北理工 概率論 田第10講(2012)

1、例例3 若若X、Y獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率的概率分布分布.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨(dú)立性由獨(dú)立性此即離散此即離散卷積公式卷積公式r=0,1,2, 解：解：依題意依題意 )(rZP 例例4 若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為21,21的泊松分布的泊松分布.由卷積公式由卷積公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(i

2、eiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXP0),(riirYiXPrZP0),()(由卷積公式由卷積公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.21r =0,1，riirYPiXP0)()(例例5 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，XB(n1, p),YB(n2, p),求求 Z=X+Y 的分布的分布. 我們可以按照前面的方法來求解，也可以換我們可以按照前面的方法來求解，也可以換一種方法一種方法. 回憶二項(xiàng)分布直觀背景回憶二項(xiàng)分布直觀背景,

3、設(shè)在一次試驗(yàn)中事件設(shè)在一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p. 將該試驗(yàn)分別獨(dú)立重復(fù)將該試驗(yàn)分別獨(dú)立重復(fù)n1次和次和n2次次, 設(shè)設(shè) X 是是n1次次試驗(yàn)中試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù), 設(shè)設(shè)Y 是是n2次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次出現(xiàn)的次數(shù)數(shù). 故故 Z=X+Y 是在是在n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn)的概率為的概率為p，于是，于是 Z是以（是以（n1+n2，p）為參）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z B(n1+n2, p).解解:.Z ,. 21的的概概率率分分布布次次數(shù)數(shù)全全班班同同學(xué)學(xué)試試驗(yàn)驗(yàn)成成

4、功功的的總總計(jì)計(jì)算算的的次次數(shù)數(shù)是是次次試試驗(yàn)驗(yàn)，其其中中試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功個(gè)個(gè)同同學(xué)學(xué)做做了了如如果果第第驗(yàn)驗(yàn)同同學(xué)學(xué)重重復(fù)復(fù)進(jìn)進(jìn)行行同同一一個(gè)個(gè)試試下下每每個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)同同學(xué)學(xué)，在在相相同同的的條條件件設(shè)設(shè)全全班班有有niiXXXXmin .,21次次獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)試試驗(yàn)驗(yàn)進(jìn)進(jìn)行行了了全全班班同同學(xué)學(xué)一一共共是是設(shè)設(shè)每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功的的概概率率nmmmmp Z試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功總總次次數(shù)數(shù)).,(pmB例例6則則 例例6說明說明, 如果如果 Xi 服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布B(mi, p), i=1,2, ,n. X1,Xn相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 Z=X1+XnB(m1+mp, p)2.

5、 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)函數(shù)函數(shù)Z = (X, Y)的分布的分布 設(shè)已知設(shè)已知(X, Y)的的概率密度概率密度f(x, y), 求求 Z = (X, Y)的分布。的分布。 當(dāng)當(dāng)Z為離散型隨機(jī)變量時(shí)，求為離散型隨機(jī)變量時(shí)，求Z的分布律即可。的分布律即可。例例7 設(shè)設(shè)X、Y的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度概率函數(shù)為概率函數(shù)為其他,00,0,),()(yxeyxfyx其中其中 ， 為大于為大于0的常數(shù)。引入隨機(jī)變量的常數(shù)。引入隨機(jī)變量YXYXZ,0, 1求求Z的分布的分布例例7 設(shè)設(shè)X、Y的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度概率函數(shù)為概率函數(shù)為其他,00,0,),()(yxeyxfyx其中其中

6、 ， 為大于為大于0的常數(shù)。引入隨機(jī)變量的常數(shù)。引入隨機(jī)變量YXYXZ,0, 1求求Z的分布的分布解：解：) 1(ZP)(YXPyxdxdyyxf),(y=x00ydydxeyx)(00yxydxedye0)1(dyeeyyYXYXZ,0, 1求求Z的分布的分布解：解：) 1(ZP1)1(1ZP)0(ZP 當(dāng)當(dāng)Z= （X，Y）為為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，求連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，求Z的的分布函數(shù)或密度函數(shù)。分布函數(shù)或密度函數(shù)。 FZ(z)=P(Z z) =P （X，Y） z zyxdxdyyxf),(),()()(zFzf.),0(), 0( ,222的概率密度的概率密度求求且均服從且均服從相互獨(dú)立相互獨(dú)

7、立已知已知YXZNYX 221( )exp22Xxfx 解解: 由于由于 22222exp21),( yxyxf221( )exp22Yyfy例例8且且X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 所以所以).(),(zfzFZZ設(shè)設(shè)Z的分布函數(shù)和概率密度分別為的分布函數(shù)和概率密度分別為0)(,0 zFzZ時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22YXZ )(,0zZPzFzZ 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22zYXP zyxdxdyyxf22),(cos, 0,02sinxrryr rrryryxrxJ cossinsincos采取極坐標(biāo)變量替換采取極坐標(biāo)變量替換對(duì)應(yīng)的雅可比行列式為對(duì)應(yīng)的雅可比行列式為,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z zyxZdxdyyxzF2222222

8、exp21)( cos( )2sin( )221exp 22x ry rr zrr drd222exp1z 其它其它 , 00,2exp1)(22zzzFZ 其它其它 , 00,2exp)(222zzzzfZ 綜合可得綜合可得于是于是, Z的概率密度為的概率密度為我們稱上述分布或概率密度為瑞利分布我們稱上述分布或概率密度為瑞利分布.例例9 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度. 解解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線

9、x+y =z 左下左下方的半平面方的半平面.將上述積分化成累次積分將上述積分化成累次積分,得得 yzZdydxyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()(固定固定z和和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換代換, 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(交換積分次序交換積分次序yu=zu 由概率由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y的概的概率密度為率密度為: 由由X和和Y的對(duì)稱性的對(duì)稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一

10、般公式以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣密度分的邊緣密度分別為別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個(gè)公式稱為卷積公式這兩個(gè)公式稱為卷積公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(例例10 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)相互是兩個(gè)相互 獨(dú)立獨(dú)立的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量,它們都服它們都服從從N(0,1)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度 。dxxzfxfzfYXZ)()()(解解:

11、 由卷積公式由卷積公式2221)(tetdxeexzx2)(22221dxeezxz22)2(421dxeezxz222)21(2)2(421212122)2(2221ze例例10 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)相互是兩個(gè)相互 獨(dú)立獨(dú)立的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量,它們都服它們都服從從N(0,1)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度 。dxxzfxfzfYXZ)()()(22)2(2221ze所以，所以，Z=X+Y)2( , 0(2N則有則有),(222121NYXZ可以類似地證明，若可以類似地證明，若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,),(),(222211NYNX 此結(jié)論此結(jié)論可以推廣到可以推廣到兩個(gè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量獨(dú)立

12、隨機(jī)變量線性組線性組合合的情形的情形.可以證明可以證明: ),(22221221babaNbYaXZ若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,),(),(222211NYNX更一般地更一般地, 可以證明可以證明:有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.為確定積分限為確定積分限, 先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例11 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立, 分別分別有概率密度有概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 ., 010, 1)(其它xxfXdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式1010 xzx也即也即zxzx1

13、10其它, 010, 1)(yyfY為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf1010 xzx也即也即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(例例11 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立, 分別分別有概率密度有概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 ., 010, 1)(其它xxfX)()(zZPzFZ解解: 用分布函數(shù)法用分布函數(shù)法其它, 010, 1)(yyfY)(zYXPzyxdxdyyxf),(zyxYXdxdyyfxf)()(其它, 010, 1)(xxfX)()(zZPzF

14、Z其它, 010, 1)(yyfYzyxYXdxdyyfxf)()(; 0)(, 0zFzZ當(dāng)zxzZzdydxzFz002; 2/)(, 10當(dāng)xyx+y=zx+y=z其它, 010, 1)(xxfX)()(zZPzFZ其它, 010, 1)(yyfYzyxYXdxdyyfxf)()(12/2 )(, 2121001110zzdydxdydxzFzxzzzZ當(dāng)1)(, 2zFzZ當(dāng)x+y=zx+y=zxy11綜合綜合,有有2, 121, 12/210, 2/0, 0)(22zzzzzzzzFZ所以所以其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf3. M=max(X,Y)及及N

15、=min(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y), 我們我們來求來求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函的分布函數(shù)數(shù).又由于又由于X和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于不大于 z 等價(jià)于等價(jià)于X和和Y都不大都不大于于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz) 類

16、似地，可得類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣下面進(jìn)行推廣 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(Yz) 設(shè)設(shè)X1,Xn是是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為 我們來求我們來求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)的分布函數(shù).)(xFiX(i =0,1，, n)用與二維時(shí)完全類似的方法，可得用與二維時(shí)完全類似的方法，可得M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 特別

17、，當(dāng)特別，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有時(shí)，有 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX例例12. 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1, L2連接而連接而成，連接的方式分別為（成，連接的方式分別為（1）串聯(lián)；（）串聯(lián)；（2）并聯(lián)；（）并聯(lián)；（3）備用。設(shè)備用。設(shè)L1, L2的壽命分別為的壽命分別為X，Y,他們的概率密度他們的概率密度分別為分別為: ,0, 00,)(xxexfxX

18、0, 00,)(yyeyfyY其中，其中， 0, 0, 。試分別就以上三種連接方。試分別就以上三種連接方式寫出式寫出L的壽命的壽命 Z 的概率密度。的概率密度。 解：（解：（1） Z =min (X，Y) ,0, 00,)(xxexfxX0, 00,)(yyeyfyY解：（解：（1） Z =min (X，Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ,0, 00,1)(xxexFxX0, 00,1)(yyeyFyY)(1)(1 1)(zFzFzFYXZ0, 00,1)(zzez于是，于是， Z =min (X，Y)的概率密度為的概率密度為 0, 00,1)()(zzezFzZ0, 00,)()()(zzezf

19、zZ例例12. 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1, L2連接而連接而成，連接的方式分別為（成，連接的方式分別為（2）并聯(lián)。設(shè)）并聯(lián)。設(shè)L1, L2的壽命的壽命分別為分別為X，Y,他們的概率密度分別為他們的概率密度分別為: 解：（解：（2） Z =max (X，Y) 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,0, 00,1)(xxexFxX0, 00,1)(yyeyFyY)()()(zFzFzFYXZ0, 00),1)(1 (zzeezz于是，于是， Z =max (X，Y)的概率密度為的概率密度為 0, 00,)()()(zzeeezfzzzZ0, 00),1)(1 ()(zze

20、ezFzzZ例例12. 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1, L2連接而連接而成，連接的方式分別為（成，連接的方式分別為（3）備用。設(shè)）備用。設(shè)L1, L2的壽命的壽命分別為分別為X，Y,他們的概率密度分別為他們的概率密度分別為: 解：（解：（3） Z =X+Y 的概率密度為的概率密度為0, 00,)(yyeyfyY,0, 00,)(xxexfxXdxxzfxfzfYXZ)()()(為確定積分限為確定積分限, 先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 00 xzx也即也即xzx00, 00,)(yyeyfyY,0, 00,)(xxexfxXdxxzfxfzfYXZ)()()(被積函數(shù)不為被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 所以所以xzx00, 00,)()(