烏龜性別與溫度的數(shù)學(xué)模型

1、數(shù)學(xué)建模期末作業(yè)烏龜性別的決定因素問題（習(xí)題1010）姓名：李紅軍專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級：2012級摘要本文針對幼龜性別溫度關(guān)系進(jìn)行建立模型，在建模時(shí)建立溫度與雄龜比例的模型，由于雄龜比例只可能在【0,1之間取值，所以不能建立一般的統(tǒng)計(jì)回歸模型，所以可以建立Logit模型。利用MATLA跳計(jì)工具箱中的命令glmfit求解。再求出各個(gè)系數(shù)估計(jì)值后用EXCELS格進(jìn)行處理算出每個(gè)溫度下雄龜比例的估計(jì)值，對模型進(jìn)行驗(yàn)證，為了提高模型的擬合效果可以在Logit模型中添加t的高次方，并用利用MATLA猷計(jì)工具箱中的命令regress求解，求出各個(gè)系數(shù)估計(jì)值，置信區(qū)間和模型相關(guān)系數(shù)。為了能直觀的比較模型

2、擬合效果可以利用MATLAB的plot工具會(huì)出（t,logit）的散點(diǎn)圖，并用利用Tools下BasicFitting工具找出一條擬合效果最好的曲線，并得出其對應(yīng)的系數(shù)。最后可以通過logit基本模型得出當(dāng)溫度為度幼龜比例為1:1,而且溫度每增加一度雄龜與雌龜比例擴(kuò)大倍。關(guān)鍵詞：logit模型，置信區(qū)間，相關(guān)系數(shù)一、問題提出人類的性別是由基因決定的，烏龜?shù)男詣e主要有什么因素決定的呢科學(xué)研究表明，決定幼龜性別的最關(guān)鍵的因素是烏龜孵化時(shí)的溫度。為了研究溫度是如何影響幼龜?shù)拇菩郾壤?，美國科學(xué)家對某一類烏龜?shù)姆趸^程做了實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)在五個(gè)不同恒定溫度下進(jìn)行，每個(gè)溫度下分別觀察3批烏龜?shù)暗姆趸^程，得到的

3、數(shù)據(jù)如下:溫度烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雌龜個(gè)數(shù)雄龜比例101910%8080%9181%1107370%642%86275%13130100%963%871%107370%8531%972%11101%880100%990100%、基本假設(shè)假設(shè)1;幼龜性別只與溫度有關(guān)三、符號說明符號意義單位備注t烏龜孵化時(shí)的溫度CP(x)雄龜比例S烏龜?shù)翱倲?shù)個(gè)X雄龜個(gè)數(shù)個(gè)C雌龜個(gè)數(shù)個(gè)四、問題分析在本題由于是求溫度與性別比例的模型，在數(shù)據(jù)表中每個(gè)溫度都記錄了三批烏龜，所以首先要對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，利用excel算出每個(gè)溫度對應(yīng)下烏龜?shù)目倲?shù)，雄龜總個(gè)數(shù),雌龜總個(gè)數(shù)和雄龜比例。溫度烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雌龜個(gè)數(shù)雄龜比例27225

4、%24177%30264%27198%28271%為了使得運(yùn)算更簡單可以把溫度進(jìn)行預(yù)處理，把看成0,以此類推可得溫度烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雌龜個(gè)數(shù)雄龜比例027225%24177%30264%27198%28271%為了更直觀觀察其回歸關(guān)系，利用MATLA繪制出散點(diǎn)圖。從圖中可以看出回歸曲線是一條近于3次樣條的多項(xiàng)式回歸曲線，其回歸模型為P(x)b0bi*tb2*tA2b3*tA3(1)然而在這個(gè)問題中(1)是回歸方程中P(x)的取值不一定在0,1中，即使P(x)取值在0,1中，有意在給定t是，誤差項(xiàng)也只能取0,1兩個(gè)值，顯然不具有正態(tài)性，而且的方差依賴于與t,具有異方差性，這些都違反了普通回歸分

5、析的前提條件，因此，該題不能用用普通回歸分析。由于P(x)在0,1之間取值，可以使用Logit模型。五、模型的建立與求解模型的建立模型的求解Logit模型是一種廣義線性模型，可利用MATLA毓計(jì)工具箱總的命令glmfit求解。參數(shù)參數(shù)估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差B0B1-101783所以估計(jì)值為bo1.1783bi2.2110所以當(dāng)幼龜比例為1:1時(shí)計(jì)算出溫度為度令odd(t)為雄龜與雌龜比例，故有當(dāng)溫度增加1度時(shí)odd比為于是由于b1=,所以溫度每增加一度時(shí)雄龜與雌龜比例增加到原來的倍結(jié)果的分析及驗(yàn)證對模型各個(gè)溫度進(jìn)行驗(yàn)證溫度烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雌龜個(gè)數(shù)雄龜比例雄龜估計(jì)值027225%24177%30264%

6、27198%28271%模型改進(jìn)從以上結(jié)果可知擬合偏差太大，不適合于做為最終結(jié)果。由于模型的右端是溫度t的線性函數(shù)，可以考慮加入t的二次項(xiàng)后，看是否能提高模型的擬合程度。即考慮模型為執(zhí)行以下程序>>b2,dev2=glmfit(tt.A2,xs,'binomial','logit');b2,pval=1-chi2cdf(dev-dev2,1)b2=pval=計(jì)算出b0,b1,b2的估計(jì)值為、所以模型為溫度烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雌龜個(gè)數(shù)雄龜比例雄龜估計(jì)值027225%24177%30264%27198%28271%由以上表可知擬合偏差減小，由此可知，加入高

7、次方后可以提高擬合偏差，所以為了進(jìn)一步提高擬合效果，可以先計(jì)算出logit對應(yīng)的值并畫出并繪出(t,logit)的散點(diǎn)圖溫度烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雌龜個(gè)數(shù)雄龜比例Logit(t)027225%24177%30264%27198%28271%再利用Tools下BasicFitting工具找出一條擬合效果最好的曲線，并得出其對應(yīng)的系數(shù)可知模型為個(gè)系數(shù)為所以模型為當(dāng)所以幼龜比例為1:1時(shí)P(x)=.所以logit=0;即可以得出當(dāng)溫度為27.、和時(shí)幼龜比例為1:1;再次各個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證可得溫度烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雌龜個(gè)數(shù)雄龜比例雄龜估計(jì)值027225%24177%30264%27198%28271%由以上

8、結(jié)果可以看出擬合程度很好。在用MATLAB?計(jì)工具中的命令regress求解得知相關(guān)系數(shù)R為1;擬合效果很好。六、參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)模型第四版高等教育出版社七、附錄模型1求解程序>>t=0'>>x=217261927'>>s=2724302728'>>proport=x./s;>>b,dev,stats=glmfit(t,xs,'binomial','logit');>>logitfit=glmval(b,t,'logit');>>plot(t,

9、proport,'o',t,logitfit,'r-');>>xlabel('t');ylabel('proportionofx')>>b,bi=,devb=bi=dev=模型1驗(yàn)證程序>>x=01;1;1;1;1alpha=;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)b=bint=r=rint=stats=模型2的驗(yàn)證程序x=001;A21;A21;A21;A21x=00alpha=;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)

10、b=bint=rint=stats=繪制(t,P(x)散點(diǎn)圖程序> >t=0;P=；>>plot(t,p,'r*')繪制(t,logit)散點(diǎn)圖程序> >t=0;>>plot(t,p,'r*')用第三模型計(jì)算幼龜比例為1:1時(shí)溫度程序> >y=0y=0> >roots(y)ans=vpa(roots(y),8)ans=第三模型各個(gè)溫度對應(yīng)雄龜比例結(jié)果驗(yàn)證程序> >Y=(t)+*t+*tA*tA4+*tA5Y=。)+*1+中坐4+坐5> >f=(t)exp(Y(t)/(1+exp(Y(t)f=(t)exp(Y(t)/(1+exp(Y(t)> >f(0)ans=> >fans=> >f>>fans=> >fans=用regress驗(yàn)證模型程序x=000001;A5A4A3A21;A5A4A3A21;A5A4A3A21;A5A4A3A21x=00000alpha=;b,bint,r,rint,stats=regress