中考數(shù)學(xué)之壓軸題精選(共30題人教版含答案)

1、從A點(diǎn)出發(fā)向 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) 以QM；斜邊, 假設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 刻t的值.解：(1):拋物線y=m-1x2+5mxm2-3m+2 經(jīng)過(guò)原點(diǎn),ni-3m+-2=0,解得 m=1, m=2,由題意知mi,m=2,拋物線的解析式為 y=-1x2+5x,42;點(diǎn)B(2 , n)在拋物線y= 一 1x2+5x上,42n=4,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2 , 4).(2)設(shè)直線OB的解析式為y=kx,求得直線x軸的一個(gè)交點(diǎn),可求得 A點(diǎn)的坐標(biāo)為(10 , 0),設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a, 0),那么E點(diǎn)的坐標(biāo)為(a, 2a),根據(jù)題意作等腰直角三角形PCD如圖1.可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3a, 2a),由C點(diǎn)在拋!物線上,得2a=

2、 m(3a)M3a,即a a=0,解得a1= ,a2=0(舍去),42429-22OP:.9依題意作等腰直角三角形 QMN設(shè)直線AB的解析式為y=kzxW,由點(diǎn)A(10 , 0),點(diǎn)R2 , 4),求得直線 AB的解析式為y= - x5,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),兩個(gè)等腰直角三2角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上,有以下三種情況：第一種情況：CD NQ在同一條直線上.如圖2所示.可證 DP泌等腰直角三角形.此時(shí) OP DP AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、4t、1、(2021北京)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,拋物線y= _ m _1 x2+5m x+n2_3mn2與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn) O和點(diǎn)A,點(diǎn)R2,

3、 n)在這條拋物線上.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P在線段OA上,從O點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),過(guò) P點(diǎn)作x軸的垂線,與直線 OB交于點(diǎn)E.延長(zhǎng)PE到點(diǎn)D,使得E®PE以PD為斜邊在PD右側(cè)作等腰直角三角形 PC口當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí), C點(diǎn)、D點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng))當(dāng)?shù)妊苯侨切?PCM頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí),求 OP的長(zhǎng)；假設(shè)P點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒 1個(gè)單位,同時(shí)線段 OA上另一 點(diǎn)QO點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒 2個(gè)單位(當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),P點(diǎn)也 ).過(guò)Q點(diǎn)作x軸的垂線,與直線 AB交于點(diǎn)F.延長(zhǎng)QF到點(diǎn)M使得FM=QF 在QM勺左側(cè)作等腰直角三角形 QMN當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),M點(diǎn)

4、,N點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)).求此t秒時(shí),兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條直角邊恰好落在同一條直線上,102t 個(gè)單位.PQ=DP=4t , . t Mt 42t =10, . . t =20.7第二種情況：PC與MN同一條直線上.如圖3所示.可證 PQM等腰直角三角形.此時(shí) OP AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位.,O=10/t ,F 點(diǎn)在直線 AB上,FQ=t, . MQ2t , . PQ=MQCQ=2t,.t 42t 42t=10, t=2o第三種情況：點(diǎn) P、Q重合時(shí),PD QMB同一條直線上,如圖4所示.此時(shí) OP AQ勺長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位.,t+2t =10,. t=10 t - O

5、3綜上,符合題意的t八,10值分另IJ為10 , 2,72、 2021 北京問(wèn)題： ABC4當(dāng)/BAG90時(shí),請(qǐng)你畫(huà)出圖形,研究 ZDBCW/ABC度數(shù)的比彳1是否與1中的結(jié)論 相同,寫(xiě)出你的猜測(cè)并加以證實(shí)., /BAB2/ACB 點(diǎn) D 是ABC的一點(diǎn),且 AD=CD BD=BA探究.DBC與.ABCS數(shù)的比值.請(qǐng)你完成以下探究過(guò)程：先將圖形特殊化,得出猜測(cè),再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證實(shí).（1） 當(dāng)/BAG90時(shí),依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全右圖. 觀察圖形,ABWAC的數(shù)量關(guān)系為 當(dāng)推出/DAC15可,可進(jìn)一步推出/DBC勺度數(shù)為 ;可得到/DBCf/ABC®數(shù)的比值解：1相等；15 1

6、 1: 3.2猜測(cè)：ZDBCW/ABC®數(shù)的比值與1中結(jié)論相同.證實(shí)：如圖2,作/KC盒/BAC過(guò)B點(diǎn)作BK/ AC交CK于點(diǎn)K, 連ZDK NBAC90 口,.四邊形 ABKC是等腰梯形, CKAB, DGDA /DCA/DAC NKCA/BAC /KCB/3, .KCK BAD/2=/4, KD=BD,KD=BD=BA=KG = BK/ AC ,/ACB=/6,. /KCA2/ACB,/5=/ACB,/5=/6, . . KGKR . KD=BD=KB /KBB60 0, / ZACB=Z6=60°Z1, /BAG2/AC自120 -2/1, Z1 +(60 21)*1

7、20 °-2Z1) +Z2=180口,/2=2/1, /DBCW/ABC®數(shù)的比值為 1: 3.3、2021郴州如圖1,拋物線y =x2+x4與y軸交于點(diǎn)A, E 0, b為y軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E的直線y=x+b與拋物線交于點(diǎn) R C1求點(diǎn)A的坐標(biāo)；2當(dāng)b=0時(shí)如圖2 , |_ABE與|_ACE的面積大小關(guān)系如何？當(dāng) b>4時(shí),上述 關(guān)系還成立嗎,為什么？3是否存在這樣的b,使得LBOC是以BC為斜邊的直角三角形,假設(shè)存在,求出b；假設(shè)不存在,說(shuō)明理由.圖1圖2第26題解：1將x=0,代入拋物線解析式,得點(diǎn) A的坐標(biāo)為0, 4y=xx1 = 2x2 = -22當(dāng)b= 0

8、時(shí),直線為y=x,由！ 2 解得W Wy 二x x-4yi =2 丫2 - -2所以R C的坐標(biāo)分別為2, 2 , 2, 2c1cc1CSabe =2父4M2=4, Sace=M4M2 = 4所以Sabe =S_ACE 利用同底等高說(shuō)明面積相等亦可當(dāng)bY時(shí),仍有Sabe=Sace成立.理由如下y 二 x by = x2 x-4為二、b 4y1 = 一 b 4 by2二- b 4-b 4 b所以 R C的坐標(biāo)分別為( Vb+4, Jb+4+b) , ( Jb+4 , Jb + 4+b),作BF_Ly軸,CG_Ly軸,垂足分別為 F、G貝U BF =CG = Jb +4 , 而Labe和Lace是

9、同底的兩個(gè)三角形,所以 S ABE - S ACE .3存在這樣的b.由于 BF = CG, BEF = CEG,. BFE = CGE = 90所以VBEF "CEG ,所以BE =CE ,即E為BC的中點(diǎn)所以當(dāng)OE=CE時(shí),|_OBC為直角三角形,由于 GE = 后而+b b = Jb,4 = GC所以 CE = 2 . £-%,而 OE = b所以短Vb+4 = b ,解得匕=4, b2 = 2 ,所以當(dāng)b = 4或一2時(shí),A OBCz直角三角形.4、2021濱州如圖,四邊形 ABC比菱形,點(diǎn)D的坐標(biāo)是0, J3,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y2=ax + bx + c恰好經(jīng)

10、過(guò)x軸上 A B兩點(diǎn).(1)求A B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求過(guò)A、B C三點(diǎn)的拋物線的解析式;3假設(shè)將上述拋物線沿其對(duì)稱軸向上平移后恰好過(guò)D點(diǎn),求平移后拋物線的解析式,并指出平移了多少個(gè)單位解:解：由拋物線的對(duì)稱性可知 AM=BM在 RtAAOM RtABMO, < OD=MC AD=BC. .AO國(guó) BMC OA=MB=MA設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為 2m,在RtAOD中,m2 +(v3)2 =(2m)2,解得 m=1.DC=2 OA=1, OB=3A、B C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為1,0、 3, 0、 2, J3設(shè)拋物線的解析式為y=a x2 2+j3代入A點(diǎn)坐標(biāo)可得a=- 73拋物線的解析式為y=J3

11、 x2 2+J3設(shè)拋物線的解析式為 y=,3 (x 2) 2+k,代入D (0,4)可得k=5j3所以平移后的拋物線的解析式為y= J3 ( x 2) 2+5仙,平移了 5<3 - 33 =43 個(gè) 單位.5、(2021長(zhǎng)沙)：二次函數(shù) y =ax2+bx 2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1, 0), 一次函數(shù)圖象 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(1, b),其中abA0且a、b為實(shí)數(shù).(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式(用含b的式子表示)；(2)試說(shuō)明：這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)；(3)設(shè)(2)中的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,求| x1 x2|的范圍.解：(1) 一次函數(shù)過(guò)原點(diǎn).設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx:一次函數(shù)過(guò)

12、(1, b)y=- bx(2) y=ax2+bx2 過(guò)(1, 0)即 a+b=2y = -bx2由 «得 ax +2(2 -a)x 2 = 0y =(2 -b)x2 bx-2224(2 -a) 8a =4(a -1)12 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,方程組有兩組不同的解 ,兩函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn).(3) ,一兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2分別是方程的解一 "2 =4=2a a2x1 x2 二 ax -x2=J(x1 +x2)2 4x1x2 =4a2-8a 16(1-1)2+3或由求根公式得出.a>b>0, a+b=2,2>a>1人一,4.2.令函數(shù)y =(

13、-1)2 3 ,在1<a<2時(shí)y隨a增大而減小.a4<(4-1)2 +3 <12 . . 2 <J(- -1)2 +3 <273. . 2<| -x2 < 2V36、(2021長(zhǎng)沏 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC勺兩邊分別在x軸和y軸上,OA=8j2 cm, OC=8cm現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn) P、Q分別從O C同時(shí)出發(fā),P在線段OA±?OA方向以每秒 近 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng),Q在線段CO±?gCO方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn) 動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)用t的式子表示 OPQ勺面積S;(2)求證：四邊形 OPBQJ面積是一個(gè)定

14、值,并求出這個(gè)定值；(3)當(dāng)OPQf PABDaPBlf似時(shí),拋物線 y =1x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、P兩點(diǎn),過(guò)線段4BP上一動(dòng)點(diǎn) M作y軸的平行線交拋物線于 N,當(dāng)線段 MN的長(zhǎng)取最大值時(shí),求直線 MN 把四邊形OPB成兩局部的面積之比.解：(1) . COt, OP=T2t, CG8.OQ8t Six opq= 1(81)|_萬(wàn)=詆t2+4后(0vtv8) 22(2) S 四邊形 OPB* S 矩形 ABCD & PAB- S CBQ=8 m 8 2z8 V2t 5 M 8 父(8 x/2V2t)= 32 V2,四邊形OPBQ勺面積為一個(gè)定值,且等于 32 . 2(3)當(dāng) OPQf

15、PA麗 QPBK似時(shí), QPB5須是一個(gè)直角三角形, 依題意只能 是/ QPB= 90°又BQ與AO平行,/QP5可能等于/ PQB /APM可能等于/ PBQ,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是OP小 PB6 ABP,軍得:t=48、2 - 2t 8經(jīng)檢驗(yàn)：t = 4是方程的解且符合題意(從邊長(zhǎng)關(guān)系和速度)此時(shí) P (4.2, 0)B ( 8J2 , 8)且拋物線y =1x2+bx+ c經(jīng)過(guò)B、P兩點(diǎn),4拋物線是 y =1x2 2j2x+8,直線 BP是：y=J2x 84設(shè) M (m)拒m8)、N( m 1m2272m+8)4. M在 BP上運(yùn)動(dòng). . 4 J2 <m <8

16、72必=1x2 -2&x+8與、2 = J2x8交于P、B兩點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)是 P4當(dāng) 4瓶 <m <872 時(shí),y1 > y2 MN|= y1 -y2 = 1(m6&)2+2 .當(dāng) m=6衣時(shí),MM最大值是 24,設(shè) MNW BQ交于 H 點(diǎn)那么 M (6衣,4)、H (672,7)S BH歸 (2)8Ace=2 8Abef, 3 2 2 = 3.22. 8a BHM : S五邊形QOPMk 372 : (32 點(diǎn)-372) =3:29,當(dāng)MNX最大值時(shí)兩局部面積之比是3: 29.1 O7、(2021吊德)如圖9,拋物線y= x +bx+“f X軸交于點(diǎn)A

17、(-4, 0)和B (1, 0)2兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).(1)求此拋物線的解析式;(2)設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),作EF/ AC交BC于F,連接CE,當(dāng)|_CEF的面積是BEF面積的2倍時(shí),求E點(diǎn)的坐標(biāo);(3)假設(shè)P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò) P作y軸的平行線,交 AC于Q,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),線段PQ的值最大,并求此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo).A(Y,0)、B(1,0)兩點(diǎn)可得:解：(1)由二次函數(shù)y1 2-x +bx+c與x軸父于 2；(£ 一4b c=0,1 2 ,-12 +b +c =0.L 2解得:c = -2.故所求二次函數(shù)的解析式為1 2 y =_ x2+3x -2zv

18、 J .2BF 1 BFCF 2' BC 31 萬(wàn), b = -2.1故直線AC的斛析式為y=x2 一,一,1 2-2 .假設(shè)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為.a,5a+ t.2 I2. EF/ AC /BEF =/BAC, /BFE =/BCA , BEF-ABACBE BF 15 2=得BE=,故E點(diǎn)的坐標(biāo)為(一 ,0).BA BC 3333解法一：由拋物線與 y軸的交點(diǎn)為C ,那么C點(diǎn)的坐標(biāo)為0, -2.4 ,一,-2=0 b, .假設(shè)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,那么有/解得:0 = 4k b.1又Q點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)P所作y軸的平行線與直線 AC的交點(diǎn),那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)為a,-1a-2.那么入1 23

19、11 2有：PQ =-(a2 +a -2) (a2) = a2 -2a222212=a 222即當(dāng)a=2時(shí),線段PQ取大值,此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 3)解法二：延長(zhǎng) PQ交x軸于D點(diǎn),那么PD1AB .要使線段PQ最長(zhǎng),那么只須 APC的 面積取大值時(shí)即可.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0, y0) ,貝U有： S|_APC = S_ADP ' S梯形 DPCO - S_ ACO11 -1 - AD PD (PD OC) OD OA OC2221c1c1, c=_ x0y012yo2 11y02 i I% _24 22y° x -'41 23-2 2x0 2x0 一2-Xo - 4

20、、/x 0 一 4x022=-x 0 24即=2時(shí), APC的面積取大值,此時(shí)線段 PQ最長(zhǎng),那么P點(diǎn)坐標(biāo)為-2, -38、2021常德如圖10,假設(shè)四邊形ABCD四邊形CFECO是正方形,顯然圖中有 AG=CEAGL CE.1當(dāng)正方形 GFEEg D旋轉(zhuǎn)到如圖11的位置時(shí),AG=CE!否成立？假設(shè)成立,請(qǐng)給出證實(shí);假設(shè)不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由2當(dāng)正方形 GFEDg D旋轉(zhuǎn)到如圖12的位置時(shí),延長(zhǎng) CE交AG于H,交AD于M.求證：AGL CH;當(dāng)AD=4 DG=.,2時(shí),求 CH的長(zhǎng).8即也;_3一44 103410 AH =5解：1 AG=CE 成立.丁四邊形 ABCD、四邊形 DEFG是正方形

21、, GD=DE,AD=DC, Z GDE =Z ADC =90©./ GDA=90 -/ ADE=/ EDC .AGD aA CED . . AG =CE .2類(lèi)似1可得 AGD 三 CED,/1 = /2又HMA = /DMC. AHM =/ ADC = 90,即 AG _CH.解法一：過(guò)G作GP _L AD于P,由題意有 GP =PD =J2xsin45* = 1 ,AP =3 ,那么 tan / 1= GP =-AP 3.而/ 1 = Z 2,tan / 2= DM- = tan Z 1 = 1.DC348DM =-,即 AM =AD -DM =-.33在 Rt ADMC 中,

22、CM = JCD2 +DM 2 = ；42 +0 ； = 4M ,33AH AM而 MMH s ACMD , =再連接AC ,顯然有AC =4好,CH =依中=,4旄2一屈=等.所求CH的長(zhǎng)為殳蛆.5解法二：研究四邊形ACD弼面積,過(guò)G作GP_LAD于P, 由題意有 GP =PD =J2xsin45O =1 , AP=3,AG =屈.而以CD為底邊的三角形 CDG勺高=PD=1,S|_AGD S_ACD = SI邊形 ACDG = S_ ACG DC CM_ CGD,.-4X 1+4X4=710 X CH+4 X 1. CH =8門(mén)° .59、2021丹東如圖,等邊三角形 ABC4點(diǎn)

23、D, E, F分別為邊AB, ACBC的中點(diǎn),M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn), DMM等邊三角形點(diǎn) M的位置改變時(shí),4DMN也隨之整體移動(dòng)1如圖,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),請(qǐng)你判斷EN與MFW怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn) F是否在直 線NE上？邢阿直, 寫(xiě)出結(jié)論,不必證實(shí)或說(shuō)明理由；2如圖,當(dāng)點(diǎn) M在BC上時(shí),其它條件不變,1的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？假設(shè)成立,請(qǐng)利用圖證實(shí)；假設(shè)不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由；3假設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí),請(qǐng)你在圖中畫(huà)出相應(yīng)的圖形,并判斷1的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立 ？假設(shè)成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論,不必證實(shí)或說(shuō)明理由.圖圖D-圖解：1判斷：EN MF相等 2成立.證實(shí)：法一：連

24、結(jié)DE DF.ABB等邊三角形,或EN=MF,點(diǎn)F在直線NE±,.ABAGBC又 D, E, F是三邊的中點(diǎn),第25題圖.DE DF, EF為三角形的中位線.DE=DF=EF, / FD心60.又/ MDF/ FDN=60 ,/NDE/FDN=60 ,MDFZ NDE在4DM群口 DNE, DF=DE DMDN / MDE/NDE . DM屋 DNEMF=NEA法二：延長(zhǎng)EN那么EN±點(diǎn)F.又. . D, E, F是三邊的中點(diǎn), ABB等邊三用形,MAAGBC cEF=DF=BF. / BDM/MD=60 , /FDM/MDF60 , / BDM/FDN 又 DMDN Z

25、ABIMZ DFN=60 ,.DB陲 DFfN . . BM=FN . BF=EF,. .MF：EN法三：連結(jié)DF NF . ABB等邊三角形, . AOBOAC1 _1又. D, E, F是三邊的中點(diǎn),DF為三角形的中位線,DF=-AO-AB=DB2 2又/BDM/MDF60 , ZNDF+Z MDF60 , / BDIMZ FDN 在 DBM口 DFN43, DF=DBDMDN /BDM/NDF . .DB陣 DFN.Z B=Z DFI460 .又DEF是 ABC邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形,./DFE=60° . .可得點(diǎn) N在 EF上, .MF=EN(3)畫(huà)出圖形(連出線段 NE ,

26、MF與EN相等的結(jié)論仍然成立(或 MF:NE成立).10、(2021丹東)如圖,平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形 b OMNH點(diǎn)H的坐標(biāo)C (8, 0),點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(6, -4).(1)畫(huà)出直角梯形 OMNH點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC并寫(xiě)出頂點(diǎn) A, B, C的坐標(biāo)(點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.；(2)求出過(guò)A, B, C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；(3)截取CE=OF=AG3且E, F, G分別在線段 CO OA AB上,求四邊形 BEFG勺面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；面積 S是否存在最小值？假設(shè)存在,請(qǐng)求出這個(gè)最小值；假設(shè)不存在,

27、請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)在(3)的情況下,四邊形 BEFG1否存在鄰邊相等的情況,假設(shè)存在,請(qǐng)直接 寫(xiě)出此時(shí)m的值,并指出相等的鄰邊；假設(shè)不存在,說(shuō)明理由.解：(1)利用中央對(duì)稱性質(zhì),畫(huà)出梯形. A, B, C三點(diǎn)與 M N, H分別關(guān)于點(diǎn)OABCO中央對(duì)稱,H一 8 .A (0, 4) , B (6, 4) , C (8, 0)(2)設(shè)過(guò)A, B C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y=ax2+bx + c,2y = ax + bx + 4 .;拋物線過(guò)點(diǎn) A (0, 4) , c=4.那么拋物線關(guān)系式為將B (6, 4) , C (8, 0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式,得36a 6b 4 =4心,解得64a 8b 4

28、=0.a4 ,所求拋物線關(guān)系式為:biy =x2/x + 4.42- S/x EOF - SA BEC(3) . OA=4, Q(=8,AF=4-m一§3邊形 EFGB = S梯形abcO - SAAGF1111=OA(AB-OQ -AF- AG-OEE- OF-CEE- OA 22221.-1,、 1 _、 1.=_ x4 x(6 +8) m(4 -m) m(8 -m) 一一 乂 4m 2222=m2 -8m +28( 0 v m v 4)2 S =(m4)2+12 . 當(dāng) m = 4時(shí),S的取最小值.又0v rk4,不存在 m值,使S的取得最小值.(4)當(dāng) m = 2+2*時(shí),G

29、B=GF 當(dāng) m = 2 時(shí),BE=BG11、(2021德化)如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4);矩形ABCM頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AR AB分另在x軸、y軸上,且AD=2, AB=3. (1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)將矩形ABCDa每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖 1所示的位置沿x軸的正方向勻速平 行移動(dòng),同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度 從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí) 間為t秒(0W t w 3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為 N (如圖2所示). 當(dāng)t=5時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說(shuō)明理由； 2設(shè)以P、Z C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為 S,試問(wèn)S是否存

30、在最大值？假設(shè)存在, 求出這個(gè)最大值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1) y - -x2 4x(2)點(diǎn)P不在直線MEh;依題意可知：P(t,t), N (t, _t2+4t)當(dāng)0vtv3時(shí),以P、N C、D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形 PNCD依題意可得:S = S；pcd - S；pnc11c. 2= -CD OD + lpN BC= 3 2+ t 4t-1 2=-t 3t 32222= -(t-3)224拋物線的開(kāi)口方向：向下,當(dāng)t=3,且0vtvE <3時(shí),S最大=21224當(dāng)t =3或0時(shí),點(diǎn)P、N都重合,此時(shí)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形1 一 1 一一依也忌可信,S = 2

31、 s矩形abcd=2 2 3=321綜上所述,以 P N、C D為頂點(diǎn)的多邊形面積 S存在最大值 21 .412、( 2021德州)二次函數(shù)y =ax2 +bx +c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3 , 0) , R2 , -3) , C(0 , -3).(1)求此函數(shù)的解析式及圖象的對(duì)稱軸；(2)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒0.1個(gè)單位的速度沿線段 BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)以 相同的速度沿線段 OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.當(dāng)t為何值時(shí),四邊形 ABPCM；等腰梯形；設(shè)PQ與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為 M過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線交 AB于點(diǎn)N,設(shè)四邊形ANPQJ面 積為

32、S,求面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式,并指出 t的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí),S有最 大值或最小值.解：(1),二次函數(shù) y = ax2 +bx +c 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) C(0 , -3) ,c =-3 .2將點(diǎn) A(3 , 0) , B(2 , -3)代入 y =ax + bx + c 得0 =9a +3b-3, -3=4a+2b-3.解得:a=1, b=-2.y =x2 -2x -3 .配方得：y = (x-1)2 -4,所以對(duì)稱軸為 x=1.(2)由題意可知：BP= OQ=0.1t.點(diǎn)B,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等,BC OA過(guò)點(diǎn)B,點(diǎn)P作BDL OA P紅OA垂足分別為 D, E.要使四邊形ABPQ;等腰

33、梯形,只需 PQ=AB即 QEAD=1 .又 QE=OE- OQ(2-0.1 t )-0.1 t =2-0.2 t . 2-0.2 t =1.解得t=5.即t=5秒時(shí),四邊形 ABPQ等腰梯形.設(shè)對(duì)稱軸與BC x軸的交點(diǎn)分別為 F, G對(duì)稱軸x=1是線段BC的垂直平分線,BF=CF=OG=1.又 BP=OQ PF=QG 又PMF/QMG ./ MF匡 MGQ .Mf=MG,點(diǎn) M為 FG的中點(diǎn),S=Sg邊形 ABPQ - S作PN,1A- 9二S 四邊形 ABFG - SBPN ,由 S 四邊形 ABFG (BF AG)FG = -2c 11S bpn bp FG =223 一 93 一一t

34、.S=t ,又 BO2, O禽3,402 40點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng),需要 20秒.0<tW20.當(dāng)t=20秒時(shí),面積 S有最小值3.13、(2021東陽(yáng))如圖,P為正方形 ABCD的對(duì)稱中央, A (0, 3) , B(1, 0),直線 OP交AB于N, DC于M點(diǎn)H從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)R從O出發(fā)沿OMT向以、吃個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t o求:(1) C的坐標(biāo)為(2)當(dāng)t為何值時(shí), ANOW DM符目似?(3) HCR1積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形 時(shí)t的值及S的最大值.解：(1) C (4 , 1

35、 );(2)當(dāng)/ MDR= 45°時(shí),t= 2,點(diǎn)H (2, 0)當(dāng)/ DRIM= 45° 時(shí),t = 3,點(diǎn)H ( 3, 0)1, 1,(3) S = - t +2t (0vtW4) ; (1 分)S= t - 2t (t>4)1339當(dāng) CR/AB 時(shí),t= 4 , S= 32當(dāng) AR / B C 時(shí),t =11當(dāng) BR/AC 時(shí),t =3,1814、 (2021恩施)如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y =x2+bx+ c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3, 0),與y軸交于C(0, -3) 點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)

36、.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式./(2)連結(jié)PO PC并把 POg CCO折,得到四邊形 POPC,那么是否存在點(diǎn) P,使/四邊形POP C為菱形？假設(shè)存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC勺面積最大并求出此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC勺最大面積.解：(1)將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 13b c =0解得:c - -3b = 2c - -3所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：y =x2 -2x-3/(2)存在點(diǎn)P,使四邊形POP C為菱形.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x, x 2x3),PP/交CO于E,假設(shè)四邊形POP C是菱形,那么有 PC= P0./.3c

37、連結(jié) PP 貝U PE!COT E, OE=EC萬(wàn)y = _3 .2-l x2 - 2x - 3 = _322102 - 10解得x1=20, x2=2以(不合題意,舍去)22.P點(diǎn)的坐標(biāo)為(A'10 , _3) 22(3)過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q與OB交于點(diǎn)F,設(shè)P (x,x2 - 2x-3),易得,直線BC的解析式為y=x-3 那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, x3)Sra邊形 ABPC = S . ABCS . BPQScpq1_1 _1 _二AB OC QP OE QPEB11= -4 3(222-x 3x) 322375x - -3當(dāng)*=一時(shí),四邊形ABPC勺面積最大 2此時(shí)

38、P點(diǎn)的坐標(biāo)為 -；,四邊形ABPC勺 2,4面積的最大值為75.815、(2021廣安)如圖,直線 y = -x-1與拋物線y=ax2+bx-4都經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-1, 0)、B(3, -4). (1)求拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于 點(diǎn)E,求線段PE長(zhǎng)度的最大值；(3)當(dāng)線段PE的長(zhǎng)度取得最大值時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)Q使 PCQ是以PC為直角邊的直角三角形 ？假設(shè)存在,請(qǐng)求出Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.一,一,a b 4 =0解：(1)由題知3,解得a=1, b= -3,9a +3b 4 =T,拋物線解析式為 y=x2-3x-4(2)設(shè)點(diǎn)

39、P 坐標(biāo)(m,-m-1),那么 E 點(diǎn)坐標(biāo)(m, m 2-3m-4) .線段 PE 的長(zhǎng)度為：-m-1-(m 2-3m-4)= -m 2+2m+3 = -(m-1) 2+4由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)m=1時(shí),函數(shù)有最大值 4,所以線段PE長(zhǎng)度的最大值為4.(3)由(2)知 P(1, -2)過(guò)P作PC的垂線與x軸交于F,與拋物線交于 Q,設(shè)AC與y軸交于G那么G(0, -1) , OG=1又可知A(-1, 0)那么OA=1,. OA%等腰直角三角形,二./ OAG=45. PAF是等腰直角三角形,由對(duì)稱性知F(3, 0)設(shè)直線PF的解析式為y=k1x+b1,那么" 0 ,解之得 k1=1, b

40、 1= -3,直線 PF為 y=x-3R +0 = -2由；y=x13解得產(chǎn)=2：«產(chǎn)=2一,5y =x2 -3x -4y1 =V5 -1y =-* -1. .Q(2+、5 ,.5 -1) Q 2(2- .5 , - , 5-1)7k2 +b2 =0 -3k2 +b2 =Y過(guò)點(diǎn)C作PC的垂線與x軸交于H,與拋物線交點(diǎn)為 Q,由/HAC=45,知ACH是等腰直角 三角形,由對(duì)稱性知 H坐標(biāo)為(7, 0),設(shè)直線CH的解析式為y=k2x+b2,那么,解之得k2=1, b 2= -7,直線CH的解析式為y=x-7X1 =1 X2 =3 y1 = -61 y2 =u解方程組3y =X17得y

41、 =x 3x -4當(dāng)Q(3,-4)時(shí),Q與C重合, PQ5存在,所以 Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1, -6)綜上所述在拋物線上存在點(diǎn)Q(2+<5, 盧-1)、Q(2-V5,- /-1)、Q(1,-6) 使得 PCQ是以PC為直角邊的直角三角形.16、(2021廣州)如圖,O O的半徑為1,點(diǎn)P是.O上一點(diǎn),弦 AB垂直平分線段 OP點(diǎn)D 是AB上任一點(diǎn)(與端點(diǎn) A、B不重合),DH AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑 作.D,分別過(guò)點(diǎn) A B作.D的切線,兩條切線相交于點(diǎn) C.(1)求弦AB的長(zhǎng)；(2)判斷/ AC盟否為定值,假設(shè)是,求出/ ACB勺大??；否那么,請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)記 ABC勺面積

42、為S,假設(shè) E =473 ,求 ABC勺周長(zhǎng).DE解：(1)連接 OA取OP與AB的交點(diǎn)為F,那么有OA= 1. .弦 AB垂直平分線段 OP OF= 1 OP= 1 , AF= BF. 22在 RtAOAF, , AF= JOA2 -OF 2 = / 一；2 = , ：. AB= 2AF= 33 .2 / AC配定值.理由：由1易知,/ AO屋120° ,由于點(diǎn)D為 ABM內(nèi)心,所以,連結(jié) AD BD那么/ CAB= 2/DAE / CBA= 2/DBA1由于/ DAEF / DBA= - Z AOB= 60 ,所以/ CABF / CBA= 120 ,所以/ ACB= 60 ;

43、2(3)記 ABC勺周長(zhǎng)為l ,取AC BC與O D的切點(diǎn)分別為 G H,連接DG DC DH那么有 DG= DH= DE DG_ ACDHL BCS - S ABD . S ACD=Iab?2DG= 1 (AB+ BC+ AC ? DE= 1 l ?DEl = 873 DE. S =4幣,DE1 l|_DE _-2 = 4 .3 ,DE2. CQ CHOD的切線,GC吩ZACB30 ,在 RtACGD, CG= -DGtan 30DE = 73 DECH= CG >/3 DE3317、又由切線長(zhǎng)定理可知 AG= AE, BH= BE.l =AB+ BO AC 2 73+ 2J3DE=

44、8 質(zhì) DE 解得 DE= 1 ,3.ABC勺周長(zhǎng)為8£ .32021廣州如下圖,四邊形 OABO矩形,點(diǎn) A C的坐標(biāo)分別為點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)與端點(diǎn)B、C不重合,過(guò)點(diǎn)D作直線y3, 0) , (0,=-x + b交2折線(1)(2)OABF點(diǎn) E.記 ODE勺面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí),假設(shè)矩形OABCi于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形 OABC,試探究OABC與矩形OABC勺重疊局部的面積是否發(fā)生變化,假設(shè)不變,求出該重疊 局部的面積；假設(shè)改變,請(qǐng)說(shuō)明理由 .1 < b< -,如圖 25-a, 2解：1由題意得B 3, 1.假設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

45、(3, 0)時(shí),那么b=-假設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B (3, 1)時(shí),那么b=-假設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 0,1時(shí),那么b=1假設(shè)直線與折線OAB勺交點(diǎn)在OA上時(shí),即 V此時(shí) E (2b, 0)- 11 , . S= - OE, CO= x 2bx 1 = b22C-DBXbE-o圖2_3此時(shí) E (3, b ) , D (2b2, 1)2 S= S 矩(SaocdF Sxoae + Sxdbe)=3 1 (2b 1) X 1 + 1 X (5 2b) ( 5 b) + 2221b1心| S =(|5.23.5b-b <b<_1222(2)如圖3,設(shè)OA與CB相交于點(diǎn) M OA與C1B相交十點(diǎn)1 的

46、重疊局部的面積即為四邊形DNEMJ面積.此題答案由無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校金楊建老師草制！ n y TC1J、H N EA.xO/ A1 ' ,圖3B：x135. . 2x3(b ) = - b b222N,那么矩形OABC與矩形OABC假設(shè)直線與折線 OAB勺交點(diǎn)在BA上時(shí),即3vbv5,如圖222AV由題意知,DM/ NE DIN/ ME,四邊形DNE如平行四邊形根據(jù)軸對(duì)稱知,/ MED= /NED又/ MD£ / NED -'/ MED= / MDE,MD= ME,平行四邊形 DNEM?菱形.過(guò)點(diǎn)D作DHL OA垂足為H,1由題易知,tan/DEN=°, D

47、H= 1,HE= 2,2設(shè)菱形DNEM勺邊長(zhǎng)為a,5那么在 RtADHMfr,由勾股定理知：a2 =(2 -a)2 +12 ,a = 545 S 四邊形 DNEM= NE- DH=4, 5.矩形OABC與矩形OABC勺重疊局部的面積不發(fā)生變化,面積始終為 -.418、(2021桂林)如圖,過(guò)A(8, 0)、B (0, 873)兩點(diǎn)的直線與直線 y = J3x交于點(diǎn)C.平行于y軸的直線l從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 x軸向右平移,到 C點(diǎn)時(shí)停止；l分別交線段BC O什點(diǎn)D E,以DE為邊向左側(cè)作等邊 DEF設(shè) DEF與 BCOt疊局部的面積為 S (平方單位),直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

48、(秒)(1)直接寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)和t的取值范圍;(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)P,是否存在這樣的點(diǎn) P,使彳導(dǎo)以P、O F為頂點(diǎn)的三角形,DE=的+8百-有t = 8逐一2曲 等邊 DEF勺DE&上的高為：12-3t當(dāng)點(diǎn) F在 BOi上日12-3t=t,t=3 當(dāng)0W t<3時(shí),重疊局部為等腰梯形,可求梯形上底為:8 ,3 -2 ,3t-3t3一 t 一 2,3S=-(8'3 -2 .3t 8 .3-2 .3t -3 t)23= -(16 3 -14 一3t) = - 73t2 8、3t233當(dāng)3W t w 4時(shí),重疊局部為等邊三角形S=1(8.3-2

49、,3t)(12-3t)= 3.3t2 -24 3t 48.3,_ 24(3)存在,P ( M , 0)7說(shuō)明：: FO 4/3 , FP> 4,3 , O內(nèi) 4以P, O F以頂點(diǎn)的等腰三角形,腰只有可能是FO FP假設(shè) FO=FP時(shí),t=2 (12-3 t) , t = 24 , p P ( 24 , 0)771 o19、(2021杭州)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,拋物線的解析式是 y = x2+1,4點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4, 0),平行四邊形 OABC勺頂點(diǎn)A, B在拋物線上,AB與y軸交于點(diǎn)M點(diǎn) Qx, y)在拋物線上,點(diǎn)P(t, 0)在x軸上.(1) 寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)四邊形C

50、MQPL以MQ PC為腰的梯形時(shí). 求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量 x的取值范圍；當(dāng)梯形CMQ的兩底的長(zhǎng)度之比為 1: 2時(shí),求t的值.(第24題)解：(1) .OABC1 平行四邊形,AB/ OC 且 AB = OC = 4 ,.A, B在拋物線上,y軸是拋物線的對(duì)稱軸, A, B的橫坐標(biāo)分別是2和1 2代入 y = 1 x +1 得,A(2, 2 ) , B( - 2 , 2) ,M(0 , 2),(2) 過(guò)點(diǎn)Q作QH_Lx軸,設(shè)垂足為 H, 那么HQ= y , HP = x t ,由HQZAOMC得： '=,即：t = x - 2y ,241 2 . ,.1 2_ Q(x, y)

51、在 y = - x +1 ±, . . t =-1 x + x - 2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),梯形不存在,此時(shí), t = - 4,解得x = 1 ±7'5 ,當(dāng)Q與B或A重合時(shí),四邊形為平行四邊形,此時(shí),x的取值范圍是x豐1±J5,且x心2的所有實(shí)數(shù).分兩種情況討論：1)當(dāng) CM> PQ時(shí),那么點(diǎn) P在線段 OC上,: CM/ PQ CM= 2 PQ ,1 2,點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍,即2 = 2( - x +1),解得x = 0 ,.,1 2 ' t = - - 0 + 0 -2 = -2212)當(dāng)CM< PQ時(shí),那么點(diǎn)P在OCW延長(zhǎng)線上,: CM/ PQ CM= PQ2,點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn) M縱坐標(biāo)的2倍,