構(gòu)造法解題在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用

1、淺談構(gòu)造法解題在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)過程中，需要長(zhǎng)期給學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。其中構(gòu)造法解題的思想，就是一種值得推廣的解題思想方法。通過構(gòu)造，可以建立起各種數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在熟練掌握各種數(shù)學(xué)知識(shí)的前提下交互使用，融會(huì)貫通。一、 構(gòu)造幾何模型，使代數(shù)問題幾何化。代數(shù)運(yùn)算雖然直接，但有時(shí)會(huì)比較抽象且運(yùn)算復(fù)雜，構(gòu)造合乎要求的幾何圖形，可以是所求解的問題變得直觀明朗，從而找到一個(gè)全新的接替辦法。例一，設(shè)為實(shí)數(shù)，證明：以為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，且三角形的面積為定值。分析：從題目給出的三個(gè)根式我們知道，當(dāng)實(shí)數(shù)去互為相反的兩數(shù)時(shí)，只是其中兩式角色互換，實(shí)質(zhì)

2、一樣，故只需爭(zhēng)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)展開討論即可。FEDCBA構(gòu)造合乎要求的幾何圖形如圖所示：于是：所以：以為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，即。則： 二、 構(gòu)造方程模型，使幾何問題代數(shù)化。例二，周長(zhǎng)為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，則給出證明，若存在，請(qǐng)證明一共有幾個(gè)？分析：設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為，斜邊為，面積為整數(shù)。于是原題中的條件可用方程組的形式給出如下：故原問題即為討論方程組使得面積為整數(shù)的解的情況。由前兩式得：，于是由韋達(dá)定理可構(gòu)造出以為根的方程是：若方程有解，則即：又： ， 為整數(shù)， 為整數(shù)且： =8， 代入方程可得：?？芍獫M足題目條件的三角形只有一個(gè)。三、構(gòu)造極端情況，找到題目要求的最值。例三

3、、在一個(gè)有限的實(shí)數(shù)列中，任意七個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和都是負(fù)數(shù)，而任意十一個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和都是正數(shù)。試問：此數(shù)列最多能包含多少項(xiàng)？分析：根據(jù)題目所給已知條件，可構(gòu)造一個(gè)每橫行七個(gè)數(shù)，每縱列十一個(gè)數(shù)的數(shù)陣如下：考慮到?jīng)]一橫行為連續(xù)七項(xiàng)，其和小于0，沒一縱列為連續(xù)十一項(xiàng)，其和大于0。于是得到矛盾，所以， 。另一方面有可以構(gòu)造一個(gè)連續(xù)十六項(xiàng)的數(shù)列滿足題目要求：6，6，-15，6，6，6，-16，6，6，-16，6，6，6，-15，6，6，故符合條件的數(shù)列最多有十六項(xiàng)。四、構(gòu)造對(duì)應(yīng)的平面模型，將空間問題降為平面問題處理。例四，已知空間六條直線，任意三條中必有兩條異面。求證：在這六條直線中總可以選出三條，其中任意兩條都

4、異面。分析：空間問題的處理，往往比平面問題的處理顯得更為復(fù)雜。如果能通過構(gòu)造對(duì)應(yīng)的平面模型，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來處理，也許會(huì)產(chǎn)生清晰明了的新辦法。將空間六條直線對(duì)應(yīng)為平面上六個(gè)點(diǎn)，若異面，則將的連線段染成紅色，若共面，則將的連線段染成藍(lán)色。于是原問題變?yōu)椋阂阎矫鎯?nèi)六點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的連線為紅色或藍(lán)色，且任意三點(diǎn)構(gòu)成的三角形，三邊中必有一條紅邊。求證：存在一個(gè)三角形三條邊都是紅色?？紤]從點(diǎn)出發(fā)的五條線段，用紅藍(lán)二色染色，其中必有三條直線同色，若同為藍(lán)色，則與相連的其余三點(diǎn)構(gòu)成的三角形必定三條邊均為紅色，于是有原命題成立。若同為紅色，而與相連的其余三點(diǎn)構(gòu)成的三角形中必有一條邊為紅色，于是也

5、能得到三邊均為紅色的三角形。故原命題得證。五、構(gòu)造符合已有原理、定理的模型。例五，一位國(guó)際象棋大師有11周的時(shí)間備戰(zhàn)一場(chǎng)錦標(biāo)賽，他決定每天至少下一盤棋，但為了不使自己過于疲勞，他還決定在每周不能下棋超過12盤。證明存在若干天，在此期間這位大師恰好下了21盤棋。分析：用表示這位大師第1天到第天總共比賽的局?jǐn)?shù)，顯然數(shù)列為一嚴(yán)格遞增數(shù)列。構(gòu)造新數(shù)列，則新數(shù)列也是一嚴(yán)格遞增數(shù)列， ， 由于兩數(shù)列共有77×2=154項(xiàng)，其中，根據(jù)抽屜原理可知，必有數(shù)列中的一項(xiàng)和數(shù)列中的一項(xiàng)相等，不妨設(shè)，則有；。即從第天到第天的連續(xù)天內(nèi)，此人共下棋21盤。例六，9條直線中的每一條都把正方形分成面積比為23的兩個(gè)

6、四邊形。證明：這9條直線中至少有三條經(jīng)過同一點(diǎn)。分析：因?yàn)槊織l直線將正方形劃分為面積比為23的兩個(gè)四邊形，易知此兩四邊形必為兩個(gè)高度相等的梯形或長(zhǎng)方形，由梯形的面積公式可知，面積比為23時(shí)即為梯形的中位線的長(zhǎng)度之比為23，由正方形的圖形特征可知：能滿足條件的直線必經(jīng)過圖中四點(diǎn)中的一點(diǎn)，于是有九條直線過四個(gè)點(diǎn)，由抽屜原理可知：必有三條直線過同一點(diǎn)。六、構(gòu)造解析幾何模型，找到數(shù)與形的新的結(jié)合點(diǎn)。例七，設(shè)為大于等于3的整數(shù)。證明：在平面上存在一個(gè)由個(gè)點(diǎn)組成的集合，使集合中任意兩點(diǎn)間的距離為無理數(shù)，任意三點(diǎn)組成一個(gè)非退化的面積為有理數(shù)的三角形。分析：因?yàn)橐M成非退化的三角形，所以任意三點(diǎn)不共線，根據(jù)二

7、次曲線的特征可知，任意一種二次曲線與直線相交，最多只能有兩個(gè)公共點(diǎn)，即二次曲線上沒有三點(diǎn)共線，于是可構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的二次曲線模型，如拋物線型。構(gòu)造無窮點(diǎn)集： 下證此集合中的點(diǎn)符合題目中的條件。在集合中取任意兩點(diǎn)：， 其中 。由平方差公式可知：。當(dāng)且時(shí)，必有為一大于1的自然數(shù)，所以：一定是一個(gè)非完全平方數(shù)，即為無理數(shù)，又，故為無理數(shù)。取圖象上三點(diǎn)：。則： ， 此式顯然為非零有理數(shù)。另外也可以用面積公式，經(jīng)過的直線方程為：由點(diǎn)到直線的距離公式得：，其余同上。七、構(gòu)造極端情形，推廣至一般。例八，已知平面上有個(gè)點(diǎn)，其中既無三點(diǎn)共線，也無四點(diǎn)共圓，能否通過它們中的三點(diǎn)作一個(gè)圓，使其余個(gè)點(diǎn)有一半在圓內(nèi)，一半

8、在圓外？分析：考慮極端情況，當(dāng)時(shí)，對(duì)于平面上的五個(gè)點(diǎn)，必定存在兩個(gè)點(diǎn)，使得剩余三點(diǎn)全部在此兩點(diǎn)的連線的同側(cè)，設(shè)此三點(diǎn)分別為：，它們相對(duì)于的張角滿足：，顯然，過點(diǎn)的圓符合題目要求。對(duì)于平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，必定可選取兩點(diǎn)，使其余個(gè)點(diǎn)位于此兩點(diǎn)連線的同側(cè)，因?yàn)闊o四點(diǎn)共圓，故此個(gè)點(diǎn)對(duì)于此兩點(diǎn)的連線段的張角可以滿足：顯然過點(diǎn)的圓滿足題目要求。例九，在一個(gè)平面內(nèi)給定個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線。證明：至少有個(gè)凸四邊形，其頂點(diǎn)為給定的點(diǎn)。分析：構(gòu)造極端情形，當(dāng)時(shí)，分為以下兩種情況： 五個(gè)點(diǎn)中的四個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)凸四邊形的頂點(diǎn)，另一個(gè)為任意點(diǎn)，此情形顯然滿足題義； 五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，而其余兩個(gè)點(diǎn)在三角形內(nèi)。如圖所示：QPEDCBA因無三點(diǎn)共線，故經(jīng)過D、E的直線必與三角形的兩邊相交，不妨交AB于P，交AC于Q?？疾樗倪呅蜝DEC，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)角線BE、CD在其內(nèi)部，所以四邊形為凸四邊形。一般地，在一個(gè)平面內(nèi)給定個(gè)點(diǎn)，可以構(gòu)成個(gè)不同的五點(diǎn)集，從上面的討論可知，每個(gè)五點(diǎn)集中至少有一個(gè)以