高中數(shù)學(xué)1-3算法案例輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)課件新人教A版必修

1、13 算法案例 一一 教材分析教材分析 二二 教學(xué)目標(biāo)分析教學(xué)目標(biāo)分析 三三 教學(xué)方法與手段分析教學(xué)方法與手段分析 四四 學(xué)法分析學(xué)法分析 五五 教學(xué)過程分析教學(xué)過程分析 六六 教后反思教后反思 伴隨著河南的新課改的不斷深入發(fā)展，算法初步作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)新生兒，進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容也己經(jīng)有三年的時(shí)間了。隨著在教學(xué)中對算法初步不斷的學(xué)習(xí)、探索、研究，我們也逐漸認(rèn)識到算法在數(shù)學(xué)中的地位和作用。 實(shí)際上，算法思想是貫穿在高中數(shù)學(xué)課程始終的基本思想。例如，二分法求方程的解；點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到直線距離；立體幾何性質(zhì)定理的證明過程；一元二次不等式；線性規(guī)劃；等等內(nèi)容中，都運(yùn)用了算法思

2、想。 （一）教材的地位與作用 中國古代數(shù)學(xué)注重實(shí)際問題的解決，以算法為中心，寓理于算，其中蘊(yùn)涵了豐富的算法思想，在世界數(shù)學(xué)史上一度處于領(lǐng)先地位。比較經(jīng)典的算法有：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法、冒泡排序法、割圓術(shù)等。用我國傳統(tǒng)的開方術(shù)求高次方程的近似根，就是算法上的一大成就?，F(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使算法重新煥發(fā)了前所未有的生機(jī)和活力，算法進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程，既反映了時(shí)代的要求，也是中國古代數(shù)學(xué)思想在一個(gè)新的層次上的復(fù)興。 因此，本節(jié)內(nèi)容，不僅是前兩節(jié)內(nèi)容的延續(xù)與拓展，也使對學(xué)生前兩節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)狀況的鞏固與提高，更是培養(yǎng)學(xué)生民族自豪感與愛國情懷、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的有效手段。 （1）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些

3、簡單的算法，對算法已經(jīng)有了一個(gè)初步的了解，對算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)和基本算法語句也有了一定的認(rèn)知。 （2）學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)較為豐富，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力。 （3）學(xué)生思維活躍，積極性高，已初步形成對數(shù)學(xué)問題的合作探究能力。 （4）學(xué)生層次參差不齊，個(gè)體差異比較明顯，特別在利用算法思想解決實(shí)際問題方面還存在很大不足。（a）知識與技能 1、理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析。 2、基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫出算法程序。二、教學(xué)目標(biāo)二、教學(xué)目標(biāo) 對比用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求兩數(shù)的最大公約數(shù)的方法，比較它們在算法上

4、的區(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。 領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)算法與計(jì)算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言的一般步驟。 通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。 在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力。 在合作學(xué)習(xí)的過程中體驗(yàn)合作的愉快和成功的喜悅。 重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法。 難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言。 1教學(xué)方法：充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用，采用自學(xué)探究式，并遵循循序漸進(jìn)的教學(xué)原則。這有利于學(xué)

5、生掌握從現(xiàn)象到本質(zhì)，從已知到未知逐步形成概念的學(xué)習(xí)方法，有利于發(fā)展學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力。 2教學(xué)手段：通過教學(xué)媒體（計(jì)算機(jī)），分組合作，上臺演板、講解等手段，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)的主動(dòng)性與積極性。 在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上，去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，模仿已經(jīng)學(xué)過的程序框圖與算法語句設(shè)計(jì)出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序，并能通過上機(jī)操作，學(xué)以致用。（一）、自主預(yù)習(xí)（二）、展示交流（三）、點(diǎn)撥提升（四）、總結(jié)提高（五）、目標(biāo)檢測1. 回顧算法的三種表述：回顧算法的三種表述：自然語言自然語言程序框圖程序框圖程序語言程序語言（三種邏輯結(jié)構(gòu)）（三種邏輯結(jié)構(gòu)）（五種基

6、本語句）（五種基本語句）順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)通過對以前所學(xué)的知識的回顧，為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。2. 思考：思考： 1.1.小學(xué)學(xué)過的求兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法是什么？小學(xué)學(xué)過的求兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法是什么？ 先用兩個(gè)公有的先用兩個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到連續(xù)去除，一直除到所得的商是所得的商是互質(zhì)數(shù)互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的為止，然后把所有的除數(shù)除數(shù)連乘起連乘起來來. 試求（試求（1）求）求25和和35的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) （2）求）求49和和63的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)25（1） 5535749（2）

7、77639所以，所以，25和和35的最大公約的最大公約數(shù)為數(shù)為5所以，所以，49和和63的最大公約的最大公約數(shù)為數(shù)為7 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)通過學(xué)案的形式通過學(xué)案的形式讓學(xué)生在預(yù)習(xí)過讓學(xué)生在預(yù)習(xí)過程中自主填寫，程中自主填寫，自我練習(xí)，從而自我練習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和自我探究能力和自我探究意識。意識。2 .除了用這種方法外還有沒有其它方法？除了用這種方法外還有沒有其它方法？試算出試算出8251和和6105的最大公約數(shù)的最大公約數(shù). 1 輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）例例1 .用輾轉(zhuǎn)相除法求用輾轉(zhuǎn)相除法求8251和和6105的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)8251=6

8、1051+21461. 為什么為什么8251和和6105的公約數(shù)的公約數(shù) 就是就是6105和和2146的公約數(shù)？的公約數(shù)？（算法原理）（算法原理）6105=21462+1813 21461813133318133335148 333148237 1483740則則37為為8251與與6105的最大公約數(shù)。的最大公約數(shù)。 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)在老師的引導(dǎo)下，師生一同完成整個(gè)解題過程，并分組討論，通過探究這兩個(gè)問題，得出輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的算法原理和計(jì)算規(guī)律。2. 輾轉(zhuǎn)相除法應(yīng)用時(shí)的輾轉(zhuǎn)相除法應(yīng)用時(shí)的計(jì)算規(guī)律計(jì)算規(guī)律是是 S1：用：用大數(shù)大數(shù)除以除以小數(shù)小數(shù) S2：除數(shù)除數(shù)變成變成被除數(shù)被除數(shù)，余

9、數(shù)余數(shù)變成變成除數(shù)除數(shù) S3：重復(fù)：重復(fù)S1，直到，直到余數(shù)為余數(shù)為0 并將并將除數(shù)除數(shù)叫作這兩個(gè)數(shù)的叫作這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)最大公約數(shù)。整除思想被除數(shù) = 除數(shù) *商+余數(shù) 輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實(shí)際上是一個(gè)停止的步驟，這實(shí)際上是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框圖表示出右邊的過程用程序框圖表示出右邊的過程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否

10、教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)以學(xué)生自我探究、分組討論、代表發(fā)言為主，老師適當(dāng)引導(dǎo)為輔，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法中蘊(yùn)含的算法思想即循環(huán)結(jié)構(gòu)。通過總結(jié)、提取算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，提高其觀察能力和概括能力。思考：輾轉(zhuǎn)相除法中的關(guān)鍵步驟是哪種邏輯結(jié)構(gòu)？思考：輾轉(zhuǎn)相除法中的關(guān)鍵步驟是哪種邏輯結(jié)構(gòu)？（1）算理：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給）算理：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是大數(shù)被小數(shù)除盡

11、，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)m,n(mn). 第二步：計(jì)算第二步：計(jì)算m除以除以n所得的余數(shù)所得的余數(shù)r. 第三步：第三步：m=n,n=r. 第四步：若第四步：若r0,則則m,n的最大公約數(shù)等于的最大公約數(shù)等于m；否則轉(zhuǎn)到第二步否則轉(zhuǎn)到第二步. 第五步：輸出最大公約數(shù)第五步：輸出最大公約數(shù)m. 教學(xué)設(shè)計(jì)通過對算法的算理分析，讓學(xué)生利用已學(xué)知識編寫出算法步驟、程序框圖和程序，使學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)算法解決問題的全過程，體現(xiàn)算法逐漸精確地過程。開始開始輸入輸入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 輸

12、出輸出m結(jié)束結(jié)束 INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END（4）程序 在畫程序框圖時(shí)，要讓學(xué)生知道構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)的步驟是 1 確立循環(huán)體:求m除以n的余數(shù) r,m=n,n=r 2 初始化變量：輸入m,n 3 設(shè)定循環(huán)控制條件：r=0？思考思考: 能否用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)寫出輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟、程序框圖和程序？ 教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生再次體會(huì)用算法思想解決實(shí)際問題的全過程，并加深對直到型和當(dāng)型兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等

13、也，以等數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。數(shù)約之。第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用都是偶數(shù)。若是，則用2約簡；若不是則執(zhí)行約簡；若不是則執(zhí)行第二步。第二步。第二步：第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個(gè)等操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個(gè)等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)帶領(lǐng)學(xué)生閱讀更相減損術(shù)的內(nèi)容通過中外數(shù)學(xué)歷史的

14、對比，反映出中國古代人民的優(yōu)秀，讓學(xué)生體會(huì)中國古代數(shù)學(xué)對世界歷史的發(fā)展做出的貢獻(xiàn)，從而激發(fā)學(xué)生的愛國熱情。我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。例例2 2 用更相減損術(shù)求用更相減損術(shù)求9898與與6363的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)解：由于解：由于6363不是偶數(shù)，把不是偶數(shù)，把9898和和6363以大數(shù)減小數(shù)，以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減并輾轉(zhuǎn)相減 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公約數(shù)等

15、于的最大公約數(shù)等于7 7 先約簡，再求先約簡，再求21與與18的最大公約數(shù)的最大公約數(shù),然后乘以兩次約簡的質(zhì)因數(shù)然后乘以兩次約簡的質(zhì)因數(shù)4用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)8484與與7272的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 練習(xí)：練習(xí)： 教學(xué)設(shè)計(jì)通過例2和練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)更相減損術(shù)的算法原理和計(jì)算規(guī)律，從而加深對知識的理解（1）算理：所謂更相減損術(shù)，就是對于給定的）算理：所謂更相減損術(shù)，就是對于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，再用較大的差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)數(shù)

16、減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。教法設(shè)計(jì)：用類似的方法總結(jié)更相減損術(shù)的算理，寫出算法步驟，編寫程序框圖和程序。（2）算法步驟）算法步驟第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)a,b(ab);第二步：若第二步：若a不等于不等于b ,則執(zhí)行第三步；否則轉(zhuǎn)到第則執(zhí)行第三步；否則轉(zhuǎn)到第五步；五步；第三步：把第三步：把a(bǔ)-b的差賦予的差賦予r;第四步：如果第四步：如果br, 那么把那么把b賦給賦給a,把把r賦給賦給b;否則把否則把r賦給賦給a，執(zhí)行第二步；，執(zhí)行第二步；第五步：輸出

17、最大公約數(shù)第五步：輸出最大公約數(shù)b.（3 3）程序框圖）程序框圖（4 4）程序）程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND開始開始輸入輸入a,bab?是是否否 輸出輸出b結(jié)束結(jié)束 b=ra=br=a-brb?a=r否否是是例3、求324、243、135這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。（試用兩種方法求解）思路分析：求三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)及時(shí)的通過例題講解、板演，鞏固已學(xué)知識。使學(xué)生體會(huì)一題多

18、解的算法思想。（a）例題展示）例題展示1.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的聯(lián)系與區(qū)別（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到2.對比分析輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的計(jì)算方法及算法程序。 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)通過小結(jié)使學(xué)生對知識有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)其概括能力，實(shí)現(xiàn)知識的升華(b)總結(jié)提升總結(jié)提升 1 利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與 20723的最大公約數(shù) （答案：53） 2 用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。 （答案：12） 3 你能利用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)試著設(shè)計(jì)程序求出上面兩道練習(xí)的答案嗎？然后試著在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行程序。 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)通過上機(jī)操作，加強(qiáng)練習(xí)，激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，并且將學(xué)習(xí)的內(nèi)容得到及時(shí)的應(yīng)用與鞏固,培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力和實(shí)