D常系數(shù)齊次線性微分方程第次課實(shí)用教案

1、),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr2. 當(dāng)當(dāng)時(shí), 特征方程有兩個(gè)(lin )相等實(shí)根則微分方程(wi fn fn chn)有一個(gè)特解設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程(fngchng)得:是特征方程的重根取 u = x , 則得因此原方程的通解為1第1頁/共11頁第一頁，共12頁。),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr3. 當(dāng)當(dāng)時(shí), 特征方程有一對(duì)(y du)共軛復(fù)根這時(shí)原方程(fngchng)有兩個(gè)復(fù)數(shù)解: 利用解的疊加原理 , 得原方程(fngchng)的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為2第2頁/共11頁第二頁，共12頁。小結(jié)小結(jié)(xioji):特征方程:

2、實(shí)根 特 征 根通 解以上結(jié)論(jiln)可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .3第3頁/共11頁第三頁，共12頁。若特征方程含 k 重復(fù)(chngf)根若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解(tngji)中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解(tngji)中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程: 推廣推廣:4第4頁/共11頁第四頁，共12頁。例例1. 的通解(tngji).解解: 特征方程特征(tzhng)根:因此原方程(fngchng)的通解為例例2. 求解初值問題解解: 特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為5第5頁/共11頁第五頁，共12頁。例例3.的通解(tngji). 解解: 特征方程特

3、征(tzhng)根:因此原方程(fngchng)通解為例例4.解解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不難看出, 原方程有特解6第6頁/共11頁第六頁，共12頁。例例5.解解: 特征方程:特征(tzhng)根為則方程(fngchng)通解 :7第7頁/共11頁第七頁，共12頁。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)特征(tzhng)根:(1) 當(dāng)時(shí), 通解(tngji)為(2) 當(dāng)時(shí), 通解為(3) 當(dāng)時(shí), 通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .8第8頁/共11頁第八頁，共12頁。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí) 求方程(fngchng)的通解(tngji) .答案答案:通解為通解為通解為第八

4、節(jié) 9第9頁/共11頁第九頁，共12頁。備用備用(biyng)題題為特解的 4 階常系數(shù)(xsh)線性齊次微分方程,并求其通解(tngji) .解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :因此特征方程為即故所求方程為其通解為10第10頁/共11頁第十頁，共12頁。11感謝您的欣賞(xnshng)！第11頁/共11頁第十一頁，共12頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)特征方程。( u (x) 待定)。取 u = x , 則得。利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:。特 征 根。若特征方程含 k 重復(fù)根。若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解(tngji)中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)。解: 特征方程。解: 特征方程:。解: 特征方程:。時(shí), 通解(tngji)為。為特解的 4 階常系數(shù)線