兩屏之間的距離距離都有一定都有一定要求要求。要求略去高次項后，不會引起明顯的位。要求略去高次項后，不會引起明顯的位相誤差。相誤差。)(1)()(8max2020radzyyzxxkzmax2020)()(4yyxxz滿足上述條件時（滿足上述條件時（菲涅爾近似條件菲涅爾近似條件），觀察平面所在的區(qū)域稱為），觀察平面所在的區(qū)域稱為菲涅耳衍射區(qū)菲涅耳衍射區(qū)，

57、這是一個這是一個充分充分條件。條件。討論討論2： 002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU 2022-6-2659在菲涅耳衍射區(qū)內在菲涅耳衍射區(qū)內)cos(cos122 )cos(cos21122 )cos(cos2exp)exp()cos,cos(22 zkjjkzH因為因為 cos cos傳遞函數(shù)也可以表示為傳遞函數(shù)也可以表示為 )(exp)exp(),(22 zjjkzH )(exp)exp(),(22 zjjkzH討論討論3 3：上式第一項相位因子表示各角譜分量在距離為上式第一項相位因子表示各角譜分量在距離為z z的兩個的兩

58、個平面之間傳播時都要受到的一個均勻的平面之間傳播時都要受到的一個均勻的相位延遲相位延遲。第二項相位。第二項相位因子表示各角譜分量將產生與頻率有關的相移，即與空間頻率因子表示各角譜分量將產生與頻率有關的相移，即與空間頻率的平方有關的的平方有關的“色散色散”。 ddyyxxjzjjkzyyxxh )()(exp)(exp)(exp),(0022002 2020)()(2exp)exp(1yyxxzkjjkzjz 這一式子正好是基爾霍夫衍射公式經過近似得到的脈沖響應這一式子正好是基爾霍夫衍射公式經過近似得到的脈沖響應上面的討論可知，兩種近相似，一個是在空域，一個是的頻域，上面的討論可知，兩種近相似，

59、一個是在空域，一個是的頻域，但最終的結果是一致的。下面對菲涅耳衍射公式作進一步的討但最終的結果是一致的。下面對菲涅耳衍射公式作進一步的討論。論。2022-6-2660 0020200000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU 上式實際上是孔徑平面上的光場復振幅分布與球面子波的卷積上式實際上是孔徑平面上的光場復振幅分布與球面子波的卷積, ,2022-6-2661該式成為菲涅爾近似。這個近似成立的區(qū)域稱為菲涅爾衍射該式成為菲涅爾近似。這個近似成立的區(qū)域稱為菲涅爾衍射區(qū)。作菲涅爾近似處理時，對衍射孔徑大小，觀察區(qū)域范圍區(qū)。作菲涅爾近似處理時，對衍射孔徑

60、大小，觀察區(qū)域范圍和兩屏之間的距離都有一定要求。要求略去高次項后，不會和兩屏之間的距離都有一定要求。要求略去高次項后，不會引起明顯的位相誤差。引起明顯的位相誤差。2022-6-2662展開指數(shù)中的二次項，則有展開指數(shù)中的二次項，則有 )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU zyzxyxj ,00)(2exp討論討論4： )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU )(2exp)