第一部分函數(shù)與極限學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一部分第一部分(b fen)函數(shù)與極限函數(shù)與極限第一頁，共83頁。第1頁/共82頁第二頁，共83頁。BA AB 1.集合(jh):具有某種特定(tdng)性質(zhì)的事物的全體.組成(z chn)這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.,.,21naaaA 所所具具有有的的特特征征xxM ,Ma ,Ma 記記為為的的子子集集是是集集合合則則稱稱集集合合的的元元素素的的每每個(gè)個(gè)元元素素都都是是集集合合若若集集合合,BABABA 或B是A的真子集：第2頁/共82頁第三頁，共83頁。數(shù)集分類(fn li):N-自然數(shù)集Z-整數(shù)(zhngsh)集Q-有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)(shsh)集關(guān)系:RQQZZN ,相等

2、相等與與就稱集合就稱集合且且若若BAABBA BA 即即,2 , 1 A例如,0232 xxxCCA 則則不含任何元素的集合稱為空集.)(記作記作例如,01 2 xRxx且且規(guī)定 空集為任何集合的子集.第3頁/共82頁第四頁，共83頁。集合(jh)的運(yùn)算設(shè)BA,是兩個(gè)(lin )集合定義(dngy)BA與與的并集 BA|BxAxx 或或BA與與的交集 BA|BxAxx 且且BA與與的差集 BA|BxAxx 且且BA與與的直積或笛卡兒乘積 BA| ),(ByAxyx 且且第4頁/共82頁第五頁，共83頁。例如(lr) RR| ),(RyRxyx 且且即:xoy面上的全體(qunt)點(diǎn)的集合,即:

3、整個(gè)(zhngg)xoy平面通常記2RRR 研究某個(gè)問題一般是限定在一個(gè)大的集合中進(jìn)行的,這個(gè)大的集合稱為全集,記為I設(shè)IA 稱AI 為集合A的余集或補(bǔ)集,記為cA即AIAc 例如，, 60| xxA AI RI 60| xxx或或則第5頁/共82頁第六頁，共83頁。2.區(qū)間(q jin):是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做(jiozu)區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax ),(babxax ,babxax bxax ),ba ,(ba),axxa ),(bxxb 有限(yuxin)區(qū)間無限區(qū)間第6頁/共82頁第七頁，共83頁。3.鄰域(ln y):0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)

4、實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a),(0 aU記記作作,叫做這個(gè)鄰域的中心叫做這個(gè)鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這個(gè)個(gè)鄰鄰域域的的半半徑徑 ),( axaxaUxa a a,鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) a, 鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 0),(0 axxaU記為),( aU，即（）),(),( aaaa第7頁/共82頁第八頁，共83頁。4.常量(chngling)與變量: 在某過程(guchng)中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意(zh y)常量與變量是相對(duì)于“過程”而言的.通常用字母 a,b,c, a, b, ca等表示常量;而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法： 用字母 x, y,z, t

5、 ,u,v 等表示變量.第8頁/共82頁第九頁，共83頁。5.絕對(duì)值: 0,0,aaaaa0 a顯然顯然性質(zhì)(xngzh): baab baba bababa )0( aaxaxa )0( aaxaxax 或或絕對(duì)值不等式:第9頁/共82頁第十頁，共83頁。1. 映射(yngsh)的概念定義(dngy) 設(shè)YX,是兩個(gè)非空集合,如果存在一個(gè)法則f,使得對(duì)于X中每個(gè)元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記為:fYX y稱為元素x(在映射f下)的像,并記為)(xf,即)(xfy 元素x稱為元素y(在映射f下)的一個(gè)原像.集合X稱為映射f的定義域,記為fD即XD

6、f 第10頁/共82頁第十一頁，共83頁。X中所有元素的像所組成(z chn)的集合稱為映射f的值域記為)( XfRf或或,即fR )(Xf | )(Xxxf 注意(zh y):(1) 構(gòu)成(guchng)映射的三要素:集合X,即定義域fD X集合Y,值域fR Y對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)每個(gè)Xx 有唯一確定的y)(xf 與它對(duì)應(yīng)第11頁/共82頁第十二頁，共83頁。(2)對(duì)每個(gè)Xx ,元素(yun s)x的像是唯一(wi y)的.y但是(dnsh),對(duì)每個(gè)fRy ,元素y的原像卻不一定是唯一的.例1設(shè),:RRf對(duì)每個(gè),Rx 2)(xxf 顯然,f是映射.它的定義域fD R它的值域fR 0| yRy對(duì)于值

7、域fR中的元素y,若, 0 y則其原像不唯一.例如:fR 66的原像是:6 ,6 兩個(gè)第12頁/共82頁第十三頁，共83頁。例2設(shè)1| ),(22 yxyxX1| )0 ,( xxY:fYX 對(duì)每個(gè),),(Xyx 有唯一(wi y)確定的Yx )0 ,(與它對(duì)應(yīng)(duyng).顯然(xinrn),f是映射.它的定義域fD X它的值域fR Yxyo),(yx)0 ,(x-11第13頁/共82頁第十四頁，共83頁。例3設(shè) 1 , 12,2 : f對(duì)每個(gè),2,2 xxxfsin)( 按定義(dngy),f是映射(yngsh).它的定義域fD 2,2 它的值域fR 1 , 1 第14頁/共82頁第十五

8、頁，共83頁。定義(dngy)設(shè)f是從集合(jh)X到集合(jh)Y的映射,若fR Y,則稱f為滿射(或到上的).若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素21xx ,它們的像)()(21xfxf ,則稱f為單射.若映射f既是單射,又是滿射,則稱f為一一映射(或雙射)例1中,f不是單射,不是滿射例2中,f不是單射,是滿射例3中,f是單射,是滿射f是一一映射第15頁/共82頁第十六頁，共83頁。2. 逆映射與復(fù)合(fh)映射設(shè)f是從集合(jh)X到集合(jh)Y的單射,則根據(jù)定義,對(duì)每個(gè)fRy 有唯一的Xx 滿足yxf )(這樣,我們就得到一個(gè)新的映射:gXRf對(duì)每個(gè)fRy 有唯一的 滿足yxf )(的Xx 與它

9、對(duì)應(yīng)我們稱這個(gè)映射g為映射f的逆映射,記為1 f顯然,其定義域ffRD 1其 值域XRf 1第16頁/共82頁第十七頁，共83頁。按上述(shngsh)定義,可知:只有(zhyu)單射才有逆映射因此(ync),在例1,例2,例3中,只有例3的f有逆映射:1 f2,2 1 , 1 對(duì)每個(gè) 1 , 1 y,有唯一的滿足yx sin的2,2 x與它對(duì)應(yīng). )(1xfxarcsin(反正弦函數(shù))其定義域 1 , 11 fD其值域2,21 fR第17頁/共82頁第十八頁，共83頁。設(shè)有兩個(gè)(lin )映射1:YXgZYf2:且21YY 即1YXg2Y Zf這樣(zhyng)對(duì)于(duy)每個(gè)x Xg)(

10、xgf)(xgf即x X)(xgf這是一個(gè)從X到Z的映射,我們稱它為映射fg和和構(gòu)成的復(fù)合映射,記為, gf 即ZXgf: Xxxgfxgf , )()(第18頁/共82頁第十九頁，共83頁。注意(zh y)(1)映射(yngsh)fg和和能構(gòu)成復(fù)合(fh)映射的條件是：gR fD否則，fg和和不能構(gòu)成復(fù)合映射.例如:映射 1 , 1: Rg,sin)(xxg 對(duì)每個(gè)Rx 映射 1 , 0 1 , 0 :f,)(uuf 對(duì)每個(gè) 1 , 0 ufg和和不能構(gòu)成復(fù)合映射.gR fD(2)映射fg和和的復(fù)合是有順序的,即一般地有:gf fg 第19頁/共82頁第二十頁，共83頁。例4映射(yngsh

11、) 1 , 1: Rg,sin)(xxg 對(duì)每個(gè)Rx 映射(yngsh) 1 , 0 1 , 1 : f,1)(2uuf 對(duì)每個(gè)1 , 1 u顯然(xinrn),gR fD映射fg和和構(gòu)成復(fù)合映射gf : 1 , 0R)(xgf 對(duì)每個(gè)Rx , )(xgf )(sin xf x2sin1 |cos|x第20頁/共82頁第二十一頁，共83頁。三.函數(shù)(hnsh)1.函數(shù)(hnsh)的概念定義(dngy)設(shè)數(shù)集,RD 則稱映射RDf:為定義在D上的函數(shù),記為)(xfy ,Dx x稱為自變量y稱為因變量D稱為定義域記為fD即fD Dx Dfy1稱這個(gè)值y為函數(shù)f在x處的函數(shù)值記為)(xf,即)(xf

12、y 第21頁/共82頁第二十二頁，共83頁。函數(shù)(hnsh)值)(xf的全體(qunt)所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域，記為)( DfRf或或，即fR ),(|Dxxfyy 注意(zh y)f與)(xf的區(qū)別f對(duì)應(yīng)法則)(xf函數(shù)在x處的函數(shù)值習(xí)慣上，也用 ),( Dxxf 或 ),( Dxxfy 來表示定義在D上的函數(shù)。第22頁/共82頁第二十三頁，共83頁。對(duì)應(yīng)(duyng)法則也可用 ,Fg等表示(biosh)函數(shù)(hnsh)可記為),(xgy ),(xFy )(xy 有時(shí)，也直接用因變量的記號(hào)來表示函數(shù)，將y是x的函數(shù)，記為)(xyy 構(gòu)成函數(shù)的二要素：（1）定義域fD（2）對(duì)應(yīng)法則f如

13、果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同則這兩個(gè)函數(shù)相等。否則，就不相等。第23頁/共82頁第二十四頁，共83頁。函數(shù)(hnsh)的定義域的求法：（1）有實(shí)際背景(bijng)的函數(shù)根據(jù)實(shí)際(shj)背景中變量的實(shí)際(shj)意義來求自由落體運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為221gts 比如，開始下落的時(shí)刻為0 t落地的時(shí)刻為Tt 0 tt sTt 它的定義域是什么？, 0T第24頁/共82頁第二十五頁，共83頁。（2）抽象地用算式(sunsh)表達(dá)的函數(shù)約定(yudng)：這種函數(shù)的定義域是使得算式有意義的一切(yqi)實(shí)數(shù)所組成的集合這樣的定義域稱為自然定義域。在這一約定下，一般的用算式表達(dá)的函

14、數(shù)可用 )( xfy 表達(dá)，不必再寫為, )( fDxxfy 例如函數(shù)21xy 的定義域是1 , 1 函數(shù)211xy 的定義域是)1 , 1( 第25頁/共82頁第二十六頁，共83頁。在函數(shù)(hnsh)的定義中，對(duì)每個(gè)Dx 對(duì)應(yīng)(duyng)的函數(shù)值y總是(zn sh)唯一的，這樣的函數(shù)稱為單值函數(shù)。如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，按照這個(gè)法則，對(duì)每個(gè)Dx ，總有確定的y值與它對(duì)應(yīng)，但這個(gè)y的個(gè)數(shù)不總是唯一的，則稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù)。第26頁/共82頁第二十七頁，共83頁。例如(lr)：設(shè)變量(binling)x和y之間的對(duì)應(yīng)法則(fz)由方程222ryx 給出.對(duì)每個(gè),rrx ,由方程222r

15、yx 可確定出對(duì)應(yīng)的y值:22xry 當(dāng)時(shí)，時(shí)，或或rrx 對(duì)應(yīng)于0 y(一個(gè)值)當(dāng)時(shí)，時(shí)，) , (rrx 對(duì)應(yīng)于2222,xryxry (兩個(gè)值)這是一個(gè)多值函數(shù).可化為單值函數(shù)來研究.第27頁/共82頁第二十八頁，共83頁。若附加條件:0 y則得到(d do)22xry 若附加條件:0 y則得到(d do)22xry 單值分支(單值函數(shù)(hnsh)(單值函數(shù))函數(shù)的表示法:(1)表格法(2)圖形法(3)解析法xyoxy),(yx DfR)(xfy 第28頁/共82頁第二十九頁，共83頁。 (1) 符號(hào)(fho)函數(shù) 0 10 00 1sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊(tsh)的函數(shù)舉

16、例1-1xyoxxx sgn 易知易知),(D 1, 0 , 1 fR第29頁/共82頁第三十頁，共83頁。(2) 取整函數(shù) y=x x表示(biosh)不超過 x 的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 3 2 1 -1-3xyo階梯(jit)曲線易知:1 , xxxx 有有對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)第30頁/共82頁第三十一頁，共83頁。 是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy,0,1)(3) 狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)(hnsh)xyo1有理數(shù)有理數(shù)無理數(shù)無理數(shù)第31頁/共82頁第三十二頁，共83頁。(4) 取最值函數(shù)(hnsh)(),(ma

17、xxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg第32頁/共82頁第三十三頁，共83頁。作業(yè)(zuy):P21,習(xí)題(xt)1-11,3-6第33頁/共82頁第三十四頁，共83頁。(5) 絕對(duì)值函數(shù)(hnsh)| xy 0,0 , xxxx定義域 D),(值域 fR), 0 它的圖形(txng)：xyo| xy 第34頁/共82頁第三十五頁，共83頁。 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第35頁/共82頁第三十六頁，共83頁。例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單

18、三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式.)0( tt解UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ttEU2 ;2tE 單三角脈沖信號(hào)(xnho)的電壓,2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t),(200 tEU)(2 tEU即即第36頁/共82頁第三十七頁，共83頁。,),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t. 0 U其表達(dá)式為其表達(dá)式為是一個(gè)分段函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),)(tUU ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 第37頁/共82頁第三十八頁，共83頁。例2.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解 2312130

19、1)3(xxxf 212101)( xxxf 122231xx 1, 3 fD故第38頁/共82頁第三十九頁，共83頁。(1)函數(shù)(hnsh)的有界性:設(shè)函數(shù)(hnsh)(xf的定義域?yàn)镈，數(shù)集DX 如果存在數(shù)1K，使得1 )(Kxf 對(duì)每個(gè)Xx 都成立，則稱函數(shù))(xf在X上有上界.) (2K) (2K (有下界)如果存在正數(shù)M，使得Mxf | )(| 對(duì)每個(gè)Xx 都成立，則稱函數(shù))(xf在X上有界.如果這樣的M不存在則稱函數(shù))(xf在X上無界.第39頁/共82頁第四十頁，共83頁。函數(shù)(hnsh)(xf在X上無界,即:如果對(duì)于任意(rny)正數(shù)M,總存在(cnzi)Xx 1,使Mxf |

20、)(|1成立.例如:函數(shù)xxfsin)( ,在),( 內(nèi)顯然,xxfsin)( 1 , 對(duì)每個(gè)),( x都成立.xxfsin)( 在),( 內(nèi)有上界.又易知,xxfsin)( 1 , 對(duì)每個(gè)),( x都成立.xxfsin)( 在),( 內(nèi)有下界.還可知道:|sin| )(|xxf 1 , 對(duì)每個(gè)),( x都成立.xxfsin)( 在),( 內(nèi)有界.第40頁/共82頁第四十一頁，共83頁。又例如(lr):函數(shù)(hnsh)xxf1)( ,在) 1 , 0(內(nèi)有xxf1)( 0 xxf1)( 在) 1 , 0(內(nèi)有下界(xi ji).但是,它在) 1 , 0(內(nèi)沒有上界,它在) 1 , 0(內(nèi)是無界

21、的.不存在這樣一個(gè)正數(shù)M,使Mx |1|對(duì)每個(gè)) 1 , 0( x都成立.第41頁/共82頁第四十二頁，共83頁。(2) 函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), )(2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxIi .)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf )()( 21xfxf恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI第42頁/共82頁第四十三頁，共83頁。)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf, )(2121時(shí)時(shí)

22、當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxIii )()(21xfxf 恒恒有有第43頁/共82頁第四十四頁，共83頁。(3) 函數(shù)(hnsh)的奇偶性:偶函數(shù)都有都有對(duì)于任意對(duì)于任意如果如果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)定義域設(shè)定義域,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf.)(,為偶函數(shù)為偶函數(shù)則稱則稱成立成立xf第44頁/共82頁第四十五頁，共83頁。都有都有如果對(duì)于任意如果對(duì)于任意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)定義域設(shè)定義域, , DxD )()(xfxf .)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)成立，則稱成立，則稱xf奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(

23、xfy 第45頁/共82頁第四十六頁，共83頁。(4) 函數(shù)(hnsh)的周期性:（通常(tngchng)說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.2l 2l23l 23l.)( ,)( ,)()( , , )( 的的周周期期為為稱稱為為周周期期函函數(shù)數(shù)則則稱稱恒恒成成立立且且都都有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任意意如如果果存存在在一一個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xflxfxflxfDlxDxlDxf 第46頁/共82頁第四十七頁，共83頁。反函數(shù)是逆映射的一種(y zhn)特例.定義(dngy)設(shè)函數(shù))(:DfDf是單射,則存在逆映射DDff )(:1稱此映射1 f為函數(shù)f的反函數(shù).按定義

24、,對(duì)每個(gè))(Dfy 有唯一的Dx 滿足yxf )(即即xyf )(1 這表明:反函數(shù)1 f的對(duì)應(yīng)法則完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法則確定.第47頁/共82頁第四十八頁，共83頁。例如(lr)Rxxy ,3是單射,所以(suy),它的反函數(shù)存在,反函數(shù)為:Ryyx ,31對(duì)調(diào)(dudio)yx,得Rxxy ,31一般地，將函數(shù))(xfy 的反函數(shù)記為)(1xfy 第48頁/共82頁第四十九頁，共83頁。定理(dngl)若函數(shù)(hnsh)(:DfDf是D上的單調(diào)(dndio)函數(shù)，則它的反函數(shù)DDff )(:1一定存在，并且1 f也是)(Df上的單調(diào)函數(shù)（其單調(diào)性與函數(shù)f的單調(diào)性相同）（自證）相對(duì)于反函數(shù))

25、(1xfy 原來的函數(shù))(xfy 稱為直接函數(shù).反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形的關(guān)系:關(guān)于直線xy 對(duì)稱.第49頁/共82頁第五十頁，共83頁。)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)( xy 反反函函數(shù)數(shù)第50頁/共82頁第五十一頁，共83頁。復(fù)合函數(shù)(hnsh)是復(fù)合映射的一種特例.定義(dngy)設(shè)函數(shù)(hnsh)(ufy 的定義域?yàn)?D,函數(shù))(xgu 在D上有定義,且1)(DDg 則由下式表示的函數(shù)Dxxgfy ),(稱為由函數(shù))(xgu 與函數(shù))(ufy 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).它的定義域?yàn)镈,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f的復(fù)合函數(shù)通常記為gf ,即)()(xgfx

26、gf 第51頁/共82頁第五十二頁，共83頁。與復(fù)合(fh)映射一樣,函數(shù)(hnsh)g與函數(shù)(hnsh)f能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是:fgDR 否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如:uufyarcsin)( xxgusin)( 函數(shù)g與函數(shù)f能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)xysinarcsin fgDR 第52頁/共82頁第五十三頁，共83頁。又如:uufyarcsin)( 212)(xxgu 函數(shù)(hnsh)g與函數(shù)(hnsh)f不能構(gòu)成復(fù)合(fh)函數(shù) 1 ,2323, 1 fgDR 2 , 0 gR 1 , 1 fD，但是，若將函數(shù)g限制在它的定義域的一個(gè)子集 D上，令Dxxxg ,12)(2*，那么，fgDR

27、1 , 0*因而，*g與f能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)Dxxxgf ,12arcsin)(2*，習(xí)慣上，為了簡便起見，仍稱函數(shù)212arcsinx 是由函數(shù)212xu uyarcsin 與的復(fù)合函數(shù)。這里212xu 的定義域應(yīng)理解成：Dx 第53頁/共82頁第五十四頁，共83頁。xuuytan 與與以后我們(w men)采取這種習(xí)慣說法 。能構(gòu)成復(fù)合(fh)函數(shù) tan xy ，它的定義域,2|Zkkxkx D一般(ybn)地，)( )(xguufy 與與能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) , )(xgfy 其定義域 D)( |fgDxgDxx 且且 22 arcsinxuuy 與與不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。1 ln xuuy與與能構(gòu)

28、成復(fù)合函數(shù) )1ln( xy，它的定義域1| xx D第54頁/共82頁第五十五頁，共83頁。兩個(gè)以上函數(shù)也能構(gòu)成(guchng)復(fù)合函數(shù)，只要它們順次滿足構(gòu)成復(fù)合(fh)函數(shù)的條件。例 ,)12(2|Zkkxkx 2 , cot , xvvuuy 能構(gòu)成(guchng)復(fù)合函數(shù) 2cotxy 它的定義域 D第55頁/共82頁第五十六頁，共83頁。例3解,0,1)( QxQxxD設(shè)設(shè).)(),(),21(),57(的性質(zhì)的性質(zhì)并討論并討論求求xDxDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDD是有界函數(shù)(hnsh),是偶函數(shù),是周期函數(shù)(zhu q hn sh)不是單調(diào)(dn

29、dio)函數(shù),)(xD：(但無最小正周期)第56頁/共82頁第五十七頁，共83頁。例4).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x第57頁/共82頁第五十八頁，共83頁。,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 第58頁/共82頁第五十九頁，共83頁。4、函數(shù)(

30、hnsh)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)(hnsh)(),(xgxf的定義域分別(fnbi)為21,DD且 21DD 則可定義兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:和( 差 ):gf )()()(xgxfxgf 21,DDx 積:gf )()()(xgxfxgf 21,DDx 商:gf)()()(xgxfxgf 0)(|)(,21 xgxDDx例設(shè)函數(shù))(xf的定義域?yàn)?,(ll ,證明:必存在),(ll 上的偶函數(shù))(xg和奇函數(shù))(xh,使得)()()(xhxgxf (P16,例11自己看)第59頁/共82頁第六十頁，共83頁。5、初等(chdng)函數(shù)(1) 基本初等(chdng)函數(shù)i).冪函數(shù))( 是是常常數(shù)數(shù) xyo

31、xy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 第60頁/共82頁第六十一頁，共83頁。ii).指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 第61頁/共82頁第六十二頁，共83頁。iii).對(duì)數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 第62頁/共82頁第六十三頁，共83頁。iv).三角函數(shù)(snjihnsh)正弦(zhngxin)函數(shù)xysin xysin 1 |sin| x對(duì)任意實(shí)數(shù), x有| |sin|xx 第63頁/共82頁第六十四頁，

32、共83頁。xycos xycos 余弦(yxin)函數(shù)1 |cos| x對(duì)任意實(shí)數(shù), x有第64頁/共82頁第六十五頁，共83頁。正切(zhngqi)函數(shù)xytan xytan 第65頁/共82頁第六十六頁，共83頁。xycot 余切(yqi)函數(shù)xycot 第66頁/共82頁第六十七頁，共83頁。正割(zhngg)函數(shù)xysec xysec 第67頁/共82頁第六十八頁，共83頁。xycsc 余割(yg)函數(shù)xycsc 第68頁/共82頁第六十九頁，共83頁。v).反三角函數(shù)(snjihnsh)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)2 arcsin2 x第69頁/共82頁第七十頁，共83頁。xyarccos xyarccos 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù) arccos0 x第70頁/共82頁第七十一頁，共83頁。xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)2 arctan2 x第71頁/共82頁第七十二頁，共83頁。 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等(chdng)函數(shù).xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arcxycot arc cot0 xarc第72頁/共82頁第七十三頁，共83頁。2.