高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理課件

1、高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理猜想猜想 有人對有人對33108以內(nèi)且大過以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想算，哥德巴赫猜想(a)都成立。都成立。 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理 目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理年證明的，稱為陳氏定理(Chens Theorem).“任何任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積而后者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積”,通常都簡稱這個(gè)通常都簡稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為結(jié)果為大偶數(shù)可表示為 “1+

2、2”的形式。的形式。 1920年，挪威的布朗證明了年，挪威的布朗證明了“9+9”。 1924年，德國的拉特馬赫證明了年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。 1932年，英國的埃斯特曼證明了年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。 200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠明珠”。到了到了20世紀(jì)世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。年代，才有人開始向它靠近。 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理 1637年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出： “將一個(gè)立將一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)的和，一

3、個(gè)四次冪分為兩個(gè)方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)的和，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪的和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分四次冪的和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪的和，這是不可能的為兩個(gè)同次的冪的和，這是不可能的.” 300多年來，這個(gè)問題吸引了很多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，多年來，這個(gè)問題吸引了很多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，法國科學(xué)院曾于法國科學(xué)院曾于1816年和年和1850年兩次懸賞征解，年兩次懸賞征解，德國也于德國也于1908年懸賞十萬馬克征解。年懸賞十萬馬克征解。 經(jīng)過三百多年來歷代數(shù)學(xué)家的不斷努力，劍橋大經(jīng)過三百多年來歷代數(shù)學(xué)家的不斷努力，劍橋大學(xué)懷爾斯終于學(xué)懷爾斯終于1995年正式徹底解決這一大難題年正式徹底解決這

4、一大難題.高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理 1852年，弗南西斯年，弗南西斯格思里搞地圖著色工作時(shí)，格思里搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。不同的顏色?！?1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的億判斷，終于完成了四色定理的證明。證明。 不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算

5、機(jī)取得的成就，他不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理 這種由某類事物的這種由某類事物的對象具有某些特征，推對象具有某些特征，推出該類事物的出該類事物的對象都具有這些特征的推理，對象都具有這些特征的推理，或者由或者由事實(shí)概括出事實(shí)概括出結(jié)論的推理，稱為結(jié)論的推理，稱為（簡稱（簡稱）.部分整體部分整體個(gè)別個(gè)別 一般一般高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理 例例1.已知數(shù)列已知數(shù)列an的第的第1項(xiàng)項(xiàng)a1=1，且，且（n=1 , 2 , ),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.11nnn

6、aaa分別把分別把n=1,2,3,4代入代入 得得:11nnnaaa23451111,2345aaaa 歸納歸納:1nan 可用可用證明證明這個(gè)猜想是正確的這個(gè)猜想是正確的.取倒數(shù)得：取倒數(shù)得：1111 nnaa高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理例例2.如圖如圖,在圓內(nèi)畫一條線段在圓內(nèi)畫一條線段,將圓分成兩部分將圓分成兩部分;畫兩畫兩條線段條線段,彼此最多分割成彼此最多分割成4條線段條線段,同時(shí)將圓分割成同時(shí)將圓分割成4部分部分;畫三條線段畫三條線段,彼此最多分割成彼此最多分割成9條線段條線段,同時(shí)將同時(shí)將圓分割成圓分割成7部分部分.那么那么(1)在圓內(nèi)畫四條線段在圓內(nèi)畫四條線段,彼此最多分割成彼此最

7、多分割成 條線段條線段?同時(shí)將圓分割成同時(shí)將圓分割成 部分部分?1611高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理(2)猜想猜想:圓內(nèi)兩兩相交的圓內(nèi)兩兩相交的n(n2)條線段條線段,彼此最多分彼此最多分割成割成 條線段條線段?同時(shí)將圓分割成同時(shí)將圓分割成 部分部分?2n21(2)2nn(2)(1)2ff(4)(3)4ff(3)(2)3ff( )(1)f nf nn 累加得累加得:( )(1)234f nfn 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理例例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下按下列規(guī)則列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.

8、每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測試推測:把把n個(gè)金屬片從個(gè)金屬片從1號(hào)針移到號(hào)針移到3號(hào)針號(hào)針,最少需要最少需要移動(dòng)多少次移動(dòng)多少次?123高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理123(1)1f n=1時(shí)時(shí),高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理123(2)3f n=2時(shí)時(shí),n=1時(shí)時(shí),(1)1f 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理123(3)7f n=3時(shí)時(shí),(2)3f n=2時(shí)時(shí),n=1時(shí)時(shí),(1)1f 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理1233(2)1(2)ff 1 3(2)3f n=2時(shí)時(shí),n=1時(shí)時(shí),(1)1f (3)fn=3

9、時(shí)時(shí),高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理123(3)f 15 n=4時(shí)時(shí),n=3時(shí)時(shí),(2)3f n=2時(shí)時(shí),n=1時(shí)時(shí),(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1 (3)f(4)f 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理(4)f 15n=4時(shí)時(shí),n=3時(shí)時(shí),(2)3f n=2時(shí)時(shí),n=1時(shí)時(shí),(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1,1( )2 (1)1,2nf nf nn (3)1(3)ff 歸納歸納:( )21nf n 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理例、數(shù)列例、數(shù)列an滿足滿足a1=1， an+1 =2an+1 ，求，求通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式an .數(shù)列數(shù)列是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2公比為公比為 的的12nna 2

10、1nna 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理(2004春季上海春季上海)根據(jù)圖中根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律的變化規(guī)律,試猜測第試猜測第n個(gè)圖形中有個(gè)圖形中有 個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn).(1)(2)(3)(4)(5)21nn高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理(2005年廣東年廣東)設(shè)平面內(nèi)有設(shè)平面內(nèi)有n條直線條直線(n3),其中有且僅其中有且僅有兩條直線互相平行有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn)任意三條直線不過同一點(diǎn).若若用用f(n)表示這表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則則f(4)= ,當(dāng)當(dāng)n4時(shí)時(shí),f(n)= .(用用n表示表示)5(3)(2)2ff(4)(3)3ff(5

11、)(4)4ff( )(1)1f nf nn 累加得累加得:( )(2)234(1)f nfn 1(2)(1)2nn高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理2.歸納推理的一般步驟歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題一般性命題(猜想猜想).（簡稱（簡稱）?部分整體部分整體個(gè)別個(gè)別 一般一般高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理 1.已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn , 且且 計(jì)算計(jì)算S1 , S2 , S3 , S4 ,并猜想并猜想Sn的表達(dá)式的

12、表達(dá)式.12,3a 12(2).nnnSanS12,3S 23,4S 34,5S 456S 猜想猜想:12nnSn 計(jì)算得計(jì)算得:高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理2.歸納推理的一般步驟歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題一般性命題(猜想猜想).?部分整體部分整體特殊特殊 一般一般高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理圓的概念和性質(zhì)圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等

13、與圓心距離不相等的兩弦不相與圓心距離不相等的兩弦不相等等, ,距圓心較近的弦較長距圓心較近的弦較長以點(diǎn)以點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0) )為圓心為圓心, r, r為半徑為半徑的圓的方程為的圓的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點(diǎn)的連線中點(diǎn)的連線垂直于弦垂直于弦球心與不過球心的截面球心與不過球心的截面( (圓面圓面) )的圓心的連線垂直于截面的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積與球心距離不相等的兩截面面積不相等不相

14、等, ,距球心較近的面積較大距球心較近的面積較大以點(diǎn)以點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為球心為球心, r, r為半為半徑的球的方程為徑的球的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的體積3 34 4V = RV = R3 3球的表面積球的表面積2 2S = 4RS = 4R圓的周長圓的周長 S = 2RS = 2R圓的面積圓的面積2 2S S = =R R高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理平面向量平面向量空間向量空間向量a

15、 bab ab ab 112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a bab ab abR 112233/,() ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 則則 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 a bab abR 1122/,()aba ba b1 1220若若 ， 則則 12aa a (,)bb b12(,)2212|aaa222123|aaaa 高二數(shù)

16、學(xué)歸納推理和類比推理等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列定義定義通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式前前n項(xiàng)和項(xiàng)和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaq n（n mnmaa q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列中項(xiàng)中項(xiàng)性質(zhì)性質(zhì)22nmn maaa 22nmn maaa 任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)a、b都有等都有等差中項(xiàng)差中項(xiàng) ，為，為2ba當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)才同號(hào)時(shí)才有等比中項(xiàng)有等比中項(xiàng) ，為，為ab232,mmmmmSSSSS成等差數(shù)列成等差數(shù)列232

17、,mmmmmSSSSS成等比數(shù)列成等比數(shù)列下標(biāo)等差下標(biāo)等差,項(xiàng)等差項(xiàng)等差下標(biāo)等差下標(biāo)等差,項(xiàng)等比項(xiàng)等比高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理DABC2222BCDABCACDADBSSSS 高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理PAPBPCPA PB PC（2004廣東，廣東，15） 由圖由圖(1)有面積關(guān)系有面積關(guān)系:則由圖則由圖(2)有體積關(guān)系有體積關(guān)系:PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA APB BA AC C圖圖(1)圖圖(2)高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理三角形三角形ABC中，中，2222cosabcbcA 空間：空間：四面體四面體A-BCD中，中，ABCD設(shè)二面角設(shè)二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次為的大小依次為 123,22221232cos2cos2cosBCDABCACDABDABCACDACDABDABDABCSSSSSSSSSS高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理例例2：(2005年全國年全國)計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)位制計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)位制是逢是逢16進(jìn)進(jìn)1的計(jì)算制，采用數(shù)字的計(jì)算制，采用數(shù)字0-9和字母和字母A-F共共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對應(yīng)個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符