新北師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)圓內(nèi)接正多邊形課件

1、8 圓內(nèi)接正多邊形執(zhí)教人：郭維禮2016年8月24日1.1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念了解正多邊形和圓的有關(guān)概念. .2.2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多邊形邊形你還能舉出更多正多邊形的例子嗎？你還能舉出更多正多邊形的例子嗎？正多邊形：正多邊形：_，_的多邊形叫做正多邊形的多邊形叫做正多邊形. .正正n n邊形：如果一個(gè)正多邊形有邊形：如果一個(gè)正多邊形有n n條邊，那么這個(gè)正多邊條邊，那么這個(gè)正多邊形叫做正形叫做正n n邊形邊形. .三條邊相等，三個(gè)角

2、也相三條邊相等，三個(gè)角也相等（等（6060）. .四條邊都相等，四個(gè)角四條邊都相等，四個(gè)角也相等（也相等（9090）. .各邊相等各邊相等各角也相等各角也相等菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？ABCDE求證：正五邊形的對(duì)角線相等求證：正五邊形的對(duì)角線相等【想一想想一想】怎樣找圓的內(nèi)接正三角形？怎樣找圓的內(nèi)接正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？怎樣找圓的內(nèi)接正方形？怎樣找圓的內(nèi)接正方形？怎樣找圓的外切正方形？怎樣找圓的外切正方形？怎樣找圓的內(nèi)接正怎樣找圓的內(nèi)接正n n邊形？邊形？怎樣找圓的外切正怎樣找圓的外切正n n邊形

3、？邊形？EFGHABCD0ABCD【例例1 1】把圓分成把圓分成5 5等份，求證：等份，求證：依次連接各分點(diǎn)所得的五邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接依次連接各分點(diǎn)所得的五邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正五邊形；正五邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的五邊形是這個(gè)圓的外切正五邊形頂點(diǎn)的五邊形是這個(gè)圓的外切正五邊形. .【例題例題】123ABCDE45證明證明: :(1(1）AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA，AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA，BCE=CDA=3ABBCE=CDA=3AB，1=21=2，同理同理2=3=4=

4、52=3=4=5，又又頂點(diǎn)頂點(diǎn)A A，B B，C C，D D，E E都在都在O O上，上，五邊形五邊形ABCDEABCDE是是O O的內(nèi)接正五邊形的內(nèi)接正五邊形. . （2 2）連接連接OAOA，OBOB，OCOC，則，則OAB=OBA=OBC=OCB.OAB=OBA=OBC=OCB.TPTP，PQPQ，QRQR分別是以分別是以A A，B B，C C為切為切點(diǎn)的點(diǎn)的O O的切線，的切線，OAP=OBP=OBQ=OCQ.OAP=OBP=OBQ=OCQ.PAB=PBA=QBC=QCB.PAB=PBA=QBC=QCB.ABCDEPQRSTO又又AB=BCAB=BC，AB=BCAB=BC，PABPAB

5、與與QBCQBC是全等的等腰三角形是全等的等腰三角形. .P=Q,PQ=2PA.P=Q,PQ=2PA.同理同理Q=R=S=TQ=R=S=T， QR=RS=ST=TP=2PA QR=RS=ST=TP=2PA， 五邊形五邊形PQRSTPQRST的各邊都與的各邊都與O O相切，相切，五邊形五邊形PQRSTPQRST是是O O的外切正五邊形的外切正五邊形. . 把圓分成把圓分成n n（n3n3）等份：）等份：依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n n邊邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是

6、這個(gè)圓的外切正頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n n邊形邊形. .一個(gè)正多邊形是否一定有外接圓和內(nèi)切圓？一個(gè)正多邊形是否一定有外接圓和內(nèi)切圓？【定理定理】正三角形正三角形有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？正方形正方形有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？那么，正那么，正n n邊形呢？邊形呢？任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓這兩個(gè)圓是同心圓. .【

7、類比聯(lián)想類比聯(lián)想】【定理定理】以中心為圓心以中心為圓心, ,邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關(guān)系邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關(guān)系? ?E EF FC CD D.中心角中心角半徑半徑R R邊心距邊心距r r正多邊形的中心正多邊形的中心: :一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心. .正多邊形的半徑正多邊形的半徑: :外接圓的半徑外接圓的半徑正多邊形的中心角正多邊形的中心角: :正多邊形的每一邊所對(duì)的圓心角正多邊形的每一邊所對(duì)的圓心角. .正多邊形的邊心距：正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離中心到正多邊形的一邊的距離. .A AB B以中心為圓心以中心為圓心, ,邊心距為半

8、徑的圓為正多邊形的內(nèi)切圓。邊心距為半徑的圓為正多邊形的內(nèi)切圓。E EF FC CD DA AB BRa中心角中心角n360中心角nBOGAOG180邊心距把邊心距把AOBAOB分成分成2 2個(gè)全等的直角三角形個(gè)全等的直角三角形設(shè)正多邊形的邊長(zhǎng)為設(shè)正多邊形的邊長(zhǎng)為a,a,邊數(shù)為邊數(shù)為n n，圓的半徑為圓的半徑為R,R,它的周長(zhǎng)為它的周長(zhǎng)為L(zhǎng)=na.L=na.22r11SLrnar22aR2邊心距，面積邊心距（ ）邊心距（ ）（ ）EDCBOAFEDCBOA正多邊形是軸對(duì)稱圖形，正正多邊形是軸對(duì)稱圖形，正n n邊形有邊形有n n條對(duì)稱軸條對(duì)稱軸. .若若n n為偶數(shù)，則其為中心對(duì)稱圖形為偶數(shù)，則其

9、為中心對(duì)稱圖形. .1.1.各邊相等，各角相等各邊相等，各角相等. .2.2.圓的內(nèi)接正圓的內(nèi)接正n n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)把圓分成邊形的各個(gè)頂點(diǎn)把圓分成n n等份等份. .3.3.圓的外切正圓的外切正n n邊形的各邊與圓的邊形的各邊與圓的n n個(gè)切點(diǎn)把圓分成個(gè)切點(diǎn)把圓分成n n等份等份. .4.4.每個(gè)正多邊形都有一個(gè)內(nèi)切圓和外接圓，這兩個(gè)每個(gè)正多邊形都有一個(gè)內(nèi)切圓和外接圓，這兩個(gè)圓是同心圓，圓心就是正多邊形的中心圓是同心圓，圓心就是正多邊形的中心. .正多邊形的性質(zhì)正多邊形的性質(zhì)【歸納歸納】5.5.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，如果邊數(shù)是偶數(shù)那么正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，如果邊數(shù)是偶數(shù)那么它還是中心對(duì)稱

10、圖形它還是中心對(duì)稱圖形. .6.6.正正n n邊形的中心角和它的每個(gè)外角都等于邊形的中心角和它的每個(gè)外角都等于360360/n/n，每個(gè)內(nèi)角都等于每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)180(n-2)180/n ./n .7.7.邊數(shù)相同的正多邊形相似，周長(zhǎng)比、邊長(zhǎng)比、半邊數(shù)相同的正多邊形相似，周長(zhǎng)比、邊長(zhǎng)比、半徑比、邊心距比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線比都等于相似比，面徑比、邊心距比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線比都等于相似比，面積比等于相似比的平方積比等于相似比的平方. .在在RtRtOPCOPC中中,OC=4,PC=2.,OC=4,PC=2.利用勾股定理利用勾股定理, ,可可得邊心距得邊心距【解析解析】如圖，如圖，正六邊形正六邊形AB

11、CDEFABCDEF的中心角為的中心角為6060，OBCOBC是是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑. .因此因此, ,亭子地基的周長(zhǎng)亭子地基的周長(zhǎng) l =4 =46=24(m).6=24(m).22422 3 m .r（）亭子地基的面積亭子地基的面積211242 341.6(m ).22SlrOABCDEFRPr【例例2 2】有一個(gè)亭子有一個(gè)亭子, ,它的地基是半徑為它的地基是半徑為4m4m的正六邊形的正六邊形, ,求地求地基的周長(zhǎng)和面積基的周長(zhǎng)和面積( (精確到精確到0.1m0.1m2 2).).【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】分別求出半徑為分別求出半

12、徑為R R的圓內(nèi)接正三角形、的圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長(zhǎng)、邊心距和面積正方形的邊長(zhǎng)、邊心距和面積. .【解析解析】作等邊作等邊ABCABC的的BCBC邊上的高邊上的高AD,AD,垂足為垂足為D D連接連接OBOB，則，則OB=ROB=R，在在RtRtOBDOBD中中,OBD=30,OBD=30, ,1.2R在在RtRtABDABD中中,BAD=30,BAD=30, ,1322ADOAODRRR，ABCDO3R,AB=AB=SSABCABC= =233RR3 3R2.24邊心距邊心距OD=OD=連接連接OBOB，OC OC 作作OEBCOEBC，垂足為，垂足為E E，OEB=90OEB=90，

13、 OBE=BOE=45OBE=BOE=45，RtRtOBEOBE為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，222,BEOEOB222,OEOB22.2OBOE 22,22OEOBR邊心距2222 ,2BCBERR邊長(zhǎng)2222.ABCDSAB BCRR正方形ABCDOE1.1.下列圖形中：正五邊形；等腰三角形；正八下列圖形中：正五邊形；等腰三角形；正八邊形；正邊形；正2n2n（n n為自然數(shù)）邊形；任意的平行四邊為自然數(shù)）邊形；任意的平行四邊形形. .是軸對(duì)稱圖形的有是軸對(duì)稱圖形的有_,_,是中心對(duì)稱圖形的是中心對(duì)稱圖形的有有_,_,既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的

14、有有_._.2.2.兩個(gè)正七邊形的邊心距之比為兩個(gè)正七邊形的邊心距之比為3:43:4，則它們的邊長(zhǎng)比，則它們的邊長(zhǎng)比為為_，面積比為，面積比為_，外接圓周長(zhǎng)比是，外接圓周長(zhǎng)比是_，中，中心角度數(shù)比是心角度數(shù)比是_._.3:43:49:169:163:43:41:11:13.3.正方形正方形ABCDABCD的外接圓圓心的外接圓圓心O O叫做正方形叫做正方形ABCDABCD的的_4.4.正方形正方形ABCDABCD的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓O O的半徑的半徑OEOE叫做正方形叫做正方形ABCDABCD的的_5.5.若正六邊形的邊長(zhǎng)為若正六邊形的邊長(zhǎng)為1,1,那么正六邊形的中心角是那么正六邊形的中心角是_度，度，半徑是半徑是_，邊心距是，邊心距是 ，它的每一個(gè)內(nèi)角是，它的每一個(gè)內(nèi)角是_6.6.正正n n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的_角的度數(shù)相等角的度數(shù)相等中心中心邊心距邊心距60601 1120120中心中心237.7.將一個(gè)正五邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)將一個(gè)正五邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn), ,至少要旋轉(zhuǎn)至少要旋轉(zhuǎn) 度度, ,才能與原來(lái)的圖形位置重合才能與原來(lái)的圖形位置重合. .72721 1正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊