補(bǔ)充-數(shù)學(xué)模型

1、3.1.1 差分的定義差分的定義 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ，采樣后為，采樣后為 簡(jiǎn)寫簡(jiǎn)寫一階向前差分：一階向前差分：二階向前差分：二階向前差分： n階向前差分：階向前差分： 一階向后差分：一階向后差分： 二階向后差分：二階向后差分： n階向后差分：階向后差分： 3.1 離散系統(tǒng)的時(shí)域描述離散系統(tǒng)的時(shí)域描述差分方程差分方程2( )( )(1)( )2 (1)(2)f kf kf kf kf kf k 3.1.2 差分方程差分方程差分方程是時(shí)間序列的方程差分方程是時(shí)間序列的方程 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)微分用差分代替微分用差分代替 一般離散系統(tǒng)的差分方程：一般離散系統(tǒng)的差分方程： 差分方程還可用向后差分表示為：

2、差分方程還可用向后差分表示為：( )c k代替代替( )c t代替代替( )r k( )r t（線性常系數(shù)差分方程）（線性常系數(shù)差分方程）3.1.3 差分方程（迭代）求解差分方程（迭代）求解差分方程的解也分為通解與特解。差分方程的解也分為通解與特解。 通解是與方程初始狀態(tài)有關(guān)的解。通解是與方程初始狀態(tài)有關(guān)的解。 特解與外部輸入有關(guān)，它描述系統(tǒng)在外部輸入作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。特解與外部輸入有關(guān)，它描述系統(tǒng)在外部輸入作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。例例3-1 已知差分方程已知差分方程 ( )c k，試求，試求解：采用解：采用遞推迭代法遞推迭代法，有：，有：說明：另一個(gè)求解方法是利用說明：另一個(gè)求解方法是利用z變換求

3、解。變換求解。 （通式困難；計(jì)算機(jī)有限項(xiàng)）（通式困難；計(jì)算機(jī)有限項(xiàng)）3.2.1 Z變換定義變換定義1. z變換變換采樣信號(hào)采樣信號(hào) 采樣信號(hào)的采樣信號(hào)的z變換變換注意：注意：z變換中，變換中，z-1代表信號(hào)滯后一個(gè)采樣周期，可稱為單位延遲因子。代表信號(hào)滯后一個(gè)采樣周期，可稱為單位延遲因子。 3.2 Z變換變換特殊的拉氏變換特殊的拉氏變換（超越函數(shù)；冪級(jí)數(shù)）采樣脈沖序列進(jìn)行采樣脈沖序列進(jìn)行z變換的寫法變換的寫法在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)控制工程中多數(shù)信號(hào)，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)控制工程中多數(shù)信號(hào)，z變換所表示的無窮級(jí)數(shù)是收斂的，變換所表示的無窮級(jí)數(shù)是收斂的，并可寫成閉和形式。并可寫成閉和形式。z的有理分式：的有

4、理分式：z-1的有理分式的有理分式:零、極點(diǎn)形式：零、極點(diǎn)形式：*( ), ( ), (), ( )Z ftZ f tZ f kTZ F s表達(dá)式形式（表達(dá)式形式（實(shí)際中，有理分式）1）級(jí)數(shù)求和法）級(jí)數(shù)求和法步驟：步驟：i)代入采樣信號(hào)的定義式；代入采樣信號(hào)的定義式； ii)求出相應(yīng)的求出相應(yīng)的F（z）的級(jí)數(shù)展開式；）的級(jí)數(shù)展開式； iii)找出收斂條件，寫出閉公式。找出收斂條件，寫出閉公式。 2）部分分式展開法）部分分式展開法（常用。查表查表）步驟：步驟：i)將將F（s）展開成簡(jiǎn)單分式；）展開成簡(jiǎn)單分式； （f(t)時(shí)）時(shí)） ii)利用利用F（s）與）與F（z）的對(duì)應(yīng)關(guān)系查表。）的對(duì)應(yīng)關(guān)系查

5、表。3）留數(shù)法）留數(shù)法（不記）步驟：直接利用公式：步驟：直接利用公式：iissnrisTiisssTrrrnriTsiTsezzsFssezzsFssdsdrezzsFsezzsFszF111111)()()()()!1(1)(Re)(Re)(112 2 求求Z Z變換的方法變換的方法（對(duì)f(t)或F(s)）1）級(jí)數(shù)求和法）級(jí)數(shù)求和法步驟：步驟：i)代入采樣信號(hào)的定義式；代入采樣信號(hào)的定義式； ii)求出相應(yīng)的求出相應(yīng)的F（z）的級(jí)數(shù)展開式；）的級(jí)數(shù)展開式； iii)找出收斂條件，寫出閉公式。找出收斂條件，寫出閉公式。1220( )()1kTTkF zf kT zezez ( )tf te當(dāng)?shù)?/p>

6、比級(jí)數(shù)的公比當(dāng)?shù)缺燃?jí)數(shù)的公比11Tez11( )1TTzF zezze例例例例)3() 1(2)(2sssssF求求 F(z)3() 1() 1()(43122sCsCsCsCsF表中查不到，部分分式分解：表中查不到，部分分式分解：求系數(shù)方法：求系數(shù)方法： 解方程組。解方程組。 得到得到iC)3(1121132) 1(143) 1(121)(2sssssF查表，得到：查表，得到：)(121) 1(32)(43)32()(322TTTTezzzzezzzeTezF說明：說明： 極點(diǎn)按極點(diǎn)按 對(duì)應(yīng)；對(duì)應(yīng)； T。 零點(diǎn)零點(diǎn) 無對(duì)應(yīng)；無對(duì)應(yīng)； 個(gè)數(shù)一般多于個(gè)數(shù)一般多于F(s)。 Tsiiez 2）部分

7、分式展開法）部分分式展開法（常用）步驟：步驟：i)將將F（s）展開成簡(jiǎn)單分式；）展開成簡(jiǎn)單分式； ii)利用利用F（s）與）與F（z）的對(duì)應(yīng)關(guān)系查表。）的對(duì)應(yīng)關(guān)系查表。2）右位移（延遲）定理）右位移（延遲）定理3）左位移（超前）定理）左位移（超前）定理4）位移定理）位移定理)()(zFznTtfZn1012()( )()( )(0)()(2)(1)nnkknnnnZf tnTzF zf kT zz F zz fzf TzfTzfnT)()(aTatzeFtfeZ3 3 Z Z變換的基本定變換的基本定理理1）線性定理）線性定理1212( )( )( )( )Z af tbf taF zbF z(

8、)( )sL f teF s121( )( )(0)(0)(0)nnnnnndf tLs F ssfsffdt( )()atL ef tF sa 5）初值定理）初值定理6）終值定理）終值定理)()()0(limlim0zFkTffzk)()1 ()(11limlimzFzkTfzk)() 1()(limlim1zFzkTfzk*條件：系統(tǒng)穩(wěn)定條件：系統(tǒng)穩(wěn)定0(0)( )( )limlimtsff tsF s0( )( )( )limlimtsff tsF s 假定函數(shù)假定函數(shù)( )F z全部極點(diǎn)均在全部極點(diǎn)均在z平面的單位圓內(nèi)平面的單位圓內(nèi)或最多有一個(gè)極點(diǎn)或最多有一個(gè)極點(diǎn) 在在z=1處，則處，

9、則 建立在理想采樣基礎(chǔ)上（建立在理想采樣基礎(chǔ)上（ ）；）；只反映采樣時(shí)刻的信息；只反映采樣時(shí)刻的信息；系統(tǒng)為零初始輸出。系統(tǒng)為零初始輸出。*G（s）中分母比分子高兩個(gè)階次時(shí)，可保證輸出有零初值。）中分母比分子高兩個(gè)階次時(shí)，可保證輸出有零初值。Z Z變換應(yīng)注意問題變換應(yīng)注意問題Z反變換只反映了采樣時(shí)刻的信息。反變換只反映了采樣時(shí)刻的信息。1）求法）求法冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）留數(shù)法留數(shù)法部分分式展開法（查表法）部分分式展開法（查表法）對(duì)對(duì)F(z)/z進(jìn)行求解（分子中通常含進(jìn)行求解（分子中通常含z） 。查表。查表。 f(t) f(kT)f(k)i）無重根：）無重根：ii）有重根

10、：）有重根：izziizzFzzA)()(izzirrizzFzzdsdrA)()()!1(1114 4 Z Z反變換反變換 （ F(z)f(t) ）)()()(*kTftfzF)()()(*zFtfZtf（）例例1 長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法0*)()()(kkTtkTftf0)()(kkzkTfzF25461511)(232zzzzzzF)(*tf， 求求 難于得到通式；計(jì)算機(jī)便于實(shí)現(xiàn)。難于得到通式；計(jì)算機(jī)便于實(shí)現(xiàn)。61511254223zzzzz4321145672911zzzz1222554411zzz）1224929zz215814511629zzz）215812367zz)4(145)3(67)

11、2(29)(11)(*TtTtTtTttf例例2 部分分式展開法部分分式展開法0*)()(32)(kkTtkuktf123)(22zzzzzF)(*tf， 求求13) 1(21) 1() 1(13)(22212zzzAzAzzzzF)(32)(kukkfkttuttf| )(32)(（方程組求系數(shù)）（方程組求系數(shù)）13) 1(2)(2zzzzzF3.2.4 差分方程差分方程 z變換解法變換解法例例3-11 用用z變換法求差分方程變換法求差分方程 利用利用z變換求解線性常系數(shù)差分方程，將差分方程的求解轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的求解變換求解線性常系數(shù)差分方程，將差分方程的求解轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的求解c(k+2)

12、-3c(k+1)+2c(k)=4k解：解：(1) 對(duì)每一項(xiàng)做對(duì)每一項(xiàng)做z變換變換(2) 歸納整理歸納整理 特解特解 通解通解 (3) z反變換反變換 查表得查表得 部分分式展開部分分式展開 假設(shè)初始條件為零，上式第假設(shè)初始條件為零，上式第2項(xiàng)為零項(xiàng)為零 22( )(0)(1)3( )3(0)2 ( )4zz C zz czczC zzcC zz例：例：0)(2) 1(3)2(kckckc0)(2)0(3)(3) 1 ()0()(22zczczzczcczzcz1) 1 (, 0)0(cc) 1 ()0()3()()23(22zcczzzczzzzczz)()23(223)(2zzzzc2111

13、2123)(212zzzAzAzzzzzc21)(zzzzzckkkc)2() 1()(3.3.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)的定義 定義：在初始條件為零時(shí)，定義：在初始條件為零時(shí)， 離散系統(tǒng)脈沖傳遞離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)函數(shù) 又稱為又稱為z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)輸出量輸出量z變換變換輸入量輸入量z變換變換輸出的采樣信號(hào)：輸出的采樣信號(hào)： 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 3.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) *輸出虛設(shè)采樣開關(guān)輸出虛設(shè)采樣開關(guān)3.3.2 脈沖傳遞函數(shù)特性脈沖傳遞函數(shù)特性1. 離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取 離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單位脈沖時(shí)，其脈沖離散

14、系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單位脈沖時(shí)，其脈沖響應(yīng)的響應(yīng)的z變換。變換。 若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)，當(dāng)其輸出端加入，當(dāng)其輸出端加入虛擬開關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)可按下述步驟求?。禾摂M開關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)可按下述步驟求?。?（1）對(duì)）對(duì)G(s)做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng)做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng) ( )g t（2）對(duì)）對(duì) 采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)為采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)為（3）對(duì)離散脈沖響應(yīng)做）對(duì)離散脈沖響應(yīng)做z變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 幾種脈沖傳遞函數(shù)的表示法均可應(yīng)用幾種脈沖傳

15、遞函數(shù)的表示法均可應(yīng)用 脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性，脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性，并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號(hào)無關(guān)。并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號(hào)無關(guān)。 2. 脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn) 極點(diǎn)極點(diǎn) 當(dāng)當(dāng)G(z)是是G(s)由通過由通過z變換得到時(shí)，它的極點(diǎn)是變換得到時(shí)，它的極點(diǎn)是G(s)的極點(diǎn)按的極點(diǎn)按z=e-sT的關(guān)的關(guān)系一一映射得到。由此可知，系一一映射得到。由此可知，G(z)的極點(diǎn)位置不僅與的極點(diǎn)位置不僅與G(s)的極點(diǎn)有關(guān)的極點(diǎn)有關(guān)，還與采樣周期，還與采樣周期T密切相關(guān)

16、。將將密集地映射在密切相關(guān)。將將密集地映射在z=1附近。當(dāng)采樣周附近。當(dāng)采樣周期期T足夠小時(shí)，足夠小時(shí)，G(s)的極點(diǎn)都的極點(diǎn)都 零點(diǎn)零點(diǎn) G(z)的零點(diǎn)是采樣周期的零點(diǎn)是采樣周期T的復(fù)雜函數(shù)。采樣過程會(huì)增加額外的零點(diǎn)。的復(fù)雜函數(shù)。采樣過程會(huì)增加額外的零點(diǎn)。 若連續(xù)系統(tǒng)若連續(xù)系統(tǒng)G(s)沒有不穩(wěn)定的零點(diǎn)，且極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之差大于沒有不穩(wěn)定的零點(diǎn)，且極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之差大于2，當(dāng)采樣周期較小時(shí)，當(dāng)采樣周期較小時(shí)，G(z)總會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的零點(diǎn)，變成非最小相位系總會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的零點(diǎn)，變成非最小相位系統(tǒng)。統(tǒng)。 有不穩(wěn)定零點(diǎn)的連續(xù)系統(tǒng)有不穩(wěn)定零點(diǎn)的連續(xù)系統(tǒng)G(s)，只要采樣周期取得合適，離散后也可，只要采

17、樣周期取得合適，離散后也可得到?jīng)]有不穩(wěn)定零點(diǎn)的得到?jīng)]有不穩(wěn)定零點(diǎn)的G(z) 。3.3.3 差分方程與脈沖傳遞函數(shù)差分方程與脈沖傳遞函數(shù)1. 由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)已知差分方程已知差分方程 ，設(shè)初始條件為零。，設(shè)初始條件為零。兩端進(jìn)行兩端進(jìn)行z變換變換 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出 2. 由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程 z反變換反變換 z反變換反變換 3.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散系統(tǒng)狀態(tài)方程離散系統(tǒng)狀態(tài)方程 n維維 m維維 p維維 F(nn)：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 G(n

18、m)：輸入矩陣或控制轉(zhuǎn)移矩陣：輸入矩陣或控制轉(zhuǎn)移矩陣 Cpn：狀態(tài)輸出矩陣：狀態(tài)輸出矩陣 D(pm)：直接傳輸矩陣：直接傳輸矩陣 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程)()()()()()(tDtCttBtAtu ux xu ux xx xy y3.6.1 由差分方程建立離散狀態(tài)方程由差分方程建立離散狀態(tài)方程單輸入單輸出線性離散系統(tǒng)，可用單輸入單輸出線性離散系統(tǒng)，可用n階差分方程描述階差分方程描述 101()(1)( )()(1)( )nmy kna y kna y kb u kmbu kmb u k選擇選擇狀態(tài)狀

19、態(tài)變量變量1021132211( )( )( )( )(1)( )( )(1)( )( )(1)( )nnnx ky kh u kx kx khu kx kx kh u kx kxkhu k式中式中 00111 0221 120331 22 13011220nnnnnhbhba hhba ha hhba ha ha hhba ha ha h則可得到離散系統(tǒng)狀態(tài)方程，且有：則可得到離散系統(tǒng)狀態(tài)方程，且有：1221010000010000001nnnFaaaaa1200110 00 0nnhhGCDhbhh3.6.2由脈沖傳遞函數(shù)建立離散狀態(tài)方程由脈沖傳遞函數(shù)建立離散狀態(tài)方程通常采用串行法、并行法

20、、直接法等實(shí)現(xiàn)。通常采用串行法、并行法、直接法等實(shí)現(xiàn)。 1. 串行法（又稱迭代法）串行法（又稱迭代法）寫成零極點(diǎn)形式寫成零極點(diǎn)形式 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： 輸出方程：輸出方程： 狀態(tài)方程的矩陣形式：狀態(tài)方程的矩陣形式： 6.1.1 可控性與可達(dá)性可控性與可達(dá)性 可控性定義：可控性定義： 對(duì)上述系統(tǒng)，若可以找到控制序列對(duì)上述系統(tǒng)，若可以找到控制序列u(k)，能在有限時(shí)間，能在有限時(shí)間NT內(nèi)內(nèi)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)到達(dá)任意期望狀態(tài)到達(dá)任意期望狀態(tài)x(N)=0，則，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的完全可控的（簡(jiǎn)稱是可控的）。（簡(jiǎn)稱是可控的）。 可達(dá)性定義：可達(dá)性定義： 對(duì)上述系統(tǒng)，若可以找到控制序列對(duì)上述系統(tǒng)，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限時(shí)間，能在有限時(shí)間NT內(nèi)內(nèi)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)到達(dá)任意期望狀態(tài)到達(dá)任意期望狀態(tài)x(N)，則稱，