【高三數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué)解題思想方法技巧大總結(jié)（共76頁）

1、目 錄前言 2第一章 高中數(shù)學(xué)解題根本方法 3一、 配方法 3 二、 換元法 7三、 待定系數(shù)法 14四、 定義法 19五、 數(shù)學(xué)歸納法 23六、 參數(shù)法 28七、 反證法 32八、 消去法 九、 分析與綜合法 十、 特殊與一般法 十一、 類比與歸納法 十二、 觀察與實(shí)驗(yàn)法 第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 35一、 數(shù)形結(jié)合思想 35二、 分類討論思想 41三、 函數(shù)與方程思想 47四、 轉(zhuǎn)化化歸思想 54第三章 高考熱點(diǎn)問題和解題策略 59一、 應(yīng)用問題 59二、 探索性問題 65三、 選擇題解答策略 71四、 填空題解答策略 77附錄 一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 二、 兩套高考模擬試卷 三、

2、參考答案 前 言美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，總想用熟悉的題型去“套，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫穿時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個(gè)方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查： 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等； 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法

3、等； 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想等。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)根底知識(shí)相比擬，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法那么是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)根本方法是數(shù)學(xué)思想的表達(dá)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特

4、征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)根本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得?？梢哉f，“知識(shí)是根底，“方法是手段，“思想是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合表達(dá)就是“能力。為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)根本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問題，并在附錄局部提

5、供了近幾年的高考試卷。在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的表達(dá)，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對方法和問題進(jìn)行示范。穩(wěn)固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到穩(wěn)固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)局部重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。第一章 高中數(shù)學(xué)解題根本方法一、 配方法配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形配成“完全平方的技巧，通過配方找到和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)與“添項(xiàng)、“配與“湊的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，

6、使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最根本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(ab)a2abb，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種根本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)b；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1sin212sincossincos；x(x)2(x)2 ； 等等。、再現(xiàn)性題組：1. 在正項(xiàng)等比數(shù)

7、列a中，asa+2asa+aa=25，那么 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圓的充要條件是_。 A. <k<1 B. k<或k>1 C. kR D. k或k13. sincos1，那么sincos的值為_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函數(shù)ylog (2x5x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。 A. , B. ,+) C. (, D. ,3)5. 方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，那么點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，那么實(shí)數(shù)a_?！竞喗狻?1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aaa，將等式左邊后配方aa易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形

8、式(xa)(yb)r，解r>0即可，選B。 3小題：等式經(jīng)配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3。、示范性題組：例1. 長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，那么這個(gè)長方體的一條對角線長為_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，那么 ,而欲求對角線長，將其配湊成兩式的組合形式可得?！窘狻吭O(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，由“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為

9、24而得：。長方體所求對角線長為：5所以選B?！咀ⅰ看祟}解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2. 設(shè)方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，假設(shè)()+()7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍?！窘狻糠匠蘹kx2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q為方程xkx2=0的兩實(shí)根， k80即k2或k2綜合起來，k的取值范圍是：k 或者 k?！咀ⅰ?關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“；方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)

10、運(yùn)用韋達(dá)定理。此題由韋達(dá)定理得到pq、pq后，觀察不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假設(shè)此題不對“討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足aabb=0，求()() ?！痉治觥?對式可以聯(lián)想：變形為()()10，那么 為1的立方虛根；或配方為(ab)ab 。那么代入所求式即得。【解】由aabb=0變形得：()()10 ，設(shè)，那么10，可知為1的立方虛根，所以：，1。又由aabb=0變形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 ?！咀ⅰ?此題通過配方，簡

11、化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開?！玖斫狻坑蒩abb0變形得：()()10 ，解出后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()()后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未聯(lián)想到時(shí)進(jìn)行解題。假設(shè)此題沒有想到以上一系列變換過程時(shí)，還可由aabb0解出：ab，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。、穩(wěn)固性題組：1. 函數(shù)y(xa)(xb) a、b為常數(shù)的最小值為_。A. 8 B. C. 2. 、是方程x2axa60的兩實(shí)根，那么(-1) +(-1)的最小值是_。A

12、. B. 8 C3. x、yR，且滿足x3y10，那么函數(shù)t28有_。4. 橢圓x2ax3ya60的一個(gè)焦點(diǎn)在直線xy40上，那么a_。A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或65. 化簡：2的結(jié)果是_。A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 設(shè)F和F為雙曲線y1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足FPF90°，那么FPF的面積是_。7. 假設(shè)x>1，那么f(x)x2x的最小值為_。8. <，cos(-)，sin(+)，求sin2的值。(92年高考題)9. 設(shè)二次函數(shù)f(x)AxBxC，給定m、nm<n,且滿

13、足A(m+n)+ mn2AB(m+n)CmnBC0 。 解不等式f(x)>0； 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0 ？假設(shè)不存在，說出理由；假設(shè)存在，指出t的取值范圍。10. 設(shè)s>1，t>1，mR，xlogtlogs，ylogtlogsm(logtlogs), 將y表示為x的函數(shù)yf(x)，并求出f(x)的定義域； 假設(shè)關(guān)于x的方程f(x)0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。二、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究

14、對象，將問題移至新對象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t

15、t>0，而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件xyrr>0時(shí)，那么可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原那么，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不

16、能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和0,。、再現(xiàn)性題組：1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_。2.設(shè)f(x1)log(4x) a>1，那么f(x)的值域是_。3.數(shù)列a中，a1，a·aaa，那么數(shù)列通項(xiàng)a_。4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2xy10，那么xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) ·log(22)2的解集是_。【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosxt,，那么yt，對稱軸t1，當(dāng)t，y；2小題：設(shè)x1t (t1)，那么f(t)log-(t-1)4，所以值域?yàn)?,log4；3小題：變形為1,設(shè)b，那么b1,b1(n1)

17、(-1)n，所以a；4小題：設(shè)xyk，那么x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設(shè)3y，那么3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設(shè)log(21)y，那么y(y1)<2，解得2<y<1，所以x(log,log3)。、示范性題組：例1. 實(shí)數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 式 ，設(shè)Sxy，求的值。93年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題【分析】 由Sxy聯(lián)想到cossin1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)代入式求S和S的值?！窘狻吭O(shè)代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不

18、等式：|1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法?！玖斫狻?由Sxy，設(shè)xt，yt，t， 那么xy±代入式得：4S±5=5， 移項(xiàng)平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法，主要是利用條件Sxy與三角公式cossin1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換元法，主要是由等式Sxy而按照均值換元的思路，設(shè)xt、yt，減少了元的個(gè)數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、別離參數(shù)法。和“均值換元法類似，我們還有一種換

19、元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設(shè)xab，yab，這稱為“和差換元法，換元后有可能簡化代數(shù)式。此題設(shè)xab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。例2 ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。96年全國理【分析】 由“AC2B和“三角形內(nèi)角和等于180°的性質(zhì)，可得 ；由“AC120°進(jìn)行均值換元，那么設(shè) ，再代入可求cos即cos。【解】由ABC中AC2B，可得 ,由AC120°，設(shè)，代入等式得：2,解得：cos， 即：cos?！玖斫狻坑葾C2B，得AC120°，B60&#

20、176;。所以2，設(shè)m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos?！咀ⅰ?此題兩種解法由“AC120°、“2分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由想到均值換元外，還要求對三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假設(shè)未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和積互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-

21、C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值?！窘狻?設(shè)sinxcosxt，那么t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(t2a) a>0，t-,t-時(shí)，取最小值：2a2a當(dāng)2a時(shí)，t，取最大值：2a2a ；當(dāng)0<2a時(shí)，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為?！咀ⅰ?此題屬于局部換元法，設(shè)sinxcosxt后，抓住sinxc

22、osx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍t-,與sinxcosx對應(yīng)，否那么將會(huì)出錯(cuò)。此題解法中還包含了含參問題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。一般地，在遇到題目和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4. 設(shè)對所于有實(shí)數(shù)x，不等式xlog2x loglog&g

23、t;0恒成立，求a的取值范圍。87年全國理【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)有何聯(lián)系？進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。【解】 設(shè)logt，那么loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式簡化為3tx2tx2t>0，它對一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：，解得 t<0即log<00<<1，解得0<a<1。【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時(shí)，使用了“判別式法。另外，此題還要求對數(shù)運(yùn)算十分熟練

24、。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對所給的條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。例5. ，且 (式)，求的值?！窘狻?設(shè)k，那么sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：設(shè)t，那么t , 解得：t3或 ±或±【另解】 由tg，將等式兩邊同時(shí)除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，設(shè)tgt，那么3t10t30，t3或， 解得±或±?！咀ⅰ?第一種解法由而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。第二種解法將變形為，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tg，再進(jìn)行換元和變

25、形。兩種解法要求代數(shù)變形比擬熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例6. 實(shí)數(shù)x、y滿足1，假設(shè)xyk>0恒成立，求k的范圍?！痉治觥坑蓷l件1，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實(shí)施三角換元。【解】由1，設(shè)cos，sin，即： 代入不等式xyk>0得：3cos4sink>0，即k<3cos4sin5sin(+) 所以k<-5時(shí)不等式恒成立。【注】此題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題或者是解析幾何問題化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運(yùn)用“別離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓

26、、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法。 y x xyk>0 k 平面區(qū)域此題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€axbyc0所分平面成兩局部中含x軸正方向的一局部。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上xyk>0的區(qū)域。即當(dāng)直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組有相等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由0可求得k3,所以k<-3時(shí)原不等式恒成立。、穩(wěn)固性題組：1. f(x)lgx (x>0)，那么f(4)的值為_。A. 2lg2 B. l

27、g2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設(shè)等差數(shù)列a的公差d，且S145，那么aaaa的值為_。4. x4y4x，那么xy的范圍是_。5. a0，b0，ab1，那么的范圍是_。6. 不等式>ax的解集是(4,b)，那么a_，b_。7. 函數(shù)y2x的值域是_。8. 在等比數(shù)列a中，aaa2，aaa12，求aaa。 y D C A B O x9. 實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx2mcosx4m1<0恒成立。10. 矩形ABCD，頂點(diǎn)C(4,4)，A點(diǎn)在曲線x

28、y2 (x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。 三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如

29、果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的根本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程； 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比方在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含

30、有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)f(x)m，f(x)的反函數(shù)f(x)nx5，那么m、n的值依次為_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式axbx2>0的解集是(,)，那么ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)1x的展開式中，x的系數(shù)是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b<0)的最大值為，最小值為，那么y4a

31、sin3bx的最小正周期是_。5. 與直線L：2x3y50平行且過點(diǎn)A(1,-4)的直線L的方程是_。6. 與雙曲線x1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是_?！竞喗狻?小題：由f(x)m求出f(x)2x2m，比擬系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(,)，可知、是方程axbx20的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得ab，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(1)C兩項(xiàng)組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設(shè)直線L方程2x3yc0，點(diǎn)A(1,-4)代入求得C10，即得2x3y100；6小題：設(shè)雙曲

32、線方程x，點(diǎn)(2,2)代入求得3，即得方程1。、示范性題組：例1. 函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式?！痉治觥壳蠛瘮?shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；最大值、最小值實(shí)際是就是函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法?！窘狻?函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0， xR, 由得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，那么1、7是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,即y6y70，然后與不等式比擬系數(shù)而得：，解出

33、m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。【注】 在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由解集寫出不等式，比擬含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。此題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。例2. 設(shè)橢圓中心在(2,-1)

34、，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸較近的端點(diǎn)距離是，求橢圓的方程。 y B x A F O F A B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個(gè)方程，再將焦點(diǎn)與長軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為ac的值后列出第二個(gè)方程?！窘狻?設(shè)橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，那么|BF|a 解得： 所求橢圓方程是：1也可有垂直關(guān)系推證出等腰RtBBF后，由其性質(zhì)推證出等腰RtBOF，再進(jìn)行如以下式： ，更容易求出a、b的值?！咀ⅰ?圓錐曲線中，參數(shù)a、b、c、e、p確實(shí)定，是待定系數(shù)法的生動(dòng)表達(dá)；如何確定，要抓

35、住條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)a、b、c、e不變，此題就利用了這一特征，列出關(guān)于ac的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大局部用待定系數(shù)法，根本步驟是：設(shè)方程或幾何數(shù)據(jù)幾何條件轉(zhuǎn)換成方程求解系數(shù)代入。例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·22·3n(n1)(anbnc)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 89年全國高考題【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n1、2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立?！窘狻考僭O(shè)存在a、b、c使得等式成立，令

36、：n1，得4(abc)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：,解得，于是對n1、2、3，等式1·22·3n(n1)(3n11n10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設(shè)對nk時(shí)等式成立，即1·22·3k(k1)(3k11k10)；當(dāng)nk1時(shí)，1·22·3k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)3k5(k1)(k2)3k5k12k243(k1)11(k1)10，也就是說，等式對nk1也成立。綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時(shí)，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。【

37、注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個(gè)特殊值代入而得到。此種解法中，也表達(dá)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時(shí)，可以按照先試值、再猜測、最后歸納證明的步驟進(jìn)行。此題如果記得兩個(gè)特殊數(shù)列12n、12n求和的公式，也可以抓住通項(xiàng)的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n1)n2nn得S1·22·3n(n1)(12n)2(12n)(12n)2×(3n11n10)，綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時(shí)，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個(gè)小正方形，將剩余局部折成一個(gè)無蓋的矩形盒

38、子，問x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實(shí)際問題中，最大值、最小值的研究，先由條件選取適宜的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究?！窘狻?依題意，矩形盒子底邊邊長為(302x)cm，底邊寬為(142x)cm，高為xcm。 盒子容積 V(302x)(142x)x4(15x)(7x)x ， 顯然:15x>0，7x>0，x>0。設(shè)V(15aax)(7bbx)x (a>0,b>0 要使用均值不等式，那么解得：a， b ， x3 。 從而V()(x)x()×27576。所以當(dāng)x3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm

39、。【注】均值不等式應(yīng)用時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法求。此題解答中也可以令V(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最正確條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)行湊配的系數(shù)，此題也表達(dá)了“湊配法和“函數(shù)思想。、穩(wěn)固性題組：1. 函數(shù)ylogx的x2,+)上恒有|y|>1，那么a的取值范圍是_。A. 2>a>且a1 B. 0<a<或1<a<2 C. 1<a<2 D. a>2或0<a<2. 方程xpxq0與xqxp0只有一個(gè)公共根，那么其余兩個(gè)不同根之和為_

40、。A. 1 B. 1 C. pq D. 無法確定 3. 如果函數(shù)ysin2xa·cos2x的圖像關(guān)于直線x對稱，那么a_。A. B. C. 1 D. 14. 滿足C1·C2·Cn·C<500的最大正整數(shù)是_。A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 無窮等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sa , 那么所有項(xiàng)的和等于_。A. B. 1 C. 6. (1kx)bbxbxbx，假設(shè)bbbb1，那么k_。7. 經(jīng)過兩直線11x3y90與12xy190的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(3,-2)的直線方程為_。 8. 正三棱錐底面邊長為2，側(cè)棱和底面所成角為60°，過底面一邊

41、作截面，使其與底面成30°角，那么截面面積為_。9. 設(shè)yf(x)是一次函數(shù)，f(8)15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)f(2)f(m)的值。10. 設(shè)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)(-1,6)和(-1,-2)，對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y2x7和拋物線截得的線段長是4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法那么等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡單地說，定義是根本概

42、念對數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。、再現(xiàn)性題組：1. 集合A中有2個(gè)元素，集合B中有7個(gè)元素，AB的元素個(gè)數(shù)為n，那么_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 設(shè)MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，那么_。A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<<OM<MP D. OM<AT<MP3. 復(fù)數(shù)za2，z2，如果|z|< |z|，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。A. 1<a<1 B. a>1 C. a>0

43、D. a<1或a>14. 橢圓1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為_。A. 8 C. 7.5 C. D. 35. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，那么f()的值為_。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺(tái)的側(cè)棱與底面成45°角，那么其側(cè)面與底面所成角的正切值為_?！竞喗狻?小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得<，選A；4小題：利用橢圓的第二定義得到e，選A；5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f()f()f()，選B；6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。、示范性

44、題組：例1. z1， 設(shè)wz34，求w的三角形式； 如果1，求實(shí)數(shù)a、b的值。94年全國理【分析】代入z進(jìn)行運(yùn)算化簡后，運(yùn)用復(fù)數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答。【解】由z1，有wz34(1)3423(1)41，w的三角形式是cossin；由z1，有(a2)(ab)。由題設(shè)條件知：(a2)(ab)1；根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：，解得?！咀ⅰ壳髲?fù)數(shù)的三角形式，一般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定義，由實(shí)部、虛局部別相等而建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。例2. f(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求ylogf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性?！痉治觥恳袛嗪瘮?shù)的單調(diào)性

45、，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷?！窘狻?解得： f(x)xx 解f(x)>0得：0<x<1設(shè)<x<x<1， 那么f(x)f(x)x+x-x+x=(x-x)1-(x+x)( x+x), x+x>， x+x> (x+x)( x+x)×1 f(x)f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù) <1 ylogf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。 A A D C C O H B B 【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。此題還在求n、c的過程中，運(yùn)用了待定系數(shù)法和

46、換元法。例3. 如圖，ABCABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)。 證明：AB平面DBC； 假設(shè)ABBC，求二面角DBCC的度數(shù)。94年全國理【分析】 由線面平行的定義來證問，即通過證AB平行平面DBC內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求問。【解】 連接BC交BC于O, 連接OD ABCABC是正三棱柱 四邊形BBCC是矩形 O是BC中點(diǎn)ABC中， D是AC中點(diǎn) ABOD AB平面DBC 作DHBC于H，連接OH DH平面BCC ABOD, ABBC BCOD BCOH 即DOH為所求二面角的平面角。設(shè)AC1，作OEBC于E，那么DHsin60°，BH，EH

47、 ； RtBOH中，OHBH×EH， OHDH DOH45°，即二面角DBCC的度數(shù)為45°?！咀ⅰ繉τ诙娼荄BCC的平面角，容易誤認(rèn)為DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個(gè)垂足OH，那么DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。此題還要求解三角形十分熟練，在RtBOH中運(yùn)用射影定理求OH的長是計(jì)算的關(guān)鍵。此題文科考生的第二問為：假設(shè)ABBC，BC2，求AB在側(cè)面BBCC的 射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作

48、AEBC于E，連接BE即所求，易得到OEBB，所以，EFBE。在RtBBE中，易得到BFBE,由射影定理得：BE×EFBE即BE1，所以BE。 y M F A x例4. 求過定點(diǎn)M(1,2)，以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的下頂點(diǎn)的軌跡方程?！痉治觥窟\(yùn)動(dòng)的橢圓過定點(diǎn)M，準(zhǔn)線固定為x軸，所以M到準(zhǔn)線距離為2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到建立一個(gè)方程，再由離心率的定義建立一個(gè)方程?！窘狻吭O(shè)A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，那么橢圓上定點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為2，下頂點(diǎn)A到準(zhǔn)線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：x11，所以橢圓下頂點(diǎn)的軌跡方程為x11?！咀ⅰ壳笄€的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，根據(jù)條件列出動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)行化簡即可得到。此題還引入了一個(gè)參數(shù)m,列出的是所滿足的方程組，消去參數(shù)m就得到了動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，即所求曲線的軌跡方程。在建立方程組時(shí)，巧妙地運(yùn)用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。一般地，圓錐曲線的點(diǎn)