七年級到九年級北師大數學概念

1、初中數學概念一、數的有關概念和運算1、正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數2、實數a的相反數是a；零的相反數是零；若a和b互為相反數，那么：a+b=03、一個正數的絕對值是它本身；零的絕對值是零；一個負數的絕對值是它的相反數；絕對值的幾何意義：從數軸上看，一個實數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離任意實數的絕對值一定為非負數；絕對值等于同一正數的實數有兩個，它們互為相反數；反之，互為相反數的兩個數絕對值相等；去掉絕對值符號首先要判斷絕對值里面的實數是正是負，然后再根據定義去掉絕對值符號4、實數大小的比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；正數大于零；負數小于零；正數大

2、于一切負數；兩個負數，絕對值大的反而小；常用方法：比差法：兩數相減與“0”比較。AB A一B0；AB A一B0；AB A一B05、實數a（a0）的倒數是1/a；若a和b互為倒數，那么：a×b=1；零無倒數6、有理數的運算：（1）有理數的加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不等的異號兩數相加，取絕對值較大加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得零；一個數同零相加，仍得這個數（2）有理數減法法則:減去一個數，等于加上這個數的相反數（3）有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對植相乘.任何數同零相乘，都得零.不等于零的數相

3、乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正. 幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零（4）有理數除法則：除以一個數等于乘上這個數的倒數 (注意：0不能作除數) 有理數除法符號法則:兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除. 零除以任何一個不等于零的數，都得零（5）有理數乘方法則：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數（6）有理數混合運算的運算順序規(guī)定如下： 先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按照從左至右的順序進行；如果有括號，就先算小括號里的，再算中括號里的，最后算大括號里的.7、（1）加法交換律：a+b=b+a；加

4、法結合律：a+b+c=a+（b+c）；乘法交換律：a·b=b·a；乘法結合律：abc=a（bc）；乘法分配律：a（b+c）=ab+ac.（2）冪的運算：am·an=am+n（m、n為正整數）；（m、n為正整數）；（n為正整數）；（m、n為正整數，m>n，a0），a0=1（a0）；（a0，n為正整數）8、數軸上兩點之間的距離公式：在數軸上，A、B兩點的坐標分別為xa 、xb，那么它們之間的距離是AB|xbxa|9、科學記數法：把一個數記成的形式，其中1a10，n為整數，這種記數的方法叫做科學記數法10、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是零的數字起，到精確到

5、的數位止，所有的數字都叫做這個數的有效數字，精確度的形式有兩種：精確到哪一位數；保留幾個有效數字；一個數的近似數，常常要用科學記數法來表示二、式的有關概念和運算1、合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數保持不變2、去括號法則：括號前面是“”號，把括號和它前面的“”號去掉，括號里各項都不變符號；括號前面是“”號，把括號和它前面的“”號去掉，括號里各項都改變符號3、添括號法則：所添括號前面是“”號，括到括號里的各項都不變符號；所添括號前面是“”號，括到括號里的各項都改變符號4、整式加減的一般步驟可以總結為： (1) 如果有括號，那么先去括號；(2) 如果有同類項

6、，再合并同類項整式的乘除：單項式乘以單項式：把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式；單項式乘以多項式：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。m(abc)mambmc多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。(ab)(cd)acadbcbd進行多項式乘法運算一方面要特別注意順序，這樣不會遺漏和重復；另一方面要注意符號，尤其某一項前面是“”時，與它相乘的各項都要變號；單項式除以單項式：把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式；多項式除以

7、單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。(mambmc)÷mabc 乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：=立方和（差）公式：（ab）（a2±abb2）a3±b35、平方根的性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零有一個平方根，它是零本身；負數沒有平方根；立方根的性質：正數有一個立方根；負數有一個負立方根；零有一個立方根，它是零本身二次根式的運算：；（）；6、分式：分式有無意義：B0時，分式無意義；B0時，分式有意義；分式值為零：A0且B0時，分式的值為零；分式的約分：根據分式的基本性質把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。

8、約分的主要步驟是：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式；最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式，分式運算的最終結果若是分式，一定要化成最簡分式；通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成幾個與原來分式值相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分；最簡公分母： (1)取各分母系數的最小公倍數(2)凡出現的字母或含有字母的代數式都要取(3)相同字母或含有字母的代數式的指數取最大的分式的基本性質1）（B0，M是不等于0的整式）2）（B0，M是不等于0的整式）3）分式的變號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。分式的運算：加、

9、減：同分母分式的加減：±異分母分式的加減：±；乘：×，一般情況是先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子、分母乘以分母；除：÷×；分式的混合運算：與有理數四則運算類同，如果一個代數式含有分式的加、減、乘、除、乘方多種運算，那么先做乘方，再做乘、除，最后做加、減；如果有括號，就先做括號內的運算；在同一級運算中，按照從左向右的順序進行；繁分式化簡：如果分式的分子或分母中含有分式，這樣的分式叫做繁分式。繁分式的化簡通?？衫贸ㄟ\算，也可利用分式基本性質逐次去分母，使繁分式化簡。三、方程用方程（組）解決實際問題的過程：問題方程（組）解答一

10、元一次方程：移項：把原方程中的已知項改變符號以后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項。移項是解方程的最常用變形方法，注意移項時要變號。解一元一次方程的步驟：1）去分母：方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數；2）去括號：按去括號法則化去方程中所有括號；3）移項：把含有未知數的項移到方程的一邊，不含未知數的項移到另一邊。4）合并同類項：化為最簡方程axb（a0）的形式。5）系數化為1：方程兩邊都除以未知數的系數，得出方程的解x；在解具體的一元一次方程時，上述步驟應根據具體情況靈活運用。二元一次方程組：解法：代入消元法：代入消元法簡稱代入法，是解二元一次方程組的一種常用方法，它的一般步驟是：從方程

11、組中選取一個系數比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來，例如，用x 的代數式表示y，可寫成y=ax+b的形式。將y=ax+b代入方程組的另一個方程中去，消去y，得到一個關于x的一元一次方程。解這個關于x的方程，求出x的值。將所求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，從而得到方程組的解。加減消元法：加減消元法簡稱加減法，是解二元一次組的常用方法，其中一般步驟是：在方程組的二個方程中，如果同一個未知數的系數既不相等又不是互為相反數，就用適當的數分別乘二個方程的兩邊，使變形后的一個未知數的系數互為相反數或相等。把變形后的兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知

12、數，得一個一元一次方程，解這個方程，求出其中一個未知數值。將求出的未知數值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解。說明：代入消元法和加減消元法都是針對標準形的二元一次方程組的，因此運用前應先化簡原方程組。加減消元法和代入消元法的目的都為消元，因此解方程組時可根據方程組特點，靈活使用消元方法。一元二次方程的解法：1）直接開平方法。如一個一元二次方程通過整理，可化成（px+q）2=r (p0 r0)這種形式，就可以利用直接開平方的方法來解2)配方法。把方程的左邊配成一個完全平方式，如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方來解。3）公式法。先把一元二次方程化成一般

13、式：ax2+bx+c =0（a0），在b24ac0時公式是x= (b24ac0)，這種利用求根公式解一元二次方程的方法，稱為公式法，若b24ac0則方程無解。4因式分解法。解一元二次方程時，把方程右邊化為0，左邊化為兩個一次因式的積的形式，再分別令這兩個一次因式等于0，從而得到原方程的兩個解。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。5如果不對一元二次方程的解法加以限定的話，解方程時，首先選擇因式分解法或直接開平方法，這些特殊方法難以奏效時，再考慮公式法，一般不用配方法，除特別規(guī)定例外。一元二次方程的根的判別式：=b24ac。根的三種情況：0 ax2+bx+c=0（a0）有兩個不相等的實數根。=

14、0 ax2+bx+c=0（a0）有兩個相等的實數根。 0 ax2+bx+c=0（a0）無實數根。一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）如果方程ax+bx+c=0（a0）的兩個實數根是x1, x2,那么x1+ x2= ，x1x2分式方程：1）在分式方程的兩邊同乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；2）解這個整式方程；3）驗根。在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的要，這種根叫做原方程的增根。在解分式方程時，經常用各分式的最簡公分母去乘方程兩邊，去分母，化為整式方程；這種方程的變形有可能會產生增根。在解分式方程時，必須要驗根。驗根的方法，即將解方程所得到的根代入原方程，找出是否有增根，若有則

15、舍去，也可以整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是等于0，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去。四、不等式的性質1、如果a>b，那么a+c>b+c，ac>bc；2、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc.一元一次不等式（組）解法：1）解一元一次不等式的步驟，解一元一次不等式的依據是不等式的性質，因此解一元一次不等式的步驟和解一元一次方程很類似。去分母；去括號；移項；合并同類項，化為axb或axb（其中a、b是常數，且a0）的形式；不等式的兩邊同時除以未知數項的系數a，即系數化為1。2在“去分母”

16、或“兩邊同時除以未知數項的系數”時，千萬要注意，不等式兩邊如果同時乘以（或除以）一個負數時，必須改變不等號的方向。這是解不等式與解方程不同的地方。3不等式中除了用“、”等符號外，用符號“”（“”）連結的式子也被子看作是不等式，這種符號表示大于或等于（小于或等于）的關系。4不等式的解集xa與xa（或xa與xa的區(qū)別，在于前者表示a不是這個不等式的解，而后者表示a也是這個不等式的解。在數軸上表示這兩個不等式的解集時，用空心圓圈和實心圓點來加以區(qū)別。解一元一次不等式組的步驟：1）先求出不等式組里每個不等式的解集；2）再求出各個不等式的解集的公共部分，就可得到這個不等式組的解集。五、函數1坐標軸上點的

17、特征：x軸上點的縱坐標為0，一般記為p（x，0）；y軸上點的縱坐標為0，一般記為q（0，y）；各象限內點的坐標的特征：點p（x，y）第一象限：（，） 第二象限：（，） 第二象限：（，） 第四象限 ：（，）點p（x，y）坐標的幾何意義；點p（x，y）到x軸的距離是；點p（x，y）到y(tǒng)軸的距離是；點p（x，y）到原點的距離是關于坐標軸，原點對稱的兩點坐標的特征點p（a，b）到x軸的對稱點是p1（a，b）；點p（a，b）到y(tǒng)軸的對稱點是p2（a，b）；點p（a，b）關于原點的對稱點是p3（a，b）；2正比例函數的性質正比例函數y=kx（k0的常數）有如下的性質：當k0時，它的圖像在第一、三象限內，y

18、隨x的增大而增大； 當k0時，它的圖像在第二、四象限內，y隨x的增大而減小。函數的性質應結合它的圖像來理解一次函數1）函數y=kx+b（k，b是常數 k0）叫做一次函數當b=0時，一次函數y=kx+b就成為y=kx（k是常數 k0），這時y 是x的正比例函數，所以正比例函數是一次函數的特殊情況。2）一次函數的圖像一次函數的圖像是經過點（0，b）且平行于直線y=kx的一條直線，一次函數y=kx+b的圖像也叫做直線y=kx+b。直線y=kx+b與y軸相交于點（0，b）,bj 直線y=kx+b與y軸交點的縱坐標兩條直線L1:y=k1x+b1，L2:y=k2x+b2，如果k1=k2，b1b2，那么L1

19、 L2，反之也成立。由兩點確定一條直線可知，在畫一次函數的圖像時，只要先描出直線上的兩點，再過這兩點畫一條直線就可以了，當b0時，一般取與坐標軸相交的兩點（，0）、（0， ）較好。3）直線位置與常數的關系k決定直線的方向k0直線的方向向上；k0直線的方向向下b決定直線與y軸交點的位置b0 直線與y軸交點在x軸上方；b=0 直線過原點；b0 直線與y軸交點在x軸下方；4）一次函數與一元一次方程的關系一次函數y=kx+b（k0），當y=0時，即對應一元一次方程y=kx+b（k0），也就是說一次函數y=kx+b（k0）的圖像與x軸的交點的橫坐標x的值就是方程y=kx+b（k0）的根。5）求一次函數表

20、達式：待定系數法由已知條件，先設一個式子中的未知系數，然后根據已知數據求出未知系數，從而法語出這個式子的方法叫待定系數法。3二次函數：二次函數的性質a0時，拋物線的開口向上，頂點是它的最低點；a0時，拋物線的開口向下，頂點是它的最高點；a決定拋物線的開口方向和開口大小。拋物線的對稱軸是直線x=，頂點坐標是（，）如果拋物線用頂點式y(tǒng)=-a（xh）2+k表示時，那么對稱軸是直線x=h，頂點坐標是（h，k） 當b=c=0時，二次函數為最簡單的二次函數y=ax2。當b、c不全為0時，二次函數y=ax2+bx+c的圖像與y=ax2的圖像的形狀相同，位置不同，可以通過適當的平移，使兩個圖形重合，如把二次函

21、數y=(x1)24的圖像，向左平移一個單位，向上平移四個單位，即與y=3x2的圖像重合。畫二次函數的圖像時，應先求出它的對稱軸和頂點坐標，然后利用它的對稱性列表取點，如取與y軸的交點及基本對稱點，如果圖像與x軸有兩個交點，取這兩個交點等，最后描點連接，就可畫出二次函數的圖像。拋物線中間由a、b、c決定： a0開口向上 a決定拋物線的開口方向 a0開口向上 c決定拋物線與y軸交點的位置：c0圖像與y軸交點在x軸的上方；c=0圖像過原點；c0圖像與x軸交點在x軸的下方。a、b決定拋物線對稱軸的位置：（對稱軸：x=）a、b同號對稱軸在y軸左側；b=0對稱軸是y軸；a、b異號對稱軸在y軸右側。=b24

22、ac決定拋物線與x軸交點情況：0拋物線與x軸有兩個不同交點；=0拋物線與x軸有惟一公共點（相切）；0拋物線與x軸有無公共點。二次函數的最值二次函數y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a0）中，如果a0，那么當x=時，函數y有最小值，記作y最小值；如果a0，那么當x=時，函數y有最大值，記作y最大值；所謂最值就是最大值或最小值，二次函數取最大值或最小值是與決定圖像開口方向的a有關。二次函數的最值反映到圖像上，就是最高點或最低點，也就是頂點的縱坐標。二次函數與一元二次方程的關系二次函數y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a0），當y0時，即對應一元二次方程ax2+bx+c0（a0）

23、，也就是說，二次函數y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a0）的圖像與x軸的交點的橫坐標x的值就是方程ax2+bx+c0（a0）的根。當=b24ac0時，由于一元二次方程ax2+bx+c0有兩個不相等的實數根，所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點。當=b24ac0時，由于一元二次方程ax2+bx+c0有兩個相等的實數根，所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一交點，即拋物線的頂點；當=b24ac0時，由于一元二次方程ax2+bx+c0沒有實數根，所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有交點。4反比例函數反比例函數的性質當k0時，它的圖像的兩個分支分別在第一、三象限內，在每個象限內，y隨x的增大而減小。當k0時，它的圖像的兩個分支分別在第二、四象限內，在每個象限內，y隨x的增大而增大。圖像的兩個分支都無限接近于x軸和y軸，但不會與x軸和y軸相交。注意：反比例函數的圖像分別在兩個不同的象限內，當k0時，兩個分支分別在第一、三象限內，而第一象限內的y值總大于第三象限內y值，因此在用性質時，要注意“在每個象限內”這個條件。六、圓：1圓與圓的位置關系位置d與R、r外離dRr外切dRr相交Rr dRr內切dRr內含d Rr 或 d0（同